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好 大家好
今天我们讲新的一节
第五节 碰撞
那么碰撞的话呢 实际上是把
前面的动量 动量矩和动量定理
也是一种综合运用
只是考虑到它特殊的情况
那么下面我们来介绍一下
那么碰撞问题的话呢
是一类特殊的问题
我们要做一些基本假设
才能好处理
因为实际的问题很复杂
首先的话呢 我们根据
碰撞的实际特点
来做这样一些处理
就是 第一 碰撞是在
极短的时间内发生的
物体的速度的话呢
发生了很大的变化
而且出现了很大的碰撞力
这是碰撞一个基本特点
就是时间极短 作用力极大
其次的话呢 碰撞有些基本特征
撞击力啊具有瞬时性
所以的话呢 如果你很想研究在
撞击的很短的时间
它力到底是多少 是多少牛的话呢
可能有很大困难
所以一般来说 我们用的是叫
碰撞冲量
就是 近一段时间内的话
力的一个总的效果 它累积的效果
用碰撞冲量来表示
其次的话呢 碰撞问题一般
机械能是不守恒的
因为你可以想象 一撞的话呢
可能有的时候会出现撞了之后
恢复不了变形
那么 物体本身要吸收一些能量
即使它的变形能够的话呢
你可以想象 一撞的时候有声音
那声音也是一种能量啊
所以的话呢 一般来说
机械能是不守恒的
那么为了处理碰撞问题的话呢
我们要做一些基本假设
因为实际问题太过于复杂
我们把它的最核心的特点
把它取出来
第一就是说
叫 局部变形的刚体模型
这是什么意思呢
从字面上说 这是矛盾的
刚体怎么还变形呢
它是这样考虑的 就是说
它把碰撞过程分为
变形和恢复
这个变形的话 是指的是
它在碰撞过程中通常物体
会有很微小的实际问题
会有很微小的变形
这些问题可能比较小
可能整体上来比的话呢
不是很大
所以的话呢 我们用的是
局部的一个变形
同时的话呢 变形之后
可能还会恢复
所以把它分成这样一个
局部的变形刚体模型
其次的话呢 我们是研究
碰撞前后运动的变化
我们用的是相关的
积分形式的动量定理
或者是能量定理等等
而不是研究在碰撞的每一时刻
那个怎么变化 那个过于复杂
另外还有一个特点是
碰撞过程之中的话呢
那个碰撞力是很大的
它大到什么程度呢
就是通常来说它的常规力
可以忽略不计
这什么意思呢 就是说
一个物体本身它有重力
还受到其它的一些
常规的力作用在上面
在碰撞的情况下
这个重力啊 和它自己的
碰撞力相比啊 可以忽略不计
那么这个是实际问题中的一个抽象
一个简化
那么最后的话呢
还有一点就是说
碰撞的时间是极短的
物体的速度有了明显变化
但是位移的话呢可以忽略不计
所以这些假设的话呢
都是根据碰撞的实际问题
进行抽象
进行简化之后得出来的
由这个简化之后的话呢
我们就可以进行处理了
好 下面我们可以看个例子
这是个弹性杆的话呢
撞击一个物体之后发生了变形
我们看到画面上的话呢
它的颜色变化
颜色表示它受到力的变化
那么这个问题的话呢 可以
理解为是一个
弹头撞击了装甲
比如撞击了坦克的装甲
它产生的变化
好 所以的话呢
可以研究很复杂的问题
那么下面我们具体来介绍
就是用有限形式的动量
和动量矩定理来研究碰撞问题
我们注意到的话呢 在前面讲过的
动量定理写的是什么呢
系统动量的变化
等于外力的主矢量
所以的话呢 是写的是
d里面mvc除以dt的话呢等于R
R是外力主矢量
那么 把这个式子的话呢
我们用有限形式
也就是把两边进行积分
那积分之后是什么呢 就是
碰撞之后的质量
乘以它具有的质心速度
减掉碰撞之前的质量
乘以它的质心速度
等于碰撞冲量
用I表示
也就是说 质系在碰撞前后
动量的改变等于作用在质系上
所有的碰撞冲量的主矢量
这是它的动量定理的积分形式
那么类似的话呢
就是说动量矩定理
也可以用积分形式
我们知道的话 本来的话
动量矩定理是这样写的 就是说
系统对A点的动量的变化
等于所受的外力
对A点的主矩
那么 把这个式子的话
也进行两边积分
好 进行积分之后变为这样一个结果
那么 我们再注意一下
对于碰撞问题的话呢
我们前面假设了 就碰撞的时候
也就是说碰撞过程中的位置
没有明显变化 速度有明显变化
因此的话呢 我们在这个问题中
可以把那个ρ
把它考虑不变化
因此的话呢 可以把它提出来
提出之后进行积分之后
变成这样一个结果 就是说
质系在碰撞前后
对定点的动量矩的改变
等于作用在质系上所有的
外碰撞冲量对该点的主矩
大家注意 这个结果中用了一个
结果就是 在碰撞过程中
位置没有明显变化
这用了这样一个假设
好 那么我们再看看
对于定轴转动
如果刚体受到碰撞冲量
那会有什么结果呢
我们把这个 直接写出来就是说
转动惯量乘以碰撞后的角速度
减掉碰撞前的角速度
等于所有的力矩对那个轴的冲量
好 所以的话这样的话类似的
平面运动刚体在碰撞冲量下
它作用的动力方程
也把它改成相应的积分形式
比如说水平方向
列一个方程
竖直方向列一个方程
然后关于转动列一个方程
所以有这样三个方程
也就是说的话呢 在这个章节
在碰撞理论里面用的方程啊
是以前的关于动量 动量矩
或者动能定理 全是用它的积分形式
那么下面我们研究一下
一个小球的斜碰
通过研究斜碰的话呢
我们引出一些概念来
因为正碰比较简单
所以我们研究斜碰
所以我们假设
质量是m1 速度为v1的一个小球
和质量为m2 速度是v2的小球
这样 斜碰了
碰完之后可能要分离
那么我们想研究一下碰撞后
两个小球的速度
u1和u2分别是多少
它是这样靠拢
碰撞之后要分开
我们建立一个坐标系
公法线和公切线方向 一个τ一个n
那么 我们暂时不考虑摩擦
我们看看这个问题 怎么处理
首先的话呢 这个
注意在碰撞前后
这个 两个质点
所组成的系统
在法向上的动量是守恒的
因此的话呢 两个小球
还要在各自的切向上是守恒的
因此我们可以列出三个方程来
我们来看一下
那么为什么说
它各自在切线方向是守恒
那是因为它碰撞时候的话呢
有相互作用力
所以的话呢 对于单个小球来说的话
在水平上是不守恒的
所以这是有三个方程
那么
写出三个方程之后的话呢
数一下有几个未知数
你数一下的话呢 发现
方程的数目不够
所以的话呢 我们还需要补充一个方程
才能求解
那么对于这样的问题
补充什么方程呢
好 我们来考虑一个这样的问题
就是说 它的恢复系数
首先我们定义一下什么叫恢复系数
就是 两个质点在碰撞的时候
就是说 恢复冲量
与压缩冲量的大小之比
定义为恢复系数
我们用e表示
e的话等于I2除以I1
其中的话呢 I2和I1的话呢
我们来看一下 它是这样来定义的
首先 比如说那个
定义出来之后
对于1球和2球分别写出来之后
是这样一个公式
这是根据定义来写的
从这个公式中的话稍微处理下之后
就能得到这样一个公式
我们把它写出来
得出什么呢
得出 恢复系数是等于
两个质点相互靠拢的速度
和它相互分离速度之比
同时的话呢 相互靠拢还加一个
是在公法线上靠拢
和公法线上分离的速度之比
得到这样一个关系
所以就是说呢 恢复系数等于
碰撞后相对分离的速度
和碰撞前相对接近的速度之比
好 这样的话我们补充一个方程之后
就能够求解了
那么 把这个方程
跟前面方程联立之后
可以解出很长的式子来
就是碰撞后的
u1 u2都把它解出来了
我们看看这个方程里面
就是说 在τ的方向上 比较简单
就是说撞之后的τ方向
等于撞之前的τ方向
这是为什么呢
因为我们前面假设的话
没有摩擦 所以这样撞完之后
在这个方向的话呢
方向是大小不变的
但是 在这个法向上的话呢
它方向会有变化 而且很复杂
所以的话呢 我们来看一看
在特殊情况下 它会是什么结果
因为在一般情况下很复杂的话呢
它把它的一些现象给掩盖掉了
还在特殊退化情况下
能看出它的一些特殊的性质
比如说 假设是一个塑性碰撞
就是碰撞之后啊 不分开
也就是e等于0
在这样的情况下的话
我们把e等于0带进去的话
看出什么呢
发现等于u1n 等于u2n
撞完之后两个在一起了
它具有什么速度呢
具有m1乘以u1
加上m2乘以u2
然后整个这个除以总质量
等于这样一个结果
好 我们看另外一种情况
如果在特殊情况下 比如说
恢复系数等于1
等于1的话是什么意思就是
完全弹性碰撞能量任何损失
在这种情况下特别是
如果还有m1等于m2的时候
会是什么结果呢
会有一个很有意思的结果
就是 因为u1n等于v2n
u2n等于v1n
这什么意思呢 就是两个球
法向方向 交换速度
那么关于这点的话呢
我们在后面会给大家看一个
一个例子
两个小球撞的时候交换速度
这是很有意思的一个现象
其次我们再看一个特殊情况
就是 假设一个小球
和一个固定面相撞击
在这种情况下的话呢
我们可以把固定面看成是
质量为无穷大 速度为零的情况
那么把这个结果带进去之后
发现得什么结果呢
得到u1n等于负的ev1n
u2等于零
这什么意思呢
就是说撞完之后
固定面还是不动
但是呢 那个小球
撞完之后具有的速度是什么呢
第一 有个负号是反向
第二 从速度大小的话呢
是变为原来速度的
乘以一个恢复系数的那个倍数
因此利用这个方程的话呢
可以来测量一些物体的恢复系数
就是说你看一个球落下去
它撞击之后弹起来
根据 我们知道速度和高度是有关系的
根据测量的高度的话呢
可以把速度求出来
从而把那个恢复系数求出来
所以这个公式的话呢 也是一种
测量恢复系数的一种方法
那么我们看一个视频
这个视频的话呢 是告诉我们
假设有一堆小球
这个小球的话呢想把它捡出来
它里面根据什么呢
根据它的恢复系数
把它分检
我们看到的话呢
如果这个小球啊 比如红色球
恢复系数小 它落的距离比较近
那么绿色球的话恢复系数比较大
落的比较远
那么只有蓝色球恢复系数比较合适
落到我们的盆子里面了
所以的话 利用这种方式
可以把一些你所需要的
把它捡出来
这是种自动分解的方法
好 采用这种方式来分解
好 下面我们研究一下这碰撞前后
系统的动能的变化
那么 刚才我们研究的这两个小球
碰撞之后它的速度已经求出来了
下面我们来看一看
它的碰撞前后它的总的动能是怎么呢
我们把它写出来
碰撞之前
两个小球的动能
把它写出来之后分别相加
碰撞之后也相加
碰撞之前的话是T1等于二分之一的m1
v1的平方加上二分之一的m2 v2的平方
碰撞之后的话是T2
等于二分之一的m1 u1平方
加二分之一m2 u2平方
那么我们看看会有什么变化呢
通常我们说碰撞过程
会有能量损失
所以我们把能量损失写出来
ΔT等于T1减T2
好 写出来之后的话呢
是这样一个表达式 式子比较长
那么我们可以看出来
第一 在完全弹性碰撞情况下
也就是说恢复系数e等于1
在这种情况下呢 你带进去的话呢
你看出来ΔT等于零
也就是说 在完全弹性情况下
能量是没有损失的
第二 我们假设碰撞过程中
有一个物体始终不动
那么这就可以算出来
能量损失是等于什么呢
它写出来之后是这样一个式子
它等于是 最后等于是
1减去e平方除以
1加上m1除以m2
再乘以T0
T0的话就是开始时候具有的动能
那么 注意的是
这个ΔT的话表示能量损失
它和什么有关系呢
第一和你的恢复系数有关系
其次的话呢 和你的两个质量比有关系
就是 比如
就是说 我们假设
一个物体撞击另外一个物体
两个质量不一样的话 它的比值不一样
导致能量损失不一样
因此我们可以看一个情况
锻压机和打桩机的工作情况
我们知道的话 锻压机的话是通过
锻压的话呢 把那个金属啊
夹着的那个金属啊 慢慢慢慢变形
所以的话呢 我们看看我们需要怎么呢
我们需要它慢慢慢慢变形
比如说需要它的变形能
要把它动能损失掉 让它变形
所以的话 m2要稍微大一些
那么再看看打桩机的话呢
是需要把一个比较瘦小的桩
噔噔 砸到地里面去
这时候要把m2取小一点
m2取小点是什么呢
那么 动能损失小
动能损失小的话呢
把上面的能量撞入的话呢
直接让它变成穿入到地里面去
所以的话呢 选择适当的大小
对它打桩的时候
或者是锻压时候 是有帮助的
所以的话呢 如果我们选反的话呢
效果就不好
所以的话呢 锻压机和打桩机的话呢
它在设计的时候
已经考虑到能量的损失
其次的话呢 我们再看一下
可能很多同学在电视中或电影中
看过有些江湖人士
表演胸口碎大石
那么我们也可以来
用我们学的碰撞定理来解释一下
首先的话呢 一般来说你会看到
胸口碎大石的时候 是人躺在地面上
胸口放一个大石头
那么 我们可以解释一下
为什么胸口要放个大石头呢
你可以想象如果拿锤子直接砸的时候
如果锤子直接砸胸口上的话呢
它的接触面积比较小
所以的话的人的这个垂直的动能
全部要被你胸口这个肌肉吸收
所以胸口会变形很厉害
伤及你的内脏
但是如果垫上石头之后
情况就不一样了
首先你的锤子砸在石头上面
石头的话 还会裂开
使人感觉好像很厉害
但实际上正好相反
就是说 石头裂开的话是会吸收能量的
它把你的这个锤子的能量全部吸收之后
传到你身上的能量就很小了
所以的话呢 在你能够承受的情况下
这个胸身上的石头越重
越厚越好 越安全
好 这是说在你能承受的情况下
这个石头越大越好
所以说呢 很少见到
有谁直接躺那 让你去砸
那样的话 真的是水平要很高
相反的话呢 上面垫个石头之后
就比较容易了
当然我们要是说 也是需要锻炼的
所以一般你不要轻易的尝试
高云峰老师看过视频后
提出了自己的解释
在人能够承受的范围内
这个石头越重的话呢
实际上人士越安全的
当那个锤子砸下来的时候
这个锤子有很大的速度
有很大的能量
当锤子砸到石头的时候
它会把石头砸碎
我们知道石头破碎的话
是需要能量的
这时候枪尖弯了
我明白您的意思了
也就是说呢
这石头破碎的时候
它把锤子大部分的动能都吸收掉
这样的话呢
传到身上的能量就比较小了
如果搁一块豆腐这人就完了
这人基本上就完了
根据高云峰老师的解释
铁锤在接触大石后的瞬间
石块破碎吸收了大部分能量
因此传递到人身体
以及三个枪的力量将会变小
石块越大
破碎后吸收的能量就越多
传递到人身体的力量也就越小
因此铁锤碎大石
并没有看上去的那么危险
有了高老师从科学角度的分析
主持人决定
亲身体验一下背后碎石
到底是什么感觉
今天呢 他决定让我
也体会一把背后碎大石
其实这个啊 还是很安全的
人们害怕这个只是心理因素
在能够承受的范围内
石头越重越安全
怎么这么沉啊
经过解释主持人好像放松了些
随后体验开始
一切来的太突然了
没有什么特别强烈的感觉
感觉好像就是有人在你背后
轻轻的撞了你一下
于是石板就裂开了
于是就轻松了
于是很舒服 很舒服
但是在没有
专业人士的支持和帮助之下
请大家自己千万不要模仿
-绪论
--绪论
-1-1 矢量描述法
--第一章运动的描述
--矢量及其运算
-1-2 直角坐标描述法
--例题1 椭圆规
--例题2 圆轮滚动
-1-3 自然坐标描述法
--例题3 单摆
-1-4 极坐标描述法
--例题4 演员
-扩展内容
--b 观察与思考
--c 时间与方向
--d 仰望星空
--e 兔子追击问题
-第一章 点的运动学--作业
-2-1 刚体的定义与运动形式
-2-2 刚体的矢量-矩阵描述
-2-3 刚体平面运动
-2-4 刚体定点运动
-扩展内容
-第二章 刚体运动学--作业
-3-1 点的复合运动
-3-2 刚体复合运动
-例题
-扩展内容
--钟表的设计
--寻找四叶草
--差动齿轮
--指南车
--逆行风车
-第三章 复合运动--作业
-4-0 静力学公理序言
-4-1 主矢量和主矩
-4-2 力系的等效与简化
-4-3 受力分析与刚体平衡
-4-4 平面力系的平衡方程
-4-5 考虑摩擦的平衡问题
-4-6 刚体系的平衡
--4-6-2 桁架
--4-6-3 机构
-例题
-扩展内容
--气球的平衡
--平衡大师
-第四章 几何静力学--作业
-5-1 约束及其分类
--约束及其分类
-5-2 虚位移
--虚位移
-5-3 虚功原理
--虚功原理
-5-4 广义坐标和广义力
--广义坐标和广义力
-5-5 势力场中的平衡
-例题
-扩展内容
--关于投影
--不倒翁
--5-扩展-c欹器
--冈布茨
-第五章 分析静力学--作业
-6-1 质点运动微分方程
-6-2 质点在非惯性系中的运动
-6-3 相对地球的运动
-扩展内容
--宇航员的问题
-第六章 质点动力学--作业
-7-1 质点系动量定理
-7-2 质点系动量矩定理
-7-3 质点系动能定理
-7-4 质系普遍定理的综合应用
-7-5 碰撞
--7-5 碰撞
-例题
-扩展内容
--7-拓展-a跳高
--7-扩展-b跳水
--第七章 质点系动力学--作业
-8-1 达朗贝尔原理
-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理
-8-3 第二类拉格朗日方程
-8-4 拉格朗日方程首次积分
-例题
--达朗贝尔原理例题
-扩展内容
--广义动量守恒
--广义能量守恒
--非定常约束
--无轮小车
-第八章 分析动力学--作业