7-5 碰撞在线视频

好 大家好

今天我们讲新的一节

第五节 碰撞

那么碰撞的话呢 实际上是把

前面的动量 动量矩和动量定理

也是一种综合运用

只是考虑到它特殊的情况

那么下面我们来介绍一下

那么碰撞问题的话呢

是一类特殊的问题

我们要做一些基本假设

才能好处理

因为实际的问题很复杂

首先的话呢 我们根据

碰撞的实际特点

来做这样一些处理

就是 第一 碰撞是在

极短的时间内发生的

物体的速度的话呢

发生了很大的变化

而且出现了很大的碰撞力

这是碰撞一个基本特点

就是时间极短 作用力极大

其次的话呢 碰撞有些基本特征

撞击力啊具有瞬时性

所以的话呢 如果你很想研究在

撞击的很短的时间

它力到底是多少 是多少牛的话呢

可能有很大困难

所以一般来说 我们用的是叫

碰撞冲量

就是 近一段时间内的话

力的一个总的效果 它累积的效果

用碰撞冲量来表示

其次的话呢 碰撞问题一般

机械能是不守恒的

因为你可以想象 一撞的话呢

可能有的时候会出现撞了之后

恢复不了变形

那么 物体本身要吸收一些能量

即使它的变形能够的话呢

你可以想象 一撞的时候有声音

那声音也是一种能量啊

所以的话呢 一般来说

机械能是不守恒的

那么为了处理碰撞问题的话呢

我们要做一些基本假设

因为实际问题太过于复杂

我们把它的最核心的特点

把它取出来

第一就是说

叫 局部变形的刚体模型

这是什么意思呢

从字面上说 这是矛盾的

刚体怎么还变形呢

它是这样考虑的 就是说

它把碰撞过程分为

变形和恢复

这个变形的话 是指的是

它在碰撞过程中通常物体

会有很微小的实际问题

会有很微小的变形

这些问题可能比较小

可能整体上来比的话呢

不是很大

所以的话呢 我们用的是

局部的一个变形

同时的话呢 变形之后

可能还会恢复

所以把它分成这样一个

局部的变形刚体模型

其次的话呢 我们是研究

碰撞前后运动的变化

我们用的是相关的

积分形式的动量定理

或者是能量定理等等

而不是研究在碰撞的每一时刻

那个怎么变化 那个过于复杂

另外还有一个特点是

碰撞过程之中的话呢

那个碰撞力是很大的

它大到什么程度呢

就是通常来说它的常规力

可以忽略不计

这什么意思呢 就是说

一个物体本身它有重力

还受到其它的一些

常规的力作用在上面

在碰撞的情况下

这个重力啊 和它自己的

碰撞力相比啊 可以忽略不计

那么这个是实际问题中的一个抽象

一个简化

那么最后的话呢

还有一点就是说

碰撞的时间是极短的

物体的速度有了明显变化

但是位移的话呢可以忽略不计

所以这些假设的话呢

都是根据碰撞的实际问题

进行抽象

进行简化之后得出来的

由这个简化之后的话呢

我们就可以进行处理了

好 下面我们可以看个例子

这是个弹性杆的话呢

撞击一个物体之后发生了变形

我们看到画面上的话呢

它的颜色变化

颜色表示它受到力的变化

那么这个问题的话呢 可以

理解为是一个

弹头撞击了装甲

比如撞击了坦克的装甲

它产生的变化

好 所以的话呢

可以研究很复杂的问题

那么下面我们具体来介绍

就是用有限形式的动量

和动量矩定理来研究碰撞问题

我们注意到的话呢 在前面讲过的

动量定理写的是什么呢

系统动量的变化

等于外力的主矢量

所以的话呢 是写的是

d里面mvc除以dt的话呢等于R

R是外力主矢量

那么 把这个式子的话呢

我们用有限形式

也就是把两边进行积分

那积分之后是什么呢 就是

碰撞之后的质量

乘以它具有的质心速度

减掉碰撞之前的质量

乘以它的质心速度

等于碰撞冲量

用I表示

也就是说 质系在碰撞前后

动量的改变等于作用在质系上

所有的碰撞冲量的主矢量

这是它的动量定理的积分形式

那么类似的话呢

就是说动量矩定理

也可以用积分形式

我们知道的话 本来的话

动量矩定理是这样写的 就是说

系统对A点的动量的变化

等于所受的外力

对A点的主矩

那么 把这个式子的话

也进行两边积分

好 进行积分之后变为这样一个结果

那么 我们再注意一下

对于碰撞问题的话呢

我们前面假设了 就碰撞的时候

也就是说碰撞过程中的位置

没有明显变化 速度有明显变化

因此的话呢 我们在这个问题中

可以把那个ρ

把它考虑不变化

因此的话呢 可以把它提出来

提出之后进行积分之后

变成这样一个结果 就是说

质系在碰撞前后

对定点的动量矩的改变

等于作用在质系上所有的

外碰撞冲量对该点的主矩

大家注意 这个结果中用了一个

结果就是 在碰撞过程中

位置没有明显变化

这用了这样一个假设

好 那么我们再看看

对于定轴转动

如果刚体受到碰撞冲量

那会有什么结果呢

我们把这个 直接写出来就是说

转动惯量乘以碰撞后的角速度

减掉碰撞前的角速度

等于所有的力矩对那个轴的冲量

好 所以的话这样的话类似的

平面运动刚体在碰撞冲量下

它作用的动力方程

也把它改成相应的积分形式

比如说水平方向

列一个方程

竖直方向列一个方程

然后关于转动列一个方程

所以有这样三个方程

也就是说的话呢 在这个章节

在碰撞理论里面用的方程啊

是以前的关于动量 动量矩

或者动能定理 全是用它的积分形式

那么下面我们研究一下

一个小球的斜碰

通过研究斜碰的话呢

我们引出一些概念来

因为正碰比较简单

所以我们研究斜碰

所以我们假设

质量是m1 速度为v1的一个小球

和质量为m2 速度是v2的小球

这样 斜碰了

碰完之后可能要分离

那么我们想研究一下碰撞后

两个小球的速度

u1和u2分别是多少

它是这样靠拢

碰撞之后要分开

我们建立一个坐标系

公法线和公切线方向 一个τ一个n

那么 我们暂时不考虑摩擦

我们看看这个问题 怎么处理

首先的话呢 这个

注意在碰撞前后

这个 两个质点

所组成的系统

在法向上的动量是守恒的

因此的话呢 两个小球

还要在各自的切向上是守恒的

因此我们可以列出三个方程来

我们来看一下

那么为什么说

它各自在切线方向是守恒

那是因为它碰撞时候的话呢

有相互作用力

所以的话呢 对于单个小球来说的话

在水平上是不守恒的

所以这是有三个方程

那么

写出三个方程之后的话呢

数一下有几个未知数

你数一下的话呢 发现

方程的数目不够

所以的话呢 我们还需要补充一个方程

才能求解

那么对于这样的问题

补充什么方程呢

好 我们来考虑一个这样的问题

就是说 它的恢复系数

首先我们定义一下什么叫恢复系数

就是 两个质点在碰撞的时候

就是说 恢复冲量

与压缩冲量的大小之比

定义为恢复系数

我们用e表示

e的话等于I2除以I1

其中的话呢 I2和I1的话呢

我们来看一下 它是这样来定义的

首先 比如说那个

定义出来之后

对于1球和2球分别写出来之后

是这样一个公式

这是根据定义来写的

从这个公式中的话稍微处理下之后

就能得到这样一个公式

我们把它写出来

得出什么呢

得出 恢复系数是等于

两个质点相互靠拢的速度

和它相互分离速度之比

同时的话呢 相互靠拢还加一个

是在公法线上靠拢

和公法线上分离的速度之比

得到这样一个关系

所以就是说呢 恢复系数等于

碰撞后相对分离的速度

和碰撞前相对接近的速度之比

好 这样的话我们补充一个方程之后

就能够求解了

那么 把这个方程

跟前面方程联立之后

可以解出很长的式子来

就是碰撞后的

u1 u2都把它解出来了

我们看看这个方程里面

就是说 在τ的方向上 比较简单

就是说撞之后的τ方向

等于撞之前的τ方向

这是为什么呢

因为我们前面假设的话

没有摩擦 所以这样撞完之后

在这个方向的话呢

方向是大小不变的

但是 在这个法向上的话呢

它方向会有变化 而且很复杂

所以的话呢 我们来看一看

在特殊情况下 它会是什么结果

因为在一般情况下很复杂的话呢

它把它的一些现象给掩盖掉了

还在特殊退化情况下

能看出它的一些特殊的性质

比如说 假设是一个塑性碰撞

就是碰撞之后啊 不分开

也就是e等于0

在这样的情况下的话

我们把e等于0带进去的话

看出什么呢

发现等于u1n 等于u2n

撞完之后两个在一起了

它具有什么速度呢

具有m1乘以u1

加上m2乘以u2

然后整个这个除以总质量

等于这样一个结果

好 我们看另外一种情况

如果在特殊情况下 比如说

恢复系数等于1

等于1的话是什么意思就是

完全弹性碰撞能量任何损失

在这种情况下特别是

如果还有m1等于m2的时候

会是什么结果呢

会有一个很有意思的结果

就是 因为u1n等于v2n

u2n等于v1n

这什么意思呢 就是两个球

法向方向 交换速度

那么关于这点的话呢

我们在后面会给大家看一个

一个例子

两个小球撞的时候交换速度

这是很有意思的一个现象

其次我们再看一个特殊情况

就是 假设一个小球

和一个固定面相撞击

在这种情况下的话呢

我们可以把固定面看成是

质量为无穷大 速度为零的情况

那么把这个结果带进去之后

发现得什么结果呢

得到u1n等于负的ev1n

u2等于零

这什么意思呢

就是说撞完之后

固定面还是不动

但是呢 那个小球

撞完之后具有的速度是什么呢

第一 有个负号是反向

第二 从速度大小的话呢

是变为原来速度的

乘以一个恢复系数的那个倍数

因此利用这个方程的话呢

可以来测量一些物体的恢复系数

就是说你看一个球落下去

它撞击之后弹起来

根据 我们知道速度和高度是有关系的

根据测量的高度的话呢

可以把速度求出来

从而把那个恢复系数求出来

所以这个公式的话呢 也是一种

测量恢复系数的一种方法

那么我们看一个视频

这个视频的话呢 是告诉我们

假设有一堆小球

这个小球的话呢想把它捡出来

它里面根据什么呢

根据它的恢复系数

把它分检

我们看到的话呢

如果这个小球啊 比如红色球

恢复系数小 它落的距离比较近

那么绿色球的话恢复系数比较大

落的比较远

那么只有蓝色球恢复系数比较合适

落到我们的盆子里面了

所以的话 利用这种方式

可以把一些你所需要的

把它捡出来

这是种自动分解的方法

好 采用这种方式来分解

好 下面我们研究一下这碰撞前后

系统的动能的变化

那么 刚才我们研究的这两个小球

碰撞之后它的速度已经求出来了

下面我们来看一看

它的碰撞前后它的总的动能是怎么呢

我们把它写出来

碰撞之前

两个小球的动能

把它写出来之后分别相加

碰撞之后也相加

碰撞之前的话是T1等于二分之一的m1

v1的平方加上二分之一的m2 v2的平方

碰撞之后的话是T2

等于二分之一的m1 u1平方

加二分之一m2 u2平方

那么我们看看会有什么变化呢

通常我们说碰撞过程

会有能量损失

所以我们把能量损失写出来

ΔT等于T1减T2

好 写出来之后的话呢

是这样一个表达式 式子比较长

那么我们可以看出来

第一 在完全弹性碰撞情况下

也就是说恢复系数e等于1

在这种情况下呢 你带进去的话呢

你看出来ΔT等于零

也就是说 在完全弹性情况下

能量是没有损失的

第二 我们假设碰撞过程中

有一个物体始终不动

那么这就可以算出来

能量损失是等于什么呢

它写出来之后是这样一个式子

它等于是 最后等于是

1减去e平方除以

1加上m1除以m2

再乘以T0

T0的话就是开始时候具有的动能

那么 注意的是

这个ΔT的话表示能量损失

它和什么有关系呢

第一和你的恢复系数有关系

其次的话呢 和你的两个质量比有关系

就是 比如

就是说 我们假设

一个物体撞击另外一个物体

两个质量不一样的话 它的比值不一样

导致能量损失不一样

因此我们可以看一个情况

锻压机和打桩机的工作情况

我们知道的话 锻压机的话是通过

锻压的话呢 把那个金属啊

夹着的那个金属啊 慢慢慢慢变形

所以的话呢 我们看看我们需要怎么呢

我们需要它慢慢慢慢变形

比如说需要它的变形能

要把它动能损失掉 让它变形

所以的话 m2要稍微大一些

那么再看看打桩机的话呢

是需要把一个比较瘦小的桩

噔噔 砸到地里面去

这时候要把m2取小一点

m2取小点是什么呢

那么 动能损失小

动能损失小的话呢

把上面的能量撞入的话呢

直接让它变成穿入到地里面去

所以的话呢 选择适当的大小

对它打桩的时候

或者是锻压时候 是有帮助的

所以的话呢 如果我们选反的话呢

效果就不好

所以的话呢 锻压机和打桩机的话呢

它在设计的时候

已经考虑到能量的损失

其次的话呢 我们再看一下

可能很多同学在电视中或电影中

看过有些江湖人士

表演胸口碎大石

那么我们也可以来

用我们学的碰撞定理来解释一下

首先的话呢 一般来说你会看到

胸口碎大石的时候 是人躺在地面上

胸口放一个大石头

那么 我们可以解释一下

为什么胸口要放个大石头呢

你可以想象如果拿锤子直接砸的时候

如果锤子直接砸胸口上的话呢

它的接触面积比较小

所以的话的人的这个垂直的动能

全部要被你胸口这个肌肉吸收

所以胸口会变形很厉害

伤及你的内脏

但是如果垫上石头之后

情况就不一样了

首先你的锤子砸在石头上面

石头的话 还会裂开

使人感觉好像很厉害

但实际上正好相反

就是说 石头裂开的话是会吸收能量的

它把你的这个锤子的能量全部吸收之后

传到你身上的能量就很小了

所以的话呢 在你能够承受的情况下

这个胸身上的石头越重

越厚越好 越安全

好 这是说在你能承受的情况下

这个石头越大越好

所以说呢 很少见到

有谁直接躺那 让你去砸

那样的话 真的是水平要很高

相反的话呢 上面垫个石头之后

就比较容易了

当然我们要是说 也是需要锻炼的

所以一般你不要轻易的尝试

高云峰老师看过视频后

提出了自己的解释

在人能够承受的范围内

这个石头越重的话呢

实际上人士越安全的

当那个锤子砸下来的时候

这个锤子有很大的速度

有很大的能量

当锤子砸到石头的时候

它会把石头砸碎

我们知道石头破碎的话

是需要能量的

这时候枪尖弯了

我明白您的意思了

也就是说呢

这石头破碎的时候

它把锤子大部分的动能都吸收掉

这样的话呢

传到身上的能量就比较小了

如果搁一块豆腐这人就完了

这人基本上就完了

根据高云峰老师的解释

铁锤在接触大石后的瞬间

石块破碎吸收了大部分能量

因此传递到人身体

以及三个枪的力量将会变小

石块越大

破碎后吸收的能量就越多

传递到人身体的力量也就越小

因此铁锤碎大石

并没有看上去的那么危险

有了高老师从科学角度的分析

主持人决定

亲身体验一下背后碎石

到底是什么感觉

今天呢 他决定让我

也体会一把背后碎大石

其实这个啊 还是很安全的

人们害怕这个只是心理因素

在能够承受的范围内

石头越重越安全

怎么这么沉啊

经过解释主持人好像放松了些

随后体验开始

一切来的太突然了

没有什么特别强烈的感觉

感觉好像就是有人在你背后

轻轻的撞了你一下

于是石板就裂开了

于是就轻松了

于是很舒服 很舒服

但是在没有

专业人士的支持和帮助之下

请大家自己千万不要模仿