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下一节:8-1达朗贝尔原理

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7-扩展-e飞针穿玻璃课程教案、知识点、字幕

大家好

今天的话呢 我们来研究一个

有难度的问题 就是飞针穿玻璃

我们已经学过了很多的

力学的知识了

我们想 如果把我们的知识用于实践

去指导我们做事情

所以的话呢 我设计了这样一个游戏

这个游戏的话呢 还有个副标题

就是说 直觉 经验和实践

因为我们以前在做这个游戏的过程中

经常会有很多想法

结果后来证明都是有问题的

那么下面我们来看一下

那么 有同学可能在

电视节目中或电影中看过

有类似的镜头 武林高手

一扔 把针扔出去

能够把玻璃打穿

甚至可以做暗器伤人

因此的话呢 我们提个问题 就是说

这个飞针穿玻璃 它是个魔术

还是个气功

还是说有某种科学道理呢

我们今天来研究这个问题

好 这个视频的话呢

里面很多的动作

我们来看一下

那么 其中的话呢

我们还请一个高手 到我课堂上来

我们看看 他的展示

在很多武侠电影中

我们都看到过这样的场景

那些身怀绝技的武林高手

在十几米甚至几十米之外

瞬间飞出几根钢针

便能够见血封喉

克敌制胜

这门飞针的武林功夫

是在中华武功中

和梅花桩 螳螂拳齐名的

少林绝技之一

其实这种看似神奇的武林绝招

在现实生活中 是真实存在的

为了挑战成功

飞针穿玻璃这一高难度的武林绝技

高老师还真为同学们

请了一位高人当师父

他叫张宝

是山东省潍坊市

一名政法系统的公务员

七岁习武 特长武术套路

武术散打 武术功力

1996年开始学习

飞针穿玻璃绝技

由于自幼习武 功底好

他用了很短的时间

就掌握了飞针穿玻璃的技巧

今天 他准备把其中的诀窍

现场传授给大家

这个能教的会吗

能教会

所使用的道具就是

玻璃

还有针

这个针就是社会上可以买到的

这个缝衣服的针

张宝所选用的钢针

长度为7厘米

重0.8克

让两个学生出来拿着

我看行

然后 这里的同学们 我建议

一二三 到这个三排后面

面对面 闭上眼

在以往的表演中

都是把玻璃放置在一个

固定的架子上

但是现在 却是由真人

举着玻璃来完成表演

这是以前没这么干过吧

没这么干过

这头一回

感觉感觉吧

前三次算感觉 行不行

我去

已经过去了 好像是

过去了 绝了

针直接穿过去了

此时同学们亲眼所见的

正是以前只有在电视里

才能看到的绝技

大家都兴奋不已

太厉害了

那么后来的话呢

我又请了另外一个高手

你注意 你看着照片

前面是个玻璃 后面放三个气球

然后的话 他又在

玻璃的这一侧来扔

我们看看着气球怎么样

我正好抓拍了这张照片 你看

这个钢针刚刚接触玻璃

而且漏出一点点的时候 气球破了

我正好把这一时刻 抓下来了

你看这个表演者啊

那个 特别用力你看他眼睛

闭上了 再扔过来

那个主持人的话呢

你看也吓得花容失色

那么的确的话呢 这个是

有一定的技巧的

那么当时的话呢 我们为了

看出来这个飞针穿玻璃啊

的确是穿过玻璃的话呢

我们又做个改进

后面放的就是说

放的是一个金鱼缸

我们要证明 就是说

针穿过去之后啊

那个针落到这个金鱼缸里面

这样才是真的穿过去了

那么 我们看看他的表演啊

结果发现的话 他三针之后啊

这个金鱼缸被他打破了

针当然也落到金鱼缸里面去了

那么 看了这个之后的话呢

我们同学啊 忍不住也想尝试一下

结果我们排了队 包括我自己啊

来扔那个针

发现的话 我们不管怎么扔的话呢

这根本不能击穿玻璃 真是

玻璃表面都没有任何痕迹

但是呢 我们认为

就是 我们的特长不在于我们的体力

我们要用我们的知识

去设计个装置 完成这件事情

那么这个有没有可能呢

所以我们现在问题就是说

为什么练过武功的人

可以做到飞针穿玻璃

而我们一般人做不到

这是不是和内功有关系

因为我们经常会说 练了功会有内功

但是呢 所有练功的人的话

他说不清楚内功是什么

而我们能说出内功是什么的人

而又没练过功

所有 两者总是没有共同语言

所有我们自己通过这个实验

来解释这个现象

当然我们可以想

飞针穿玻璃和什么因素有关系呢

从我们力学角度说的话呢

不管是不是有内功

你把这个钢针发射出去之后

它的速度啊 加速度这些

力学参量啊 都是客观量

都是可以测量的

所以的话 就和内功没关系了

所以我们从这个角度来说的话呢

我们研究它 扔出去的针

有什么样的特点

那么 首先我们直觉认为啊

这个钢针速度要快

你得要速度才行

好 我们来看看速度是不是关键呢

在影视作品中

我们看到梅花针在出手的瞬间

其速度是非常之快的

那么现实生活中的张宝

在投掷飞针时的速度

到底有多快呢

我们来做这样一个实验

在墙上贴上一条

50厘米长的标尺

通过高速摄像机

每秒捕捉到的两千帧的画面

找到飞针射出时

在标识上第一帧画面

和最后一帧画面

知道了针飞行所需要的时间

就能够算出针飞行的速度

实验开始了

根据高速摄像机的数据显示

高老师算出了张宝扔飞针的速度是

每秒29米

一般在高速上 汽车的速度

一般我们说时速100公里吧

每秒大概30米左右

也就是说

当针飞向玻璃时

它的速度就好比在高速

公路上飞驰的汽车

结果表明啊

通过我们做实验表明啊 就是说

要想击穿玻璃的话呢

至少具有 什么呢 每秒30米

这个每秒30米的话呢

是个什么概念呢

如果换成时速的话呢

可能就是说 在高速公路上的汽车

每小时100多公里的时速

所以还是比较快的

但是呢 很有意思的是

我们绝大部分人

就是我们正常的成年人

都能做到这一点

因为我们专门做过实验

我们请了个体育系的学生

他的速度还超过这个速度

但是呢 打不穿玻璃

所以的话呢 我们就想

速度的话呢 我们可以什么呢

只要通过增加.. 比如我们做装置

通过增加橡皮筋 就可以增加动力

所以很容易达到这个速度

根据实验测试

两根橡皮筋发射时

钢针的速度可以达到

每秒16米

也就是说 只要用4根橡皮筋

作为发射动力

就完全可以达到

张宝飞针时所需要的力量了

就是我们现在橡皮筋还不够多

准备加的像他那样

为了使自己的弩更具威力

同学们都尽可能在装置上

多加皮筋

这样 实现飞针穿玻璃的可能性

就会更大一些

所以从这上说的话呢

我们很容易的

就是通过增加橡皮筋

把速度提高

但是呢 我们发现

我们通过增加橡皮筋之后啊

并不能击穿玻璃

所以的话 就是速度啊

可能还只是其中一个因素

那么 我们既然会想速度可能

只是一个因素 那还有什么因素

是不是角度呢 我们就想

角度可能也很关键

我们看看 看看我们的

武术高手在发射时候

他是怎么样进去的

他这个针啊 是和玻璃垂直的 进去

那么 针在穿过玻璃的瞬间

究竟与玻璃形成怎样的角度

才能使它穿过去呢

让我们先来看看

张宝在扔飞针时候

钢针是以怎样的角度

来穿透玻璃的

我们用告诉摄像机

拍摄下张宝在扔钢针时的慢动作

可以清晰的看到

针从张宝的手中飞出以后

是沿着弧形的轨迹

向前运动的

到达玻璃时是以

垂直的角度 直穿而进

那么 他是怎样

控制的如此恰到好处的呢

因为他们扔钢针的时候

他们是这样扔的

这样扔出去 他怎么才能保证他

垂直击中玻璃

那是需要长期训练 他有手感

这个玻璃 它形成不了

这个垂直面的时候

它绝对穿不过去

大家都知道

一个基本的物理学知识

就是 当一个物体与另外一个物体

发生碰撞 二者成90度角时

产生的压强最大

那么注意到

这武术高手扔的时候

他是这样扔的

这样扔的时候的话呢

这针出去的时候不是走直线

而是走一个弧线

边走边旋转 这样出去的

因此的话呢 我们看到就是说

武术高手扔针的时候

钢针是旋转着前进的

但是要在接触玻璃的时候要垂直

所以的话就有难度

我们一般人扔的时候

你既然让它旋转又要垂直

我们做不到 因为我们没有练习过

他们是经过长期的训练

这个肌肉啊 记忆

他一看见这距离啊

他就知道出手时候 这个

手这么用力的

力度以及和旋转时候的角度

他是马上就能根据肌肉记忆实现的

我们做不到 所以我们

做不到飞针穿玻璃

那为什么这个角度很关键呢

我们可以通过一些图片来说明

比如说士兵

戴的钢盔是圆形的

这样的话呢 当子弹打中它的时候

它只要不是和它的

特别的垂直 有个角度的话

它就容易反弹出去

所以话呢 做成圆形的钢盔的话

能够保护士兵

其次的话呢 你看

现在的坦克啊

钢板是怎么装的啊

它不是竖直安装的

它是倾斜安装的

这样的话 你在打中的时候

你的 你比如发一个炮弹

打中的时候

它只要不是垂直于这个钢板的话呢

它很容易被弹开

所以的话 从这个角度说

这个角度很关键

好 那么既然角度很重要

那么我们为什么不能这样扔呢

我们把针 这么平着扔出去

这样扔的话 不是很平稳吗

这里面是另外一个问题

你虽然很平稳的

但是呢 你的速度也上不去了

好 我们知道的话呢

在体育运动中 扔标枪的时候啊

我们都是先助跑

然后手 身体

一起这么动起来 这么扔

这样扔的话呢 有很大的速度

而你直接把手这么平着扔的话呢

只是手部在用力啊

而且做功的距离比较短

所以的话 速度是不够的

所以我们把我们的力学知识

用来解释我们的现象

所以的话呢

第一你的位移小 做功不够

第二的话 你这样做的话

不是爆发力

而你有一个这样甩出去的话呢

有爆发力 是容易使它速度大的

因此的话呢 钢针

要穿过玻璃的话呢

第一速度要大 角度还要正确

要同时满足 才能击穿玻璃

而我们通常来说的话呢

特别是对于一个就是以前

没有做过这样实验的人的话呢

它首先想的是速度

角度他可能没太注意

好 那么我们学生的话呢

当然了解之后的话呢

就想设计个弩

但是这个弩的话呢

能够走直线

而且的话 力度也能够控制

那么 有了弩之后是不是

就能走直线呢

我们来看看

结果啊 出乎我们预料

即使设计了弩

发射的时候 用那个

把钢针从那个很细的管子里发射出来

这个发现结果走的也不是直线

好 同志们 开始啦

还搞一下火

真是火箭啊

好 过一个

掌声啊

准备好了

哇 好

发射

它针 针孔在哪

针在这

我们可以看看这个地方

如果这个针啊 是这样进去

垂直进去的话 这留个小孔

但是我们发现的话 它都是

这个角度啊 至少有20度30度

它是这样进去的

通过白纸上留下的针孔

我们可以知道

如果钢针是垂直穿过白纸的话

那么 纸上就应该出现一个

与针的直径相似的圆孔

如果针不是垂直的

而是横着或者斜着穿过白纸

那么纸上就会呈现出

这样长条形的裂纹

更多的时候还是竖着出去

竖着或斜着出去

你要瞄准的是直的

但是有可能它发射时候不是直的

所以他们这个装置啊

还有改进的余地

就是他们打纸还没问题

但是他们要是打玻璃的话还是有困难

通过实验我们看到

同学们的装置

在发射钢针的时候

大多数都不是垂直入射

而是斜着出去的

那么究竟怎么才能让针

走直线呢

这是枪膛的内部结构

我们可以看到有这样

螺旋状的沟槽 这叫F线

当弹头冲过枪膛时

会因而产生自旋

这样 子弹在离开枪膛之后

就可以飞的更远

打的更准

那么同学们在制作

发射装置的时候

是不是可以考虑让钢针

也能产生自旋而飞出呢

这个呢 因为我们时间很短

就是说 在几天之内把它做出来

的确没法做出F线

而且就算你做了F线的话

你这个钢针本身和它不匹配

也没用

同学们制作的发射装置

大多数是以弩的结构形式为主

那么这种结构的弹道

应该做成什么样

才能使钢针飞出的时候

飞的比较直呢

好 那么这个图的话呢

是学生们穿过一张纸张情况下的

留下来的痕迹

我们可以想象 如果一个针是

垂直穿入纸的话呢

它只会留下很小的针眼

就基本上是针的直径

但是我们发现在纸上留下了

很多不同的直径 有的是一个针眼

但是有的是特别长的一个

这表明针是横着穿过去的

这样的一个问题

我们距离很近

大概只有半米左右吧

从很细的管子发射出去的

怎么会出现这样一个情况呢

我们来看一下

好 通过研究啊 我们发现

原来我们装置中的

发射的管子

撞针和钢针的尺寸啊

都不相同

虽然看起来都很小

但是都是不相同的

因此的话呢 我们后来想了一种办法

就是 用胶带缠一下

你看我们图片中这个胶带

缠完之后的话呢

让三个直径啊

就是发射管道 撞针

和钢针的直径啊

内外直径基本上一样

这样的话 减少它里面的晃动

好 结果我们发现

即使我们这样做之后的话呢

还是不一定成功

那 这个问题考虑到了速度 角度

为什么还不成功呢

接下来看一看

此时 高老师发现

张宝在扔飞针的时候

对针本身也做了一些

细小的处理

这是什么呢

大家注意针尖

没有造假啊 就是发射的

最坚韧的一个薄弱部分

把它打掉 它会用这个

后面的结实部位

那么为什么磨掉针尖呢

就是一个针撞到玻璃时候啊

它针尖特别尖啊

反而会效果不好

因为针尖太尖的时候

一撞到玻璃啊

针尖会变形

对此 高老师又做了一个实验

他将要发射一根针尖

没有被打磨的钢针

结果会怎样呢

实验证明

针尖没有被打磨过的钢针

在发射时的确

被玻璃弹了回来

一般人觉得好像针尖很尖的话

打上去压强会很大

这个想法是对的

但是还有另外一方面

它虽然压强大 但是它变形也很大

这个针尖变形 把能量吸收掉之后

所以打不穿

关于能量吸收的现象

在现实生活中还有一个

更加直观的例子

就是汽车保险杠

汽车相撞时

首先受到撞击的地方

就是保险杠

保险杠会通过变形

来吸收撞击时

所产生的巨大的力

这样传到人身上的力

就会减小

人就会相对安全多了

好 我们这个是相反

是把这个能变形的去掉它

那么不要吸收能量 直接撞玻璃

把能量全部传到玻璃上面去

为了检验被磨掉针尖的钢针

是否比之前更有威力

高老师准备先用它

来穿一下鸡蛋

看看效果如何

比如说 我要踢玻璃的话

我得全部用上

我要弄鸡蛋的话 用两个就行了

枪口 鸡蛋

一 二 三

老师这是要教学生魔术

还是教学生功夫呢

记者赶紧先找到了

清华大学航天航空学院的

高云峰老师

原来 和之前的手机吊冰箱一样

这个 也是高老师的

创新实验课内容之一

同学们要巧妙利用力学知识

自己设计装置来完成

飞针穿玻璃

先甭管实验是不是能成功

同学们看起来各个都是兴致勃勃的

不知道这东敲敲西梆梆做的装置

能不能让飞针穿过玻璃啊

哎 这是什么啊

怎么还用一个托盘托着

之前那个弩看起来还有点

飞针穿玻璃的样子

这又是个什么装置

能飞针穿玻璃吗

现在专业名词我们可以叫它电磁枪

然后现在也有一些很高端的武器

叫做电磁炮

大概它们都基于相同的原理

都是用电磁力把子弹射出去

没看出来

这个 还是高科技的装置

看来同学们真是把平时积累的知识

都运用到自己的发明创造上了

虽说不知道同学们到底

能不能成功的飞针穿玻璃

但是从五花八门的装置上能看出来

同学们的想象力和创造力

可真是够丰富的

比赛快要开始了

他们都能成功吗

飞针穿玻璃正式开始

可惜接连几个组的尝试

都没有成功

预备 走

现在上场的是唯一一个高科技武器

电磁枪

它能够飞针穿玻璃吗

三 二 一

可惜 也没有成功

接下来上场的这个弩

做工看起来很精致

居然一共上了五根弦

看来有些名堂

不仅针飞出去了

就连这玻璃都破了一个圆圆的洞

成功

今天共有十组同学

参加了比赛

结果只有两个组成功

让飞针穿过了玻璃

比赛之后啊

我们只有两个组成功了

那么大部分组的话呢

由于各种原因都没成功

说明这里面有很多困难

那么 通过这个比赛的话呢告诉我们

第一 我们在做事情的时候

会有一些直觉的想象

但是这想象不一定是正确的

我们要通过实践的方式

找出问题然后解决问题

第二的话呢 就是说问题总是可以解决的

当然你需要考虑周全

那么为什么学生的装置不能成功呢

当然有很多原因

就是刚刚我们说的前面

一些原因之外的话呢

还有发射时候啊 不能抖动

你一抖的话呢 效果就不好

所以的话呢 你橡皮筋用的太多之后

会有一些什么问题呢

它发射时候容易抖动

因为你开关不好控制

所以的话呢 在能够保证速度的情况下

橡皮筋啊 少点反而好

这又出乎我们预料

因此的话呢 通过飞针穿玻璃

我们学了很多的秘籍

这秘籍的话呢 是

第一要有足够的速度

还有垂直的角度

然后的话呢 我们

大部分人扔出的钢针啊

速度上是够的 只是角度控制不了

这一点出乎我们的预料啊

其次的话 还有一些因素啊

我们可能不太容易注意到

就是 针尖不能太尖了

要把它稍微磨平一点点

这个我们大部分人是想不到的

其次还有一点就是说

要控制发射时候的抖动

在我们这样设计情况下的话呢

橡皮筋不是越多越好

而是说适当为好

所以我们通过实践的话呢

发现了很多的规律

这些规律的话呢

使我们事先想不到的

所以就告诉我们

就是说 实践是检验真理的唯一标准

好 最后看看我们在实践中

打出来的玻璃

各种情况

你看我们现在的话

可以打出雪花状的

可以打出蝴蝶状的

我们甚至可以打出一个

很圆很圆的一个圆孔

那么这个的话呢

是那些武术高手打不出来的

虽然我们自己手工做不出来

但是我们通过装置

可以做出一个很漂亮的花出来

好 有兴趣的同学

你们不妨尝试尝试挑战我们

但是注意安全

理论力学课程列表:

绪论

-绪论

--绪论

第一章 点的运动学

-1-1 矢量描述法

--第一章运动的描述

--1-1 矢量描述法

--矢量及其运算

-1-2 直角坐标描述法

--1-2直角坐标描述法

--例题1 椭圆规

--例题2 圆轮滚动

-1-3 自然坐标描述法

--1-3 自然坐标描述法

--例题3 单摆

-1-4 极坐标描述法

--1-4 极坐标描述法

--例题4 演员

--讨论题 多种方法求解

-扩展内容

--a 点的运动学扩展

--b 观察与思考

--c 时间与方向

--d 仰望星空

--e 兔子追击问题

-第一章 点的运动学--作业

第二章 刚体运动学

-2-1 刚体的定义与运动形式

--2-1 刚体的定义与刚体的运动形式

-2-2 刚体的矢量-矩阵描述

--2-2 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-0 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-1 刚体的运动方程

--2-2-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-2刚体的矢量-矩阵描述例题1-2

-2-3 刚体平面运动

--2-3 刚体平面运动

--2-3-1 平面运动的运动方程

--2-3-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-3-3 速度分析 基点法

--2-3-3 速度分析 瞬心法

--2-3-3 速度分析 速度投影定理

--2-3-3速度分析 刚体平面运动的瞬心轨迹

--2-3-4 刚体平面运动的加速度分析

--2-3-3速度分析例题1-4

--2-3-4加速度分析例题1-4

-2-4 刚体定点运动

--2-4-1 刚体定点运动几何分析

--2-4-2 刚体定点运动的解析描述

-扩展内容

--2-扩展-a加速度是否存在投影定理

--2-扩展-b图形放大器

--2-扩展-c连弩射击

--2-扩展-d关于刚体的转动

--2-扩展-e欧拉角探秘

-第二章 刚体运动学--作业

第三章 复合运动

-3-1 点的复合运动

--3-1 点的复合运动

--3-1-1 运动方程

--3-1-2 矢量的绝对导数与相对导数

--3-1-3 速度合成定理

--3-1-4 加速度合成定理

-3-2 刚体复合运动

--3-2 刚体复合运动

-例题

--3-1-1 运动方程例题1 工件轨迹

--3-1-3 速度合成定理例题1-3

--3-1-4 加速度合成定理例题1-4

--3-2-1 角速度合成例题1-3

--3-2-2 刚体定点运动例题1-2

-扩展内容

--钟表的设计

--寻找四叶草

--差动齿轮

--指南车

--逆行风车

-第三章 复合运动--作业

第四章 几何静力学

-4-0 静力学公理序言

--4-0 静力学公理序言

-4-1 主矢量和主矩

--4-1 主矢量和主矩

-4-2 力系的等效与简化

--4-2 力系的等效与简化

-4-3 受力分析与刚体平衡

--4-3 受力分析与刚体平衡

-4-4 平面力系的平衡方程

--4-4平面力系的平衡方程

-4-5 考虑摩擦的平衡问题

--4-5考虑摩擦的平衡问题

-4-6 刚体系的平衡

--4-6-1 组合结构

--4-6-2 桁架

--4-6-3 机构

-例题

--4-1 主矢量和主矩例题1-3

--4-2 力系的等效与简化例题1-3

--4-3 受力分析与刚体平衡例题1-3

--4-4 平面力系的平衡方程例题1-2

--4-5 考虑摩擦的平衡问题例题1-6

--4-6-1 刚体系的平衡例题1-3

--4-6-2 桁架例题1-4

-扩展内容

--4-扩展-a纸桥过车

--气球的平衡

--平衡大师

--4-扩展-d动物爬绳

--4-扩展-e力学与考古

-第四章 几何静力学--作业

第五章 分析静力学

-5-1 约束及其分类

--约束及其分类

-5-2 虚位移

--虚位移

-5-3 虚功原理

--虚功原理

-5-4 广义坐标和广义力

--广义坐标和广义力

-5-5 势力场中的平衡

--势力场中的平衡方程

-例题

--5-3 虚位移原理例题

--5-4 广义坐标和广义力例题

--5-5 势力场中的平衡方程例题

-扩展内容

--关于投影

--不倒翁

--5-扩展-c欹器

--冈布茨

-第五章 分析静力学--作业

第六章 质点动力学

-6-1 质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程例题

-6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2质点在非惯性系中的运动例题1

-6-3 相对地球的运动

--6-3 相对地球的运动

-扩展内容

--宇航员的问题

--6-扩展-b在小行星上打台球

--失重现象及模拟失重

--非线性方程的近似解

--落体问题在惯性系中解释

-第六章 质点动力学--作业

第七章 质点系动力学

-7-1 质点系动量定理

--7-1 质点系动量定理

-7-2 质点系动量矩定理

--7-2-1 质点系的动量矩

--7-2-2 质点系动量矩定量

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程

--7-2-4 刚体平面运动微分方程

-7-3 质点系动能定理

--7-3 质点系的动能定理

-7-4 质系普遍定理的综合应用

--7-4 质系普遍定理的综合应用

-7-5 碰撞

--7-5 碰撞

-例题

--7-1 质点系动量定理1-4

--7-2-1 质点系动量矩例题1

--7-2-2 质点系动量矩定理例题1-2

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程例题1-2

--7-3 质点系动能定理例题1-2

--7-4 质系普遍定理的综合应用例题1-2

--7-5 碰撞例题1-4

-扩展内容

--7-拓展-a跳高

--7-扩展-b跳水

--7-拓展-c手机吊冰箱

--7-扩展-d小鸭下山

--7-扩展-e飞针穿玻璃

--第七章 质点系动力学--作业

第八章 分析动力学

-8-1 达朗贝尔原理

--8-1达朗贝尔原理

-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理

--8-2达朗贝尔-拉格朗日原理

-8-3 第二类拉格朗日方程

--8-3第二类拉格朗日方程

-8-4 拉格朗日方程首次积分

--8-4拉格朗日方程首次积分

-例题

--达朗贝尔原理例题

--8-2达朗贝尔原理-拉格朗日

--8-3第二类拉格朗日方程

--8-4拉格朗日方程首次积分

-扩展内容

--广义动量守恒

--广义能量守恒

--非定常约束

--无轮小车

-第八章 分析动力学--作业

7-扩展-e飞针穿玻璃笔记与讨论

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