8-4拉格朗日方程首次积分在线视频

好了

那么下面我们介绍第四节

拉格朗日方程的首次积分

那么在有些书上的话呢

首次积分也称为叫第一积分

第一积分首次积分都是一个意思

需要说明的是什么呢

拉格朗日方程不但给了我们

这个系统所需要的最小方程个数

还给出了如何将这个方程积分的方法

这一点的话呢是很重要的

我们可以想象的话呢

当年 拉格朗日那个时代

很多问题 它得出之后

列出方程之后 解不出来

没有解析解

因此的话呢 他进行分析的时候

那个时代又没有计算机

也没法进行数字计算

所以的话就需要考虑从理论上进行研究

如果他能够想办法

把这个拉格朗日方程

都是二阶方程 降阶

降成一阶方程的话 问题就简化一点了

如果再能降阶的话 变成代数方程

那按那是的水平就能解出来了

所以说呢 把这个方程进行积分的话呢

从理论上来说是很有价值的

那么 如何把这个方程进行积分

就需要考虑动能的表达式

我们下面看看动能 它怎么表示的

我们把动能的话呢

把它展开来看呢 它里面结构是怎样的

动能等于二分之一的西格玛里面

mi ri一点 点乘ri一点 速度的平方

那么 我们注意到的话呢

这个速度啊 ri一点

如果我们用广义作为表示的话呢

它就会有两项组成

就是ri等于西格玛里面

偏ri 偏qj 乘以qj一点

加上偏ri 偏t

好 这样一来的话呢

我们把这个代进去之后啊

式子就会比较长了

就是说这样一个式子

那么我们可以想象把它乘在一起

展开之后 就会出来这样的项

我们先定义一下

就是 T0的话呢 定义成

二分之一的西格玛里面

mi乘以偏ri偏t再乘以偏ri偏t

然后呢把t1定义成

西格玛里面 是两个西格玛了

m乘以偏ri偏qj

再乘以偏ri偏t再乘以qj一点

然后再把t2定义成

三个西格玛求和符号里面

质量乘以偏ri偏qj

乘以偏ri偏ql

乘以qj一点 ql一点

也就是说

我们把T0 T1 T2先定义出来了

同学们有没有注意到

这个T0 T1 T2是按什么规律定义的

能猜出来吗

好 是这样的话呢

它是按照速度的几次齐次式来定义的

所以T0是什么呢

就是这里面是广义速度的0次齐次式

也就是说它虽然是速度

但是它和广义速度没关系

所以的话叫T0

那么T1的话呢

是广义速度的1次齐次式

它里面出现一项qj一点

而T2的话呢

是广义速度的2次齐次式

它出现两项两个广义速度 qj ql

所以的话呢

所谓的T0 T1 T2它的下标是按照

广义速度的几次齐次式来定义的

当然可能你会说

为什么搞的这么复杂呢

本来是动能一项就可以了嘛

那么

这样分的话是为了后面出现一些结果

好 下面我们看

动能的话呢 这样定义完之后

我们可以把它写成

它等于T2+T1+T0

也就是说

按照广义速度的几次项把它分出来

然后呢 我们要注意

好我们现在把T2 T0 T1都把它再写一遍

好 下面我们来注意什么呢

对于定常约束 约束是不显含时间的

在这种情况下的话呢

我们的问题可以简化一下

可以得到什么呢

T0=0 T1=0 而T2=T

是什么意思呢 你看

如果是定常约束不显含时间的话

你看T0里面出现的偏r偏t那就为0了

所以的话呢

在定常约束的情况下

T0=0 T1=0 动能就等于T2

好 这个结果我们后面会用到

我们先记录一下

那么 下面的话呢

我们通过一个例子来看看

这个动能到底是怎么回事

我们来分析计算一下 比如说

有一个板子 水平

然后铰链的话 一个竖直的

当竖直铰链倒下去的时候

在某一位置 我们来分析一下

这个系统的动能该怎么写

好 我们首先的话呢

我们确定广义坐标

用x表示水平的一个移动

θ的话呢表示AB杆一个转动的角度

很容易的话呢我们把速度分析出来

对于水平的物体的话

它的水平移动的话是x一点也就是v

然后的话呢 对于AB杆的话呢

它包括两部分

一部分是牵连运动V1

V1就是x一点

然后一个相对运动

相对运动的话是

它的长度乘以θ一点

好

那么下面的话我们把动能写出来

动能的话怎么写呢 就是说

对于水平的物体的话呢 就是一项

是二分之一的质量乘以x一点的平方

但是对于AB杆的话呢就比较复杂

AB杆做一个平面运动

它要包括两部分组成

一部分是平动的动能

和相对转动的动能

平动动能的话我们看等于多少呢

是二分之一的质量

要把他质心的速度平方

而质心速度的话

它是由牵连加相对组成的

所以出来这样一个项

就是x一点平方加上

括号里面二分之一l乘以θ一点的平方

然后再减掉x一点乘以lθ一点sinθ

那么 这个式子的话是根据

平行四边形法则之后

利用三角形的余弦函数得出来的

然后还注意加上它转动的动能

因此是加上二分之一的

转动惯量乘以角速度平方

转动惯量的话是十二分之一的ml方

角速度的话呢就是θ一点

所以的话是这样一个式子

好了 下面我们看

在这个式子中的话呢

因为我们的x和θ是广义坐标

所以x一点θ一点的话就是广义速度

好 我们看看每一项的话都是和

广义速度的平方有关系

比如说x一点平方

或者有一项是x一点乘θ一点

所以全部都是广义速度的平方项

所以T0=0

那么类似的话 你一看的话呢

T1也等于0

所以的话呢变成是

T2等于动能这个表达式 再写一遍

所以也就是说 对于这个问题的话呢

它是一个 两个自由度的问题

同时是定常约束对它的动能

就是T2 就是全部的表达式写出来

好了 注意这样的话呢

我们把这个问题稍微改一下

就是还是这个问题

但是呢我们加个条件

假设这个水平物块的运动

是一个已知的运动

是通过某个控制之后

做个匀速运动比如说

x一点等于V0是个已知量

这样一来之后的话

我们看看它的动能表达式该怎么写呢

当然我们还是可以把它写出来

但是呢我们特别注意

我们把x一点 也就是说

x一点的话呢

这时候x已经不是广义坐标了

所以它不是广义速度

我们单独把它列出来

好 这样一来的话呢 我们看看

T0现在等于多少呢

就是二分之一的M乘以V0平方

加上二分之一的m乘以V0平方

那么这一项的话呢它是有速度平方

但是这个速度不是我们的广义速度

所以的话呢 它属于T0

那么 类似的话呢 我们把T1找出来

T1的话等于负的二分之一质量乘以

V0乘以lθ一点sinθ

这里面的话呢

它的广义速度是θ一点

它是广义速度一次项

V0的话呢是 不是广义速度

所以不用考虑 所以它就是T1

那么类似的话呢我们再看看T2

T2的话呢全是和广义速度的平方有关系

所以出现θ一点的平方 这样的量

所以的话呢 通过这个题目

我们看出来

同样的一个问题 但是条件变了之后

它的动能结构就发生变化了

在某些问题中 你看 在定常约束中

两个自由度就没有T0 T1

但是现在是一个自由度 是分项约束

就会出现T0 T1 T2的表达式就出现了

好了 有这些基础之后的话呢

下面我们来看看这个积分的问题

首先我们介绍广义能量积分

广义能量积分的话它是有条件的

它是说 如果主动力都是有势的

并且拉格朗日函数是不显含时间T的

注意是不显含时间T

那么我们可以把拉格朗日函数写出来

就是L等于 它是和q1到qN

以及q1一点到qN一点有关系的一个函数

那么 下面我们看看

我们把拉格朗日函数对时间求导数

看看等于什么呢

dL dt等于西格玛里面 偏L偏qj一点

再加上偏L偏qj一点再乘以qj两点

好了 如果主动力有势的话呢

我们把它代入拉格朗日方程之后

会有这样一个式子 就是说

偏L偏qj一点对时间的导数

减掉偏L偏qj等于0

然后呢 我们把这个式子移项之后

和上两个式子合并一下

得到这样一个式子

得到dL dt等于西格玛里面

偏L偏qj一点的导数再乘以qj一点

加上偏L偏qj一点乘以qj两点

好 这样一个式子

那么 这个式子的话呢

稍微看一下 它能够合并

写成什么呢 写成是

西格玛里面偏L偏qj一点乘以qj一点

再求导数 好 等于把它简化了

然后我们把这个式子移项一下

就变成了是

整个括号里面再求导数等于0

括号里面是什么呢

西格玛里面偏L偏qj一点再乘qj一点

减掉L等于0

那么你想

这个括号里面的话求导数等于0的话呢

就表示这个括号里面是等于常数

所以得到一个第一个积分

就是西格玛里面偏L偏qj再乘以qj一点

减掉L等于E E就是积分常数

那么这个积分的话呢

我们就把它称为叫广义能量积分

或者叫广义能量守恒

那么我们注意这个式子比较复杂

我们通常的话呢

可能希望把它变换成更好的一个结果

所以的话我们再来看一下

我们利用欧拉的齐次式定理

可以把广义能量积分

把它稍微改变一下

首先我们看看欧拉齐次定理

它是这样说的 就是

假设某个函数f是x的n次齐次式

那么就有这样一个结果

就是偏f偏x再乘x的话呢是等于nf

那么这个式子的话呢很容易验证

我们举个特例来看看

比如说 假设f是等于x的n次方

这是个特例 但特例能说明问题

那么你可以看看

偏f偏x再乘x的话呢 它等于什么呢

它等于n倍的x n-1次方再乘x

等于n倍的x n次方 所以等于nf

所以 通过这个特例的话呢

我们可以很容易验证

欧拉的齐次式定理

因此 这样一来的话呢 我们就知道

我们利用欧拉齐次式定理之后的话呢

我们可以把动能

把它看成会有什么结果

我们可以看出来什么呢

偏T2偏qj一点再乘以qj一点

就会等于2倍的T2

而偏T1偏qj一点乘以qj一点的话呢

就等于1倍的T1

而这个偏T0偏qj一点再乘以qj一点的话

等于什么呢 等于0倍的T0

所以的话呢 我们在这

我们可以看出来很好的结果

就是说 T2偏完之后就是2倍的T2

T1偏完之后 1倍的T1

而T0偏完之后是0倍的T0

所以的话从这我们就可以理解

当初我们为什么要把动能

把它分成T2 T1 T0的这样一个好处了

好了 利用这样一个结果之后的话呢

我们再看看 拉格朗日积分

它就可以把它简化成这样一个形式

就是说 首先拉格朗日函数可以写成

本来是T1-V的

我们把它现在写成T2+T1+T0-V

然后呢 广义能量积分的话呢

我们把它代进去之后 代进去之后

就变成什么呢 就变成了是

因为它这里面有偏L偏qj乘以qj嘛

是变成2T2+1T1+0T0再减掉这个

它本身 减掉T2+T1+T0-V 等于常数

把它合并一下之后的话得到什么结果呢

得到T2-T0+V等于常数

那么这个结果 就更简洁一些

同时我们看看

在特殊情况下比如说对于定常约束

我们前面曾经说定常约束的话呢

会有T1=T0=0 T=T2

这时候的话呢就变成什么结果呢

就变成了是T+V等于常数

这个结果你是不是有印象

就是说机械能守恒

所以说呢 机械能守恒

是广义能量守恒的一个特殊情况

在一般情况下 可能不是T+V等于常数

而是T2-T0+V等于常数

所以在定常约束情况下才有机械能守恒

好这是关于广义能量积分

那么下面我们再看

还有一种积分是叫循环积分

它也有条件 它是这样说

就是如果系统中主动力都是有势

并且拉格朗日函数L

是不显含某个广义坐标qj的

那么 我们可以看出来

因为它不显含qj

所以偏L偏qj是等于0的

好了

那么

我们把这个式子的话代入拉格朗日方程

我们看看求出什么结果呢

就变成了是偏L偏qj一点的导数等于0

那就意味着偏L偏qj等于一个常数

那个常数就是积分常数

那么这就称为叫循环积分

注意到的话呢 这个势能函数V

和广义速度没关系

把它改写成偏t偏qj

那么 动能对于广义速度的偏导的话呢

那出来结果我们把它叫Pj的话呢

Pj就是广义动量

因为动能对广义速度的偏导是广义动量

那么这广义动量的话呢

在某个情况下

它可以是动量 也可以是动量矩

也可以是某种动量和动量矩的某种组合

所以的话我们把它称为叫广义动量