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5-5 势力场中的平衡方程例题

下一节:关于投影

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5-5 势力场中的平衡方程例题课程教案、知识点、字幕

好 例1 这个题目我们以前曾经做过

那么现在考虑在势力场中我们重新做一下

那就考虑是平拉之后

m1 m2和大M的关系

因为我们已经知道 这是在重力场中

所以 我们可以直接把势能函数写出来

那么 比如说

m1我们以这个地方为势力零点

可以写出等于-m1乘以g

乘以x1乘以sinα

m2的话呢 以这个地方为势力零点

可以写出来-m2gx2sinβ

那么大M的话呢

可以以这个地方为势力零点写出来

这里面用了定滑轮和动滑轮关系

所以有了1/2的关系

同时考虑这边还有一个长度等于个a

所以我们把它写出来

那么在势力场中 系统处于平衡的时候

有个条件就是势能取驻值 或者叫取极值

因此 偏V偏x1要为零 通过这个式子

就能把m1和大M的关系找出来

那么这是一个偏函数

所以对每个函数求偏导 都要取为零

因此偏V偏x2也等于零

那么 通过这个式子就能找出

m2和大M的关系

我们可以看到

结果跟前面的方法应该是一样的

但是 利用这章的知识

可以更快地 更简便地得到这个结果

好 例题2 已知一个灯质量为m

然后系统中的A点是铰链C点是铰链

B呢是一个套筒 杆的质量不计

同时这个弹簧是在θ等于180°为原长

求的是当θ等于120°的时候

如果系统处于平衡

这时候弹簧的刚度系数应该是多大

并且问一下该平衡的稳定性如何

好 我们进行求解

首先 我们把弹簧的变形量算一下

Δ=2l（1-sinθ/2）题目告诉我们

θ等于180°时是原长 所以把它变形掉

那么我们一分析这个系统是在势力场中

重力场和弹性力场 因此我们可以写出它的

重力势能和弹性势能

注意 这个重力势能的零点和弹性势能的零点

可以独立地选取 所以我们可以把它写出来

然后系统平衡的时候应该是取极值

也就是说dvdθ应该取极值等于零

那么把它算一下之后 出下个表达式

那么这个式子

要在θ等于120°时取极值 等于零

那么一算就算出来 弹簧系数k应该等于

(3+2√3)mga/l2

也就是说 如果k取这个值的时候

这个系统可以在120°的时候取平衡

那么 稳定性的话 就是要求它的二阶导式

这个稍微算一下可以得到这样一个结果

稳定性需要的是二阶导数大于零

因此 我们把θ=120°代入之后

让它的值要大于零

结果发现这个值的确大于零

也就是说 这个系统是处于稳定的平衡位置

好了 我们最后再小结一下

这个题目 前面是一个灯的模型

但是它是一个理想模型 没有考虑摩擦

所以 它的解是一个确定值

要在这个位置

120°的时候找它的平衡

实际问题 考虑摩擦之后

这个平衡位置可以是多个的

所以这是理论和实际的差别

理论力学课程列表：

绪论

-绪论

--绪论

第一章 点的运动学

-1-1 矢量描述法

--第一章运动的描述

--1-1 矢量描述法

--矢量及其运算

-1-2 直角坐标描述法

--1-2直角坐标描述法

--例题1 椭圆规

--例题2 圆轮滚动

-1-3 自然坐标描述法

--1-3 自然坐标描述法

--例题3 单摆

-1-4 极坐标描述法

--1-4 极坐标描述法

--例题4 演员

--讨论题 多种方法求解

-扩展内容

--a 点的运动学扩展

--b 观察与思考

--c 时间与方向

--d 仰望星空

--e 兔子追击问题

-第一章 点的运动学--作业

第二章 刚体运动学

-2-1 刚体的定义与运动形式

--2-1 刚体的定义与刚体的运动形式

-2-2 刚体的矢量-矩阵描述

--2-2 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-0 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-1 刚体的运动方程

--2-2-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-2刚体的矢量-矩阵描述例题1-2

-2-3 刚体平面运动

--2-3 刚体平面运动

--2-3-1 平面运动的运动方程

--2-3-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-3-3 速度分析 基点法

--2-3-3 速度分析 瞬心法

--2-3-3 速度分析 速度投影定理

--2-3-3速度分析 刚体平面运动的瞬心轨迹

--2-3-4 刚体平面运动的加速度分析

--2-3-3速度分析例题1-4

--2-3-4加速度分析例题1-4

-2-4 刚体定点运动

--2-4-1 刚体定点运动几何分析

--2-4-2 刚体定点运动的解析描述

-扩展内容

--2-扩展-a加速度是否存在投影定理

--2-扩展-b图形放大器

--2-扩展-c连弩射击

--2-扩展-d关于刚体的转动

--2-扩展-e欧拉角探秘

-第二章 刚体运动学--作业

第三章 复合运动

-3-1 点的复合运动

--3-1 点的复合运动

--3-1-1 运动方程

--3-1-2 矢量的绝对导数与相对导数

--3-1-3 速度合成定理

--3-1-4 加速度合成定理

-3-2 刚体复合运动

--3-2 刚体复合运动

-例题

--3-1-1 运动方程例题1 工件轨迹

--3-1-3 速度合成定理例题1-3

--3-1-4 加速度合成定理例题1-4

--3-2-1 角速度合成例题1-3

--3-2-2 刚体定点运动例题1-2

-扩展内容

--钟表的设计

--寻找四叶草

--差动齿轮

--指南车

--逆行风车

-第三章 复合运动--作业

第四章 几何静力学

-4-0 静力学公理序言

--4-0 静力学公理序言

-4-1 主矢量和主矩

--4-1 主矢量和主矩

-4-2 力系的等效与简化

--4-2 力系的等效与简化

-4-3 受力分析与刚体平衡

--4-3 受力分析与刚体平衡

-4-4 平面力系的平衡方程

--4-4平面力系的平衡方程

-4-5 考虑摩擦的平衡问题

--4-5考虑摩擦的平衡问题

-4-6 刚体系的平衡

--4-6-1 组合结构

--4-6-2 桁架

--4-6-3 机构

-例题

--4-1 主矢量和主矩例题1-3

--4-2 力系的等效与简化例题1-3

--4-3 受力分析与刚体平衡例题1-3

--4-4 平面力系的平衡方程例题1-2

--4-5 考虑摩擦的平衡问题例题1-6

--4-6-1 刚体系的平衡例题1-3

--4-6-2 桁架例题1-4

-扩展内容

--4-扩展-a纸桥过车

--气球的平衡

--平衡大师

--4-扩展-d动物爬绳

--4-扩展-e力学与考古

-第四章 几何静力学--作业

第五章 分析静力学

-5-1 约束及其分类

--约束及其分类

-5-2 虚位移

--虚位移

-5-3 虚功原理

--虚功原理

-5-4 广义坐标和广义力

--广义坐标和广义力

-5-5 势力场中的平衡

--势力场中的平衡方程

-例题

--5-3 虚位移原理例题

--5-4 广义坐标和广义力例题

--5-5 势力场中的平衡方程例题

-扩展内容

--关于投影

--不倒翁

--5-扩展-c欹器

--冈布茨

-第五章 分析静力学--作业

第六章 质点动力学

-6-1 质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程例题

-6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2质点在非惯性系中的运动例题1

-6-3 相对地球的运动

--6-3 相对地球的运动

-扩展内容

--宇航员的问题

--6-扩展-b在小行星上打台球

--失重现象及模拟失重

--非线性方程的近似解

--落体问题在惯性系中解释

-第六章 质点动力学--作业

第七章 质点系动力学

-7-1 质点系动量定理

--7-1 质点系动量定理

-7-2 质点系动量矩定理

--7-2-1 质点系的动量矩

--7-2-2 质点系动量矩定量

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程

--7-2-4 刚体平面运动微分方程

-7-3 质点系动能定理

--7-3 质点系的动能定理

-7-4 质系普遍定理的综合应用

--7-4 质系普遍定理的综合应用

-7-5 碰撞

--7-5 碰撞

-例题

--7-1 质点系动量定理1-4

--7-2-1 质点系动量矩例题1

--7-2-2 质点系动量矩定理例题1-2

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程例题1-2

--7-3 质点系动能定理例题1-2

--7-4 质系普遍定理的综合应用例题1-2

--7-5 碰撞例题1-4

-扩展内容

--7-拓展-a跳高

--7-扩展-b跳水

--7-拓展-c手机吊冰箱

--7-扩展-d小鸭下山

--7-扩展-e飞针穿玻璃

--第七章 质点系动力学--作业

第八章 分析动力学

-8-1 达朗贝尔原理

--8-1达朗贝尔原理

-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理

--8-2达朗贝尔-拉格朗日原理

-8-3 第二类拉格朗日方程

--8-3第二类拉格朗日方程

-8-4 拉格朗日方程首次积分

--8-4拉格朗日方程首次积分

-例题

--达朗贝尔原理例题

--8-2达朗贝尔原理-拉格朗日

--8-3第二类拉格朗日方程

--8-4拉格朗日方程首次积分

-扩展内容

--广义动量守恒

--广义能量守恒

--非定常约束

--无轮小车

-第八章 分析动力学--作业

5-5 势力场中的平衡方程例题笔记与讨论

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