4-2 力系的等效与简化在线视频

好，大家好

今天我们介绍第二节

力系的等效与简化

我们先介绍力系的等效

什么是力系的等效呢

它这样定义的

如果作用在同一个质系上的

两个力系可以相互交换

而不改变质点系的运动状态

则称这两个力系等效

特别地，如果在质系上

增加或减少某个力系

而不改变质系的运动

则称该力系是零力系或平衡力系

那么，我们前面曾经说过

加减平衡力系就是

加一个、减一个

两个一样抵消掉了，不影响（原力系的效果）

那么，为了介绍力系的等效

我们还要介绍几个概念

力偶和它的性质

首先，我们介绍一下，什么是力偶

力偶是这样的一个力系

它是由两个力组成的

大小相等、方向相反

但是作用线平行但不重合

就像我们图上的画

平行但不重合

这样的两个力组成的力系

我们称之为“力偶”

那么需要注意的是

力偶是没有合力的

因为它直接相加是等于零

所以它是没有合力的

同时

力偶也不能和一个力相平衡

力偶必须和力偶平衡

那么

衡量力偶大小，叫力偶矩

力偶距是（力偶）对任意一点的力矩

那么我们看看

假设我们任意选一点，O点

你来看看，这两个力

对O点的力矩的和是多少呢

好，我们根据定义式把它写出来

Mo等于r1叉乘以F加上r2叉乘以F

但这时要注意

两个F因为方向相反

所以用负号来表示

所以是r1叉乘以F加上

r2叉乘以括号里面一个负的F

好，我们把F提出来之后

变成了r1减r2

r1减r2是什么呢

就是r21

就是这个

图上这个矢量

这样一来，我们发现什么呢

力偶矩它是一个常矢量

和矩心没关系

因为你不管把O点取在哪儿

这个r12或者r21

是一个和O点没关系的量

所以这是很关键的一点

力偶矩是个常矢量

和矩心没关系

同时，我们强调一下

力偶矩是一个自由矢量

也就是说

力偶可在自己的平面内任意地移动

对刚体的作用效果是不变的

同时，力偶可以改变

F和d的大小

只要它们乘在一起不变

对刚体的作用效果也是不变的

同时

力偶还可以从一个平面移到

另外一个平面

只要力偶矩不变

对刚体的作用也不变

那么这三个特点

实际上我们可以想象：假设我们开汽车

开车的话，要手握方向盘

你可以手握着方向盘这样转起来

你可以握着上下两端这样转也可以

你要是高兴

你还可以握着方向盘中间的位置

这样开也可以

你可以放到上面这么开

可以放到底下这么开，都可以

只要它的乘积效果不变

它对刚体的效果是不变的

就是开车效果是不变的

那么，说到这里

我们介绍一下

这个矢量的类型

对于我们力学来说

它分为固定矢量

这个量是不能移动的

比如说作用在变形体上的力

它是不能移动的

你移动的话效果就不一样了

那么还有

叫滑移矢量

它可以沿着作用线移动

比如说作用在刚体上的力

可以从这一端沿着作用线

移到另外一端去

那么还有一种就自由矢量

就是它作用点可以移动

那么比如说我们作用

在刚体上的力偶就可以（移动）

但是需要注意的是

自由矢量

比如以这个（激光笔）来说

比如这个是自由矢量

它可以沿着（作用线）滑移

也可以这样，这样（平）动也可以

但是不能这样（转动）

转变方向就不行了

所以只能是移动

这样水平移动

上下移动是可以

所以这是我们在力学中

使用的几种矢量

它可以包括固定、滑移

自由矢量这三种情况

好，下面我们介绍

力系的简化

好，力系的简化

是用更简单的力系代替原力系

如果力系等效于一个力的话

则称该力为力系的合力

那么，在简化的时候

我们通常需要把力来进行移动

那么移动的时候要满足

力的平移定理

下面我们来看一下

作用在刚体上A点的力FA

可以向刚体上B点平移

而不改变刚体的作用效果

这个时候必须有一个前提：

加上一个力偶

使得m=mB

好，我们看看图

比如说，在A点有个力FA

我们想把这个力

从A点移到B点去

同时还要等价，那怎么办呢

我们可以这样处理

它等价于在B点

加上一个向上的力

再加上个向下的力

但这个FB和FB'是一个平衡力系

同时（FB）这个力

和FA是相等的、平行的

好，然后呢

我们把FA和FB'这两个力

大小相等、方向相反

但是不共线

把它等价成一个力偶

还有一个m

好了，这样一来

我们就发现什么呢

我们看（图片）一头一尾

这个力FA从A点

就移动B点去了

因为我们刚才说了

它们大小相等

所以相当于移过去了

但是增加了一个力偶

所以这就是力的平移定理

利用这样方式

可以把所用力

向某点移动

加上相应的力偶就可以了

是等价的

在力系简化的过程中

如果我们让所用的力

都通过O点，并以O点为矩心

计算力系的主矩来确定力偶

则称O点为简化中心

那么，注意

O点是可以随意确定的

如果没有特殊情况

你可以随意地定都可以

但是在有些情况下

你可以定于很多力汇交的那一点

更方便一些

那么，刚体上任意的一般力系

向任意O点简化

可以得到一个力的主矢量

和一个主矩

那比如说

一个刚体上有很多很多的力

或者力偶

我们全部向O点简化

全部把它移到O点来之后

这时候

所有的力加在一起

得到一个主矢量R

所有的力矩加在一起

得到一个主矩mo

也就是说

刚体最后得到的结果是什么呢

R等于∑F

以及mo等于∑mo

这样就是说

把任意的一个情况

简化成一个力的主矢量和主矩

那么，等到这个结果

就为后面分析提供了方便

好，下面我们来看看

在平面的情况下

平面力系的简化

平面力系向一个O点简化

得到一个R和Mo

因为是平面力系

所以它有个结果，是什么呢

这个主矢量和主矩是垂直的

好，接下来我们看看

所有力系简化之后得到一个R

向上，与Mo垂直

这时候

我们把它进一步来分析一下

我们把这个Mo拆成两个力

一个是向下的R1

一个是向上的R2

这个时候，满足什么条件呢

力R1和R2大小相等、方向相反

并且是错开的

但同时R大小和R2大小是相等的

并且是平行的

好，这样一来

我们知道这两个力系是等价的

然后

我们再进一步处理

把R和R1

因为他们也满足平衡力系的关系

所以消掉它

所以变成什么呢

变成的是

原来是一个主矢量、主矩

现在变成的是：移到A点之后

只剩下一个力的主矢量了

所以这就是力系的进一步简化

平面力系最后简化成

一个力的主矢量

那么，在任意的力系情况下

它怎么简化呢

我们来看一下

任意力系

总可以简化成一个力螺旋

力螺旋是一个最一般的结果

它可以退化成零力系

力、或者力偶

但是在一般情况下

它就是力螺旋

首先

我们来看看什么是力螺旋呢

力螺旋是这样的

比如说

我们有时候用起子来拧螺丝

我们一边旋转、一边用力往前面顶

就像（图示）这个情况

有个力的主矢量和力的主矩

也就是说

由一个力和一个力偶组成的力系中

如果力偶矩的方向和力的作用线平行

则称该力系为力螺旋

那么力的作用线叫做力螺旋的中心轴

我们从拧起子的这个例子中

可以看出来为什么叫螺旋

这样叫力螺旋

注意，力螺旋已经不能再简化了

它就是最一般的结果

那么力螺旋，生活中有很多例子

比如说，刚才拧螺丝是一个

还有一个是电钻钻东西

一边让它旋转，一边用力顶它

往一边进攻，这个力螺旋

如果力的主矢量和主矩

是同方向

我们称之为右手力螺旋

那么，还有一种情况

比如说，飞机的螺旋桨

螺旋桨飞机

它一转起来，飞机可以飞

这时候作用在它的

螺旋桨上的推进力和阻力矩

它是一个力螺旋

这时候R和Mo是反向的

称为左手力螺旋

那么我们解释一下

为什么任意力系总可以

简化成一个力螺旋

好，我们来看一下

假设这个刚体上有力和力偶

那么我们向O点简化

总是可以得到

一个力的主矢量和主矩

因为现在是一般力系

所以主矢量和主矩

可能是空间关系

好，下面我们注意

我们总可以把这个Mo分解为

沿着R方向和垂直R方向（平行是口误）

这是可以的

下面我们看看，这时候

我们利用平面力系的简化结果

垂直的这个主矩和R

它总是可以进一步简化

比如说，移到A点去之后

得到力的主矢量R

这个R（过A点）

跟刚才上一个R（过O点）大小一样

方向一样，就移过来了

位置移动了

移完之后垂直方向力偶消失了

这时候还剩下平行方向的力偶

然后我们再利用一下

因为力偶是一个自由矢量

它在刚体上可以移动

所以我们把它移过来之后

变成了力的主矢量

主矩都是同一个方向

因此它就是力螺旋

所以我们就解释了任意一个力系

总是可以简化成力螺旋

好，第6点我们介绍一下力系简化中的不变量

刚才，我们介绍了力系可以简化

在简化之后，有些量是不变的

我们来看一下

首先，我们注意到

力的主矢量R等于ΣF

它是把所有力加在一起

同时我们向O点简化

Mo等于Σr×F

好了，我们注意到

这个R是不依赖于简化中心的

不管你简化到哪一点

它都是这个结果

所以，它不依赖于简化中心

我们把它称之为静力学第一不变量

这是不变的

然后，我们再研究一下

力的主矩（口误为主矢量）

主矩对A点和O点

我们前面说过

它是有一个表达式

它一般是不等的

在这样子的表达式

MA等于Mo加上rAO叉乘以R

那么我们把这个式子两边都点乘以R

看是什么结果

左边MA点乘以R

也就是两边都点乘以力的主矢量

等于右边点乘R

这时候我们需要注意一下

这里面有个括号

rAO叉乘R再点乘R

那么这是个混合积

混合积表示

我们一般说A叉乘B点乘C

就是说A、B、C构成一个空间的体积

但是如果A、B、C中

有一个量是相等

两个矢量构不成一个体积，就为零

rAO叉乘R点乘R等于零

因此最后结果等于什么呢

MA点乘R等于MO点乘R

这意味着什么呢

这意味着，MO点乘R

就是力的主矢量点乘力的主矩

也不依赖于简化中心

因为对O点、对A点都是这个结果

所以它称

静力学第二不变量

好，这两个不变量

是一个很重要的概念

它可以帮助你验证

你的简化结果是不是合理

是不是对

今天，我们就介绍到这

谢谢大家