当前课程知识点：理论力学 > 第七章 质点系动力学 > 例题 > 7-2-2 质点系动量矩定理例题1-2
例1 质量均为m的A和B两个人
就是这两个人
同时的话呢 从静止开始向上爬
然后呢 我们知道A的体质的话呢
比B要好一些 因此的话呢
他的收绳的速率u1大于B收绳的速率u2
问谁先到达顶端
并且求一下绳子的移动速率u
那么这地方的话是一个滚轮
我们暂时不考虑滚轮的质量和摩擦
好 看如何求解 我们取滑轮以及AB两个人
为研究对象 那么对这个系统来说的话呢
它是对O点动量矩守恒的
那么我们写出系统的动量矩 可以看出
是r·（mvA-mvB）=0
因为开始的时候他们是静止的
所以是等于0的
那么从这里面可以推出来速度vA=vB
这意味着这两个人是同时到达顶端
当然同学们会很奇怪 就是A这个人的话呢
力气大一些 他收绳的速度会很快
怎么会同时到达呢
这正好是我们用动量矩定理得到的结果
那么我们看看绳子的移动速率是多少呢
假设为u的话 那么A这个人他力量大
他收的快 因此的话绳子啊会往这边
比如说往下走 那么这边的话就往上走
同时的话呢 他的收绳的速率的话呢
就是按u1收绳 按u2收绳
因此的话呢 有这样的关系式
vA=u1-u vB=u2+u 这样一来的话呢
就得到结果是 绳子移动速率是什么呢
是等于两个人的速度之差除以2
这意味着什么呢
就是他们虽然同时到达顶端
但是呢 A这边的绳子会越来越长
好了 刚才结果啊 可能有人会觉得有点疑问
是同时到达的 那么实际问题中的话呢
这个轮子啊 它有摩擦力 有质量
那么结果可能会发生一些变化
那么有兴趣的同学的话呢 可以来分析分析
如果考虑轮子的质量和摩擦力之后
结果会怎么样呢
例2 质量均为m的两个小球C和D
用长为2l的无质量刚性杆连接
并以其中点固定在铅垂轴AB上面
就杆和AB轴之间的夹角是α
也就是说C和D连接在这个上面 这个角度是α
这个AB轴的话呢 以匀角速ω转动
AB之间的距离是 都是h
求一下系统对O点的动量矩
以及AB轴承的约束反力
好 我们取整体为研究对象
建立一个固结坐标系
这个坐标系的x轴是垂直这个面的
y轴的话呢是沿着CD方向
z轴的话呢和CD垂直 那么我们现在分析下
系统对O点的动量矩
首先的话呢 我们看看角速度啊在动系中
如何表示 ω是沿着这个方向
我们在动系中分解之后在y和z方向会有分量
因此可以写出来 这个角速度它的大小是ω
方向的话呢在j和k方向有分量
然后呢 两个小球的矢量可以把它写出来
这个从O点到C和O点到D的矢量都是长度l
方向是沿着y的方向
一个是正的一个是负方向
好了 它们的速度的话呢 因为是
这个定轴转动 所以是ωx rC
C点是这样一个方向
好了出来之后等于-ωlsinα
方向是沿着i的方向
类似的话呢 D点的速度也是等于ωx rD
可以把它算出来
那么根据系统的动量矩定理就可以知道
它的动量矩等于的是什么呢
我们在这用了原始定义式就是r x mv
那么是两个点的话就是C点和D点进行叉乘一下
然后算就等于2ml²ωsinα 沿着k方向
这意味着什么呢
这系统动量矩是沿着z轴方向
那么注意的是 我们z轴的话呢
因为它是动系 它会转起来 因此的话呢
在惯性空间看的话呢
LO的话呢是在一个锥面上面
好 我们来求一下AB轴承的约束反力
那么这个反力是怎么产生的呢
就是因为动量矩它是在旋转的
因此的话呢 根据动量矩定理
动量矩它能变化 是和外界的力矩有关系的
而这个力矩的话是由
A点的和B点的这个力产生的
首先我们看一下 动量矩的变化
该怎么算呢 因为它的大小是不变的
只是方向在变化 所以我们利用
矢量端图的概念 来解释这是什么呢
它等于ωx这个量本身 那么算出这样一个结果
然后 我们根据质系的质心运动定理
因为O点的话呢是它质心
O点的话是不动的
所以它质心的加速度为0
因此很快会得出来
YA=YB ZB=2mg
所以这个根据质心运动定理很快把这个
力先算出来 然后呢 我们再算一下
外力系对O点的主矩 它等于什么呢 等于
YA对O点的矩和YB对它的矩
因为AB相等 这两个是相等 所以的话呢
我们就有什么结果呢 就有这样一结果
就是系统对O点的矩的变化等于这个外力矩
因此可以算出来YA=YB=ml²ω²/h sin2α
好 通过这个题目
我们来讨论一下相关的话题
第一个的话就是
定轴转动的物体它的动量矩啊
不一定沿着转轴的方向
这个是和我们以前的一些
传统的想法是不一致的 以前的话呢
我们说一个物体转动的话呢
如果是匀速的 如果是个均质的话呢
它的动量矩方向是沿着转轴方向的
但是呢 我们今天看到的呢 它不是一个方向
所以这是要注意的 其次的话呢
我们来设计一个趣味游戏 就利用我们的
关于这个题目的相关知识 比如说
有一个圆盘 比如说用泡沫板做的圆盘
里面藏一根重物 比如说用铜棒藏到这
然后呢 能否只用力学方法 不拆开圆盘
找出这个重物相对圆盘的位置以及它的角度
这个问题 有兴趣的同学可以琢磨琢磨
还是挺有意思的 那么它的重心啊
比如说这个 因为这个泡沫板很轻
可以暂时质量可以忽略不计 它的重心的话呢
比较好找 可以很快找出来 但是呢
这个圆盘和这个物体的相对位置 这个角度
该怎么找呢 有兴趣的同学可以思考一下
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