虚功原理在线视频

好，大家好

今天我们介绍第三节，虚位移原理

讲虚位移原理，我们先介绍功

我们看看关于功的概念啊

我们先从元功开始介绍

力的元功

就是假设一个力

它有了位移之后，它做的功是多少呢

是F•dr，是力乘以它对应的位移

好，那么这个叫力的元功

我们用的符号

用比叫dA

但加个一撇

这是为什么呢

这是因为，一般来说

如果不加一撇

dA可能会理解为是

某个函数的微分

但是我们要特别强调的是

这个d'A它不是函数A的微分

那我们打个比方说

比如说我们物体

在这，我们转一圈到这来了

它的功是多少呢

如果是从做功角度

和它的位移有关系

好，这时候它可以写成微分形式

但是，你比如说用粉笔

在黑板上写字，写啊写啊写

你可以在上面画圈

然后你发现你转了好多圈之后

位移为零，但是粉笔磨的长度是不一样的

你转一圈和转两圈效果不一样

所以在这种情况下

（功）不是（位移）它的全微分

所以我们特别加了一撇表示

好

有了力的元功之后，我们再看看力系的元功

那么力系的元功

把所有力做的功加在一起就可以了

好，同时我们特别注意一下

外力功和内力功

为什么要注意强调这一点

因为有的时候

因为我们以前，比如在受力分析的时候

往往是内力不用考虑的

但是在这个时候我们要注意

在做功时候，不管是内力外力

它只要是对做功有贡献就要考虑

所以这个要特别强调一下

好，有了前面几个功的概念之后

我们介绍虚功

虚功是怎么定义的呢

就是力在虚位上所做的元功

我们把它写出来是什么呢

比如说δA=∑Ni•δri

就是说，每个力Ni在它对应的虚位上

δri上面做的功，是点积

好，这是虚功

那么为了让我们对做功

有个比较好的理解

我们给了大家一个思考题

就是：假设有一个圆盘

在一个斜面上面

由于有一个F力拉它

使它可以可以往上运动

那么假设

这个力F总是（水平）作用在它的顶部

好，假设有个虚位移沿着斜面是向上的

δr这个虚位移

那么问一下，在这个问题中

这个系统主动力：重力和这个F这个力

做的元功是多少？好

我们通过这个例子

想让大家知道

第一、怎么样算元功

第二、有什么技巧，能算得比较快又对

好，我们看看

首先我们看看重力的元功

重力是竖直往下

它位移是斜向上方

所以我们直接根据定义式可以得出

δA1等于什么呢

δA1=-mgδrsinθ

负号表示的是重力向下

这个虚位移向上

它们夹角大于90度，所以是负的

好，这个比较简单

那么关键是这个F做的元功是多少

如果我不写出来，让你自己先思考一下

自己写

估计十有八九你会写错

不相信的话你看看该怎么做呢

好，我们这样处理一下

我们把这个力F移到圆心上

移完之后为了等价

加上一个力偶M

M的大小是等于F乘以r的

这地方用了我们以前静力学的知识

力系等价

好了，有了这之后下面算起来好算

那么δA2等于什么呢

等于F本身有一个位移

F•δr，加上旋转的力偶

因为它还在转，它也要做功

M•δθ

然后，我们利用M=Fr

δθ利用纯滚动关系，等于δr/r

是纯滚动，位移和转角的关系

好了，代进去之后得到什么结果呢

得到这样一个结果

就是F的元功等于Fδr（1+cosθ ）

那么这个结果

刚才我说了十有八九会做错

你对了吗

好通过这例子告诉大家

怎么样计算元功以及在有些情况下

如果不好算的情况下，怎么样用一些技巧

把它实现

好了，下面我们介绍一个很重要的概念

叫理想约束

理想约束是怎么定义的呢

它是这样定义的

就是约束反力在质系的

任意的虚位移上所做的虚功恒等于零

这样的约束称为叫理想约束

大家注意

这个约束可以是任意的虚位移上

而不是说特定的某一组上

好，这个是这样定义的

那么写出来是什么呢

∑Ni•δri=0

那么下面我们看看

关于这个理想约束是不是说

很难实现呢？很难满足呢

我们来看一下，实际上

很多我们以前介绍的约束

都是属于理想约束

比如说，假设是一个光滑的曲面约束

那么我们前面以前分析过

对于光滑约束

约束反力是和它的法线方向是一直的

而虚位移我们以前也讲过了

是它的切平面方向

因此我们发现这个约束反力

跟δri是垂直的

因此它们一点积等于零

所以对于光滑曲面约束

就是属于理想约束

我们再看另外的例子

如果这些曲面不是光滑的，有摩擦

有摩擦做纯滚动了

好，我们看看一个物体在上面做纯滚动

这时候它是不是满足

我们的条件呢？我们看看

它在做纯滚动的情况下

它接触点c点速度为零

我们前面曾经说过

速度分析和虚位移分析是很类似的方法

所以c点的虚位移

δrc也是等于零

因此这样一来在c点处

有摩擦力、有支撑力

它们乘在一起之后都是等于零的

所以也是满足理想约束条件

所以对于有摩擦情况

但是只要是纯滚动

也是属于理想约束

那么再看一个例子

比如说一根绳子

两端A和B

两端可能由于各种原因

产生某个虚位移

A点产生比如斜向上方δrA

B点产生（向右）这边的δrB

这时候

绳子本身A点、B点（受力）

它有个作用、反作用，N和N’

这时候它会不会满足（虚功之和）等于零呢

元功加一起等于零呢

我们看到，单独看A点

约束力乘以虚位移不等于零

单独看B点也不等于零

但是它们加在一起之后是等于零的

你注意这一点

第一，N和N’是大小相等、方向相反

其次，A点和B点

如果是对于不可伸长的绳子来说

它要满足速度投影定理

这时候

你注意δrA投影

δrB投影之后相等

而点乘实际上也是投影

所以在代进去之后发现

这绳子两端的约束力和虚位移乘一起

乘完之后相加等于零

所以对于不可伸长的绳子

它也是个理想约束

所以从这个意义上看，我们看到

我们以前接触的很多的约束

都是属于理想约束

所以理想约束还是挺多的

好了，我们着重介绍

虚位移原理

它也有很多限定，也就是说

对于有理想约束的质系

在给定位置处于平衡的

充分必要条件是

主动力系在质系的任意虚位移上

所做的虚功等于零

那么写出来是什么呢

∑Fi•δri=0

那么如果把它展开

那就是相应的x方向力和虚位移相乘

Fy和y方向虚位移相乘

这样把它乘起来就可以了

好了，这个式子

它既可以叫虚位移原理

也称为静力学普遍方程

那么利用这个式子可以求出

系统平衡受到各个力的关系

那么，需要注意的是什么呢

这个式子它叫静学普遍方程

它可以处理很多问题，比如说

它对于受完全约束的结构

也可以用它来处理

只要你先把约束解除

让那个结构变成机构之后

然后把约束反力当主动力

这时候你可以用这个虚位移原理求出来

或者说

这个问题中有一些是属于非理想约束

也有这样的情况

比如说

如果有摩擦，它是非理想约束

这该怎么办呢？也可以处理

你只需要什么呢？把这个约束解除

然后把这个非理想约束的约束力

当做主力就可以了

所以从这意义上说

我们这些普通方程可以处理

静力学的任何问题

好，这就是关于虚位移原理的介绍