当前课程知识点:理论力学 > 第八章 分析动力学 > 8-4 拉格朗日方程首次积分 > 8-4拉格朗日方程首次积分
好了
那么下面我们介绍第四节
拉格朗日方程的首次积分
那么在有些书上的话呢
首次积分也称为叫第一积分
第一积分首次积分都是一个意思
需要说明的是什么呢
拉格朗日方程不但给了我们
这个系统所需要的最小方程个数
还给出了如何将这个方程积分的方法
这一点的话呢是很重要的
我们可以想象的话呢
当年 拉格朗日那个时代
很多问题 它得出之后
列出方程之后 解不出来
没有解析解
因此的话呢 他进行分析的时候
那个时代又没有计算机
也没法进行数字计算
所以的话就需要考虑从理论上进行研究
如果他能够想办法
把这个拉格朗日方程
都是二阶方程 降阶
降成一阶方程的话 问题就简化一点了
如果再能降阶的话 变成代数方程
那按那是的水平就能解出来了
所以说呢 把这个方程进行积分的话呢
从理论上来说是很有价值的
那么 如何把这个方程进行积分
就需要考虑动能的表达式
我们下面看看动能 它怎么表示的
我们把动能的话呢
把它展开来看呢 它里面结构是怎样的
动能等于二分之一的西格玛里面
mi ri一点 点乘ri一点 速度的平方
那么 我们注意到的话呢
这个速度啊 ri一点
如果我们用广义作为表示的话呢
它就会有两项组成
就是ri等于西格玛里面
偏ri 偏qj 乘以qj一点
加上偏ri 偏t
好 这样一来的话呢
我们把这个代进去之后啊
式子就会比较长了
就是说这样一个式子
那么我们可以想象把它乘在一起
展开之后 就会出来这样的项
我们先定义一下
就是 T0的话呢 定义成
二分之一的西格玛里面
mi乘以偏ri偏t再乘以偏ri偏t
然后呢把t1定义成
西格玛里面 是两个西格玛了
m乘以偏ri偏qj
再乘以偏ri偏t再乘以qj一点
然后再把t2定义成
三个西格玛求和符号里面
质量乘以偏ri偏qj
乘以偏ri偏ql
乘以qj一点 ql一点
也就是说
我们把T0 T1 T2先定义出来了
同学们有没有注意到
这个T0 T1 T2是按什么规律定义的
能猜出来吗
好 是这样的话呢
它是按照速度的几次齐次式来定义的
所以T0是什么呢
就是这里面是广义速度的0次齐次式
也就是说它虽然是速度
但是它和广义速度没关系
所以的话叫T0
那么T1的话呢
是广义速度的1次齐次式
它里面出现一项qj一点
而T2的话呢
是广义速度的2次齐次式
它出现两项两个广义速度 qj ql
所以的话呢
所谓的T0 T1 T2它的下标是按照
广义速度的几次齐次式来定义的
当然可能你会说
为什么搞的这么复杂呢
本来是动能一项就可以了嘛
那么
这样分的话是为了后面出现一些结果
好 下面我们看
动能的话呢 这样定义完之后
我们可以把它写成
它等于T2+T1+T0
也就是说
按照广义速度的几次项把它分出来
然后呢 我们要注意
好我们现在把T2 T0 T1都把它再写一遍
好 下面我们来注意什么呢
对于定常约束 约束是不显含时间的
在这种情况下的话呢
我们的问题可以简化一下
可以得到什么呢
T0=0 T1=0 而T2=T
是什么意思呢 你看
如果是定常约束不显含时间的话
你看T0里面出现的偏r偏t那就为0了
所以的话呢
在定常约束的情况下
T0=0 T1=0 动能就等于T2
好 这个结果我们后面会用到
我们先记录一下
那么 下面的话呢
我们通过一个例子来看看
这个动能到底是怎么回事
我们来分析计算一下 比如说
有一个板子 水平
然后铰链的话 一个竖直的
当竖直铰链倒下去的时候
在某一位置 我们来分析一下
这个系统的动能该怎么写
好 我们首先的话呢
我们确定广义坐标
用x表示水平的一个移动
θ的话呢表示AB杆一个转动的角度
很容易的话呢我们把速度分析出来
对于水平的物体的话
它的水平移动的话是x一点也就是v
然后的话呢 对于AB杆的话呢
它包括两部分
一部分是牵连运动V1
V1就是x一点
然后一个相对运动
相对运动的话是
它的长度乘以θ一点
好
那么下面的话我们把动能写出来
动能的话怎么写呢 就是说
对于水平的物体的话呢 就是一项
是二分之一的质量乘以x一点的平方
但是对于AB杆的话呢就比较复杂
AB杆做一个平面运动
它要包括两部分组成
一部分是平动的动能
和相对转动的动能
平动动能的话我们看等于多少呢
是二分之一的质量
要把他质心的速度平方
而质心速度的话
它是由牵连加相对组成的
所以出来这样一个项
就是x一点平方加上
括号里面二分之一l乘以θ一点的平方
然后再减掉x一点乘以lθ一点sinθ
那么 这个式子的话是根据
平行四边形法则之后
利用三角形的余弦函数得出来的
然后还注意加上它转动的动能
因此是加上二分之一的
转动惯量乘以角速度平方
转动惯量的话是十二分之一的ml方
角速度的话呢就是θ一点
所以的话是这样一个式子
好了 下面我们看
在这个式子中的话呢
因为我们的x和θ是广义坐标
所以x一点θ一点的话就是广义速度
好 我们看看每一项的话都是和
广义速度的平方有关系
比如说x一点平方
或者有一项是x一点乘θ一点
所以全部都是广义速度的平方项
所以T0=0
那么类似的话 你一看的话呢
T1也等于0
所以的话呢变成是
T2等于动能这个表达式 再写一遍
所以也就是说 对于这个问题的话呢
它是一个 两个自由度的问题
同时是定常约束对它的动能
就是T2 就是全部的表达式写出来
好了 注意这样的话呢
我们把这个问题稍微改一下
就是还是这个问题
但是呢我们加个条件
假设这个水平物块的运动
是一个已知的运动
是通过某个控制之后
做个匀速运动比如说
x一点等于V0是个已知量
这样一来之后的话
我们看看它的动能表达式该怎么写呢
当然我们还是可以把它写出来
但是呢我们特别注意
我们把x一点 也就是说
x一点的话呢
这时候x已经不是广义坐标了
所以它不是广义速度
我们单独把它列出来
好 这样一来的话呢 我们看看
T0现在等于多少呢
就是二分之一的M乘以V0平方
加上二分之一的m乘以V0平方
那么这一项的话呢它是有速度平方
但是这个速度不是我们的广义速度
所以的话呢 它属于T0
那么 类似的话呢 我们把T1找出来
T1的话等于负的二分之一质量乘以
V0乘以lθ一点sinθ
这里面的话呢
它的广义速度是θ一点
它是广义速度一次项
V0的话呢是 不是广义速度
所以不用考虑 所以它就是T1
那么类似的话呢我们再看看T2
T2的话呢全是和广义速度的平方有关系
所以出现θ一点的平方 这样的量
所以的话呢 通过这个题目
我们看出来
同样的一个问题 但是条件变了之后
它的动能结构就发生变化了
在某些问题中 你看 在定常约束中
两个自由度就没有T0 T1
但是现在是一个自由度 是分项约束
就会出现T0 T1 T2的表达式就出现了
好了 有这些基础之后的话呢
下面我们来看看这个积分的问题
首先我们介绍广义能量积分
广义能量积分的话它是有条件的
它是说 如果主动力都是有势的
并且拉格朗日函数是不显含时间T的
注意是不显含时间T
那么我们可以把拉格朗日函数写出来
就是L等于 它是和q1到qN
以及q1一点到qN一点有关系的一个函数
那么 下面我们看看
我们把拉格朗日函数对时间求导数
看看等于什么呢
dL dt等于西格玛里面 偏L偏qj一点
再加上偏L偏qj一点再乘以qj两点
好了 如果主动力有势的话呢
我们把它代入拉格朗日方程之后
会有这样一个式子 就是说
偏L偏qj一点对时间的导数
减掉偏L偏qj等于0
然后呢 我们把这个式子移项之后
和上两个式子合并一下
得到这样一个式子
得到dL dt等于西格玛里面
偏L偏qj一点的导数再乘以qj一点
加上偏L偏qj一点乘以qj两点
好 这样一个式子
那么 这个式子的话呢
稍微看一下 它能够合并
写成什么呢 写成是
西格玛里面偏L偏qj一点乘以qj一点
再求导数 好 等于把它简化了
然后我们把这个式子移项一下
就变成了是
整个括号里面再求导数等于0
括号里面是什么呢
西格玛里面偏L偏qj一点再乘qj一点
减掉L等于0
那么你想
这个括号里面的话求导数等于0的话呢
就表示这个括号里面是等于常数
所以得到一个第一个积分
就是西格玛里面偏L偏qj再乘以qj一点
减掉L等于E E就是积分常数
那么这个积分的话呢
我们就把它称为叫广义能量积分
或者叫广义能量守恒
那么我们注意这个式子比较复杂
我们通常的话呢
可能希望把它变换成更好的一个结果
所以的话我们再来看一下
我们利用欧拉的齐次式定理
可以把广义能量积分
把它稍微改变一下
首先我们看看欧拉齐次定理
它是这样说的 就是
假设某个函数f是x的n次齐次式
那么就有这样一个结果
就是偏f偏x再乘x的话呢是等于nf
那么这个式子的话呢很容易验证
我们举个特例来看看
比如说 假设f是等于x的n次方
这是个特例 但特例能说明问题
那么你可以看看
偏f偏x再乘x的话呢 它等于什么呢
它等于n倍的x n-1次方再乘x
等于n倍的x n次方 所以等于nf
所以 通过这个特例的话呢
我们可以很容易验证
欧拉的齐次式定理
因此 这样一来的话呢 我们就知道
我们利用欧拉齐次式定理之后的话呢
我们可以把动能
把它看成会有什么结果
我们可以看出来什么呢
偏T2偏qj一点再乘以qj一点
就会等于2倍的T2
而偏T1偏qj一点乘以qj一点的话呢
就等于1倍的T1
而这个偏T0偏qj一点再乘以qj一点的话
等于什么呢 等于0倍的T0
所以的话呢 我们在这
我们可以看出来很好的结果
就是说 T2偏完之后就是2倍的T2
T1偏完之后 1倍的T1
而T0偏完之后是0倍的T0
所以的话从这我们就可以理解
当初我们为什么要把动能
把它分成T2 T1 T0的这样一个好处了
好了 利用这样一个结果之后的话呢
我们再看看 拉格朗日积分
它就可以把它简化成这样一个形式
就是说 首先拉格朗日函数可以写成
本来是T1-V的
我们把它现在写成T2+T1+T0-V
然后呢 广义能量积分的话呢
我们把它代进去之后 代进去之后
就变成什么呢 就变成了是
因为它这里面有偏L偏qj乘以qj嘛
是变成2T2+1T1+0T0再减掉这个
它本身 减掉T2+T1+T0-V 等于常数
把它合并一下之后的话得到什么结果呢
得到T2-T0+V等于常数
那么这个结果 就更简洁一些
同时我们看看
在特殊情况下比如说对于定常约束
我们前面曾经说定常约束的话呢
会有T1=T0=0 T=T2
这时候的话呢就变成什么结果呢
就变成了是T+V等于常数
这个结果你是不是有印象
就是说机械能守恒
所以说呢 机械能守恒
是广义能量守恒的一个特殊情况
在一般情况下 可能不是T+V等于常数
而是T2-T0+V等于常数
所以在定常约束情况下才有机械能守恒
好这是关于广义能量积分
那么下面我们再看
还有一种积分是叫循环积分
它也有条件 它是这样说
就是如果系统中主动力都是有势
并且拉格朗日函数L
是不显含某个广义坐标qj的
那么 我们可以看出来
因为它不显含qj
所以偏L偏qj是等于0的
好了
那么
我们把这个式子的话代入拉格朗日方程
我们看看求出什么结果呢
就变成了是偏L偏qj一点的导数等于0
那就意味着偏L偏qj等于一个常数
那个常数就是积分常数
那么这就称为叫循环积分
注意到的话呢 这个势能函数V
和广义速度没关系
把它改写成偏t偏qj
那么 动能对于广义速度的偏导的话呢
那出来结果我们把它叫Pj的话呢
Pj就是广义动量
因为动能对广义速度的偏导是广义动量
那么这广义动量的话呢
在某个情况下
它可以是动量 也可以是动量矩
也可以是某种动量和动量矩的某种组合
所以的话我们把它称为叫广义动量
-绪论
--绪论
-1-1 矢量描述法
--第一章运动的描述
--矢量及其运算
-1-2 直角坐标描述法
--例题1 椭圆规
--例题2 圆轮滚动
-1-3 自然坐标描述法
--例题3 单摆
-1-4 极坐标描述法
--例题4 演员
-扩展内容
--b 观察与思考
--c 时间与方向
--d 仰望星空
--e 兔子追击问题
-第一章 点的运动学--作业
-2-1 刚体的定义与运动形式
-2-2 刚体的矢量-矩阵描述
-2-3 刚体平面运动
-2-4 刚体定点运动
-扩展内容
-第二章 刚体运动学--作业
-3-1 点的复合运动
-3-2 刚体复合运动
-例题
-扩展内容
--钟表的设计
--寻找四叶草
--差动齿轮
--指南车
--逆行风车
-第三章 复合运动--作业
-4-0 静力学公理序言
-4-1 主矢量和主矩
-4-2 力系的等效与简化
-4-3 受力分析与刚体平衡
-4-4 平面力系的平衡方程
-4-5 考虑摩擦的平衡问题
-4-6 刚体系的平衡
--4-6-2 桁架
--4-6-3 机构
-例题
-扩展内容
--气球的平衡
--平衡大师
-第四章 几何静力学--作业
-5-1 约束及其分类
--约束及其分类
-5-2 虚位移
--虚位移
-5-3 虚功原理
--虚功原理
-5-4 广义坐标和广义力
--广义坐标和广义力
-5-5 势力场中的平衡
-例题
-扩展内容
--关于投影
--不倒翁
--5-扩展-c欹器
--冈布茨
-第五章 分析静力学--作业
-6-1 质点运动微分方程
-6-2 质点在非惯性系中的运动
-6-3 相对地球的运动
-扩展内容
--宇航员的问题
-第六章 质点动力学--作业
-7-1 质点系动量定理
-7-2 质点系动量矩定理
-7-3 质点系动能定理
-7-4 质系普遍定理的综合应用
-7-5 碰撞
--7-5 碰撞
-例题
-扩展内容
--7-拓展-a跳高
--7-扩展-b跳水
--第七章 质点系动力学--作业
-8-1 达朗贝尔原理
-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理
-8-3 第二类拉格朗日方程
-8-4 拉格朗日方程首次积分
-例题
--达朗贝尔原理例题
-扩展内容
--广义动量守恒
--广义能量守恒
--非定常约束
--无轮小车
-第八章 分析动力学--作业