2-3-4加速度分析例题1-4在线视频

例题1

曲柄滑块机构的加速度分析

我们已经知道OA杆的转动角速度ω

我们想求一下在图示位置

滑块B的加速度

我们利用基点法来分析

前面我们已经分析了速度

相关的结果我们已经有了

比如说，ωAB多少我们已经求出来了

下面我们来进行加速度分析

我们以A为基点

把B点加速度图画出来

首先，B点加速度移过来

然后有相对向心、相对切向加速度

合成之后是水平的加速度

我们把公式写出来之后

我们可以来进行分析

其中这里面，A点加速度的大小

是等于Rω方

相对向心的加速度

是和AB杆的角速度有关系

是等于它的长度乘以角速度的平方

而未知量是什么呢

相对切向加速度

和B点本身的加速度（见图示位置）

那么怎么求呢

我们可以把这公式向某个方向投影

比如说向AB方向投影

可以得到这样一个公式

就是B点加速度乘以cos30°

等于A点加速度乘以cos75°

加上相对向心加速度

那么这里面

这个相对切向加速度

不出现，因为它和AB垂直

这样一来，就可以求出来

B点加速度是多少

那么如果向AB垂直方向投影

就能得到另外一个公式

就能把相对的切向加速度求出来

而角加速度等于多少呢

等于相对切向加速度除以AB的长度

我们可以把它算出来

是等于-0.386ω方

例2 圆盘的运动

半径为R的圆轮在水平上面作纯滚动

轮心的速度和加速度已知

我们想关心的是

轮上面边缘点A、B它的加速度是怎么样

我们利用基点法来进行分析

我们先把它的角速度、角加速度列出来

角速度就是O点的速度除以半径

角加速度是

O点的加速度除以半径

我们取O为基点来分析A点加速度

那么公式写出来之后我们把图画一下

那么这里面

相对的向心加速度

和相对的切向加速度

它大小分别是多少呢

我们把它写出来

因为这里面角速度、角加速度已知

所以

它相对的加速度都已经知道了

这样一来

我们就可以把A点的加速度求出来

求出来是VO的平方/R，方向是j方向

是竖直向上的

好，这个加速度是竖直向上的

那么接着我们来分析B点加速度

我们还是取O为基点来分析B点

把公式写出来之后我们把图画一下

O点的加速度先照写

然后相对切向、相对向心加速度

它们的大小，分别也可以写出来

最后得出来B点的加速度

它的表达式才会长一点

有水平方向也有竖直方向

合在一起之后

大致就是一个倾斜（向上）的方向

那么下面我们讨论一下

速度瞬时中心与加速度瞬时中心

如果一个圆盘做纯滚动

那么它的速度分布

首先接触点是（速度）瞬心

那么它的速度分布

是如同绕着C点作定轴转动一样

速度分布是这样的

但注意这里面是“如同”

也就是说，它好像是做定轴转动一样

那么看看加速度

如果这个圆盘做纯滚动

同时圆心的加速度为0

那么各点加速度

在边缘上各点加速度，都是指向圆心的

也就是说它的加速度分布

是如同绕O点作定轴转动

大家注意这个图

跟上面的速度图是同一种状态

但是它们的速度分布

和加速度分布两个点是不一样的

这个C点是速度瞬心

这个O点是加速度瞬心

当然我们前提先假设O点加速度为0

所以就有这个结果

那么更一般情况

如果O点本身也有加速度

这时候

我们可以利用关于加速度分布的特点

来大致地来猜测一下

比如说B点的加速度

我们刚刚已经分析了大致是斜向上方

C点是向上方，那么我们可以找出来

大致在这个位置，是它的加速度瞬心

我们说是大致的位置

具体的位置当然还是要参数来定

所以

我们就可以得出来

如果一个圆盘滚动起来之后

（轮心）加速度有这样一个（水平）方向

那么它的速度瞬心

加速度瞬心它们是这样两点

一个是C点，一个是这一点

好 希望大家通过这两个图

了解速度分布和加速度分布的特点

例题3

假设梯子AB

一端靠着墙，一端靠着地面

梯子下端

以等速u向右运动

我们想分析一下

这个夹角φ为30度的时候

B点的加速度和杆的角加速度

我们用瞬心法先来求一下

首先C点

是它的速度瞬心，这个很容易求出来

因为A和B的速度

都是沿着x和y方向

可以很容易把它求出来

因此由速度公式

就可以先把

比如说u的速度，也就是A点的速度

它等于什么的呢

等于ω乘AC的一个关系式

然后可以把ω先求出来

先把运动学关系

先把速度关系求出来

然后，以此为基础来求加速度

根据题目

我们知道A点的加速度为0

因此

A点是这一瞬时的加速度瞬心

好了，我们以这个为基点

来分析B点加速度

它就直接写出来，B点加速度等于

A点加速度+相对向心、相对切向

因为A点加速度为0，所以就不要写

就变成直接这个公式

那么画出图就是说

相对的向心、相对的切向

合在一起之后是竖直向下

那么其中相对向心加速度

和角速度有关系，很快把它求出来

有了这个之后，我们可以求出来B点加速度

是等于u的平方/cos三次方的φ

然后，切向加速度是等于

角加速度乘以长度，等于切向加速度

那么它的表达式有了关系式之后

我们可以求出来

角加速度表达式，把它求出来

好，例题4

这个题目稍微复杂点

我们把题目先看一下

滑块B

可以在半径为R的圆环中运动

然后带动AB杆来运动

我们知道一些相关的参数

比如OA＝AM＝MB＝2R

那么在图示瞬时

B点的速度假设是已知的

然后AB杆和竖直垂线的角度是45°

还要注意AB杆

中点M点的切向加速度为0

注意这句话，在这一瞬时切线加速度为0

要求此瞬时AB杆的角速度和角加速度

我们先进行角速度分析

因为AB杆做平面运动

我们可以看出来

OA杆绕着O点做定轴转动

因此A点速度方向

可以很快地知道，是这个竖直方向

而B点呢

在这个是轨迹的切线方向，也是竖直方向

所以通过A、B两点速度方向

我们可以判断出AB杆作瞬时平动

也就是说，A点速度等于B点速度

同时，因为是瞬时平动

它的角速度等于0

所以角速度分析

算起来比较简单

另外为了后面的分析方便

我们顺便可以把OA杆的角速度也求出来

它等于A点的速度除以这个长度

因为在这个题目中

在这个问题中A点速度

等于B点速度，所以它等于角加速度VB/2R

下面我们来进行角加速度分析

我们先画出A点、B点

和M点的加速度，它们的方向

A点因为绕着O点做圆周运动

所以有向心加速度和切向加速度

B点也是做圆周运动

所以有一个向心和切向加速度

那么下面看看M点

M点我们注意到

题目中说“M点的切向加速度为零

这是什么意思呢

也就是说，我们先找出切向是什么方向来

我们记得前面曾经分析了

AB杆做一个瞬时平动，M点的速度

也就是说和AB杆两边（相同）

也就是说M点的速度

是和A、B的速度是一样的

也是竖直向上的

我们记住：轨迹的切向方向就是速度方向

所以切线方向是这个方向

所以法向方向是水平的

那么M点的切向加速度为0

意味着如果有加速度

它只有法向方向，是水平的

这些水平向左、向右这是未知的

好，下面我们看看各点大小

B点的加速度，一般来说

向心加速都和角速度有关系

都比较好求出来

所以先把B点向心加速度求出来

那么A点向心加速度也求出来

然后，M点是AB的中点

可以利用一个关系式

可以得到这样一个关系式

就是M点加速度

是等于1/2的A点加B点的加速度

这样一来，M点的加速度

就可以把它求出来了

下面我们以M点为基点

来分析B点加速度

我们把图先画出来

看，M点的加速度先照写

然后有相对切向的（加速度）

相对向心（加速度）没有

因为（AB）它们是水平平动

所以合成之后

应该是等于B点的向心和切向（加速度）

所以是这样一个表达式

好了，那么这里面

我们看看其中相对向心（加速度）是为0

相对切向（加速度）是2R乘εAB

我们把这个方程

这个矢量方程向水平方向投影

得到这样一个式子

那么这个式子中

有这个我们关心的未知数

所以我们很快求出来

AB杆的角加速度

等于√(2)VB平方/8R平方

就把它求出来了

我们来讨论一下这里面的一些问题

第一点：M点的切向加速度方向如何定

在我们的题目中，我们要利用到

AB杆这一瞬时是做瞬时平动

所以M点的速度方向是知道

而速度方向就是轨迹的切向方向

所以要利用这样一个条件

其次，我们还有一个问题

就是瞬时平动的刚体

它的角加速度是不是为零呢

请大家思考一下

那么还有一个，就是瞬时平动的刚体

是否可以有向心加速度呢

大家可以思考一下

好，最后一个问题

我们在前面的分析中用了这样一个条件

就是M点是AB杆的终点

因此它的加速度

满足：M点加速度=1/2的A点加速度

和B点加速度之和

那么我想问一下：这个公式

是不是有什么条件？以及如何证明呢

下面我们专门来看看这个加速度的关系

假设AB是一个刚性的杆

M点是AB的中点

我们可以有这样的关系式

这个关系式是几何关系式

我们可以写出来

就是rA=rM+rMA

这个几何关系总是成立的

好这是第一个

第二个，rB=rM+rMB

好这关系式都成立

那么现在需要注意的是

M点是AB的中点

也就是说rMA和rMB

这两个量大小是一样，方向相反

所以有这样的关因式

好了，我们把这个上面第一个

和第二个关系式加在一起

加完之后利用一下第三个关系式

就有这样一个结论

所以就得出来M点的矢量

rM=1/2的(rA+rB)

也就是说它们矢量关系

这个关系总成立

因为总成立，因此可以求导

两边都直接求导，就可以得出来

速度关系就是M点的速度

等于1/2的A点速度加B点速度

那么再求导，就得到加速度关系

所以我们看出来这关系式

只要AB是刚体

M点是中点，这关因式总成立

速度、加速度以及矢量关系式

都是满足这样的关因式

好了，这关系你可以再进一步推导

如果M点不是中点，而是某一个（位置）

比如说在某个位置，在这个位置

告诉你百分比

那么它们的关系式你会不会推导出来呢