7-1 质点系动量定理在线视频

好 大家好

今天我们讲新的一章

第七章 质点系动力学

我们在前面的话讲过质点动力学

在那个时候的话我们说

根据牛顿定理质量乘以加速度等于力

那么如果力的话呢是

位置的函数或者是时间的函数的话呢

可以分别得到

动量和动量矩的一个积分

因此的话呢

动量和动量矩的话呢是描述

系统运动的一种度量

那么今天的话呢

我们专门来介绍质系的动量定理

首先的话呢我们介绍下质系的动量

那么质系在运动的时候

系统中所有质点的话呢

在每一瞬时都有各自的动量

那么动量是个矢量啊

那么我们把质系中所有质点动量的

主矢量把它算出来

那么就称为质系的动量

就把每个质点的动量加在一起

就称为质系的动量

那么写成公式的话就是说

p=Σmivi

就是每个质点乘以它对应的速度

这就是质系的动量

那么根据质心的公式的话呢

我们知道质心的话呢公式是

rc=Σmiri/m

根据这公式的话呢它总成立

我们可以把它导出一个新的公式出来

就是两边对时间求导

那么得到什么呢

vc=Σmivi/m

好 然后我们把这个公式稍微再换一下

就变成什么呢 就看出来

好 原来系统的动量等于什么呢

等于总质量乘以质心的速度

这样一来我们就得到一个更好的表达式

也就是说

系统的动量等于总质量乘以质心速度

大家注意 第一个公式的话呢

是p=Σmivi的话

是个原始的定义式

但是我们在真正算的时候的话

通常用下面公式算就是说

p=mvc

也就是说系统的动量等于

系统的质量乘以质心的速度

那么利用这个公式的话呢我们可以

来分析很多问题啊

很简洁 我们来看一下

我们看看一个单摆

当然这个不是单摆啊

就是把一个杆悬挂摆起来

那么我们知道的话呢

如果按原始定义算的话呢还挺麻烦的

因为每点的速度话呢大小都不一样

所以的话呢我们直接用这个公式算

就是总质量乘以它质心的速度就很方便了

那比如说一个圆盘做一个纯滚动

以前我们知道分析之后说

接触点是瞬心

每点速度的话呢方向大小都不一样

所以按原始定义算的话是很复杂的

但是呢现在我们可以什么呢

质量乘以质心的速度

比如说如果均质的话

乘以圆心的速度那就很方便

再比如说如果一个圆盘做定轴转动

它的圆心话速度为零

我们一看的话呢就说动量为零

它虽然每点的话呢速度大小方向都不一样

但是呢 它的质心速度为零

所以动量就为零

所以的话呢 利用这公式

p=mvc

就可以很方便的算系统的动量了

那么下面我们介绍质系的动量定理

那么对于质点的话呢我们知道

可以有这样的公式就是说

dp/dt=d(mivi)/dt

那么的话它是等于力的

也就是说

这个公式的话实际上就是当年牛顿定理啊

牛顿定义啊一个最原始的形式

动量变化等于力

那么这公式的我们把它

每个质点加在一起就得到质系的公式

也就是说Σ里面每个质点的动量的变化

等于什么呢

等于所有的力加在一起

我们把这个力的话分为内力和外力

然后在相加的时候呢我们注意

内力的话呢是成对出现的

因此的话呢 就是说

内力的主矢量是等于零的

而外力的主矢量呢我们写成R1

那把它加在一起

所有这样一来的话呢 得到一个什么呢

质系的动量定理就是

系统的动量对时间的导数等于

外力的主矢量

好 那么接着说质系的动量

对时间的一阶导数

等于作用在这一质系上外力的主矢量

这就称为质系动量定理

那么质系动量定理的话呢它有不同的形式

我们来看一下

比如说它有微分形式和有限形式

它写出来的话呢应该是这样的

比如说微分形式的话呢是

动量对时间导数等于外力的主矢量

有限形式的话呢就是什么

第二时刻的动量减第一时刻的动量

等于外力的主矢量在零到t时间的积分

那么它相应的话呢还有它分量分式

比如说在xyz方向分别可以把它写出来

那么类似的有限形式的话

也是可以把它这么写出来

那么下面的话呢

我们结合我们生活中的一些现象

用我们的动量定理来解释下

比如说

一个人骑自行车在水平面上运动起来

他可以从静止到运动起来

那么是什么力使他往前进的呢

需要注意的是 是摩擦力

使自行车前进的

注意不是人蹬自行车的力

这点的话呢很多同学可能觉得有点奇怪

他们会想

不是人蹬自行车的力

那人为什么要蹬它呢

这是一个很好的问题

我们注意的话呢就是说

人蹬自行车的话呢这个力啊

比如现在我们把人和自行车

作为一个整体来看的话呢

人蹬自行车的力是内力

内力的话呢不能改变整个系统的动量

但是要注意一点 内力可以改变

这个系统中的一部分质点动量

这是很关键的一点

所以的话呢 真正来说

这个人蹬自行车内力的话呢

是可以使后轮转起来

但是真正的使车前进的力的话

是摩擦力 是后轮的摩擦力

好 所以这点要注意

那么关于这问题的话呢

我们在学过动能定理之后啊

可以再加以讨论

其次的话呢 我们看

悬浮在空中的机器人

他迈动双腿但是不会前进

这就表明的话呢

比如说你迈动双腿啊

但是如果你没有接触地面

没有摩擦力的话呢 你是前进不了的

你看看我们这个视频

那么我再看一个例子

有一本书很有意思

叫吹牛大王历险记

这个吹牛大王的话经常吹各种各样的牛

又一次他说

他可以扒他自己头发啊

把自己从泥潭里面拔出来

这是他有一次吹牛啊

那么这个说法有什么问题呢

好 现在我们可以利用我们学过的

动量定理来说一下

我们说对于人来说

他自己和手和头发的话都是一个整体

是一个都是一个系统内

因此手拉他头发是属于内力

内力的话呢不能改变整个系统的动量

也就是说他不可能把自己拉出这个泥潭

但是呢 我们要强调

内力可以改变系统的部分的动量

也就是说

他把自己头发拔出来没有任何矛盾

但是他把自己整个

拔出泥潭的话这是有矛盾的

所有的话呢

如果你学过的相关物理学知识

你很容易知道别人是在撒谎还是吹牛

好 下面我们介绍质心运动定理

我们前面介绍的话呢就说

动量的导数

动量对时间的一阶导数的话

等于外力的主矢量

我们注意到话的呢这个系统的

质量的话呢是不变的

因此的话呢我们可以把这个公式啊

稍微处理下就得到什么呢

总的质量乘以质心的加速度

等于外力的主矢量

那么这个公式的话呢

就称为叫质心运动定理

就说质系的质量与质心加速度的乘积

等于作用在质系上外力的主矢量

那么这个质心运动定理的话呢

也可以用来解释很多现象

首先的话呢它揭示了

动量定理的实质

就是质系质心的运动状态

它的变化仅仅决定于外力的主矢量

那么

我们可以来做个类比

比如说对于质点

牛顿定律说单个质点的话呢

满足什么呢 质量乘以加速度等于力

就是对于单个质点可以有这样一个公式

那么现在对于质系的话呢

我们也说

总质量乘以质心的加速度

等于外力的主矢量

所以你看

从这个意义上说这两个公式是很接近的

因此的话呢

在研究一个系统的时候的话呢

我们可以研究它质心的运动

可以把整个质系的质量

以及所受的所有外力的话呢

均集中在质心上

因此变成研究质心的运动

下面我们介绍质系动量守恒定理

首先的话呢质点系啊

动量守恒啊 我们看啊是什么意思啊

也就是说 如果

受的外力主矢量等于零

然后再根据动量对时间导数

等于外力主矢量的话呢

我们就可以推出来什么呢

质系的动量应该等于一个积分常数

比如说叫C1

因此的话呢我们还可以看到

对于质心运动守恒的话就是说

如果外力的主矢量等于零

然后根据质量乘以质心加速度

等于外力主矢量的话呢

我们可以导出什么呢

它的速度 就质心的速度

也等于常数

那么这具体常数C1 C2呢

和它的初始条件有关系

那么下面我们来看个例子

就是 假设

两个宇航员的话呢在太空中拔河

为了公平的话呢

假设他们可以穿上一些相关的衣服

然后身体两人配平

两边的质量是一样的

但是这两个人的话呢力气不一样

好我们看看他拔河的时候

谁胜谁负呢

如果在地面上的话呢

我们拔河和天上拔河的话呢

那会不会是一样的呢

因为我们假设是在太空中拔河

所以的话呢系统暂时不考虑

其他外力的影响

因此的话呢动量是守恒的

我们假设初始时刻的话呢

它满足这样一个关系式就是说

它整体的系统动量等于零

特别是它质心的位置C

C点的速度是等于零的

好了 如果我们说开始拔河

两个运动员的话开始收绳子

因为他们两个人的话呢力气不一样

所以收绳的快慢是不同的

但是呢 在任意时刻应该满足什么呢

它的系统的动量还是应该等于零

也就是说p=mAVA+mBVB=0

那么这意味着什么呢 这意味着

根据我们前面说的动量定理的话呢

意味着p等于

因为我们可以把它写成另外一个形式

总质量乘以质心的速度

p还等于总质量乘以质心速度等于零

导致什么呢 质心速度等于零

质心速度等于零的话呢表示什么呢

C点的位置是不变的

因此的话呢在太空中拔河

两边是不分胜负的

虽然他力气可能不一样大

我们再看一个例子

比如说 跳水运动员

他起跳之后的话呢

他可能有个初始的速度他就做个运动

那么这运动是什么样的运动呢

我们来看一下

我们很容易把他建立坐标系

比如水平是x竖直是y的话呢

我们建立它的运动方程

是质量乘以x方向加速度

在水平方向的话呢

我们暂时不考虑空气阻力的话呢

是等于零的

在竖直方向的话呢

质量乘以y方向加速度

等于重力 方向的话呢是负的

是-mg

好 这样一来的话呢

我们很容易把它这个方程啊

进行积分处理一下

得到什么结果呢 得到

x方向匀速运动

y方向和t的平方有关系

因此的话呢 出来之后是个抛物线

好 这是跳水运动员在空中啊

它的轨迹啊 它的质心啊做了抛物线运动

那么我们再看一个例子 比如说

一个大炮发射一个炮弹

那么发射出去之后的话呢

如果我们暂时不考虑空气阻力的话呢

这个炮弹走抛物线运动

好 这个好理解

那么假设在某一时刻的话呢

炸弹炸成碎片了

这时候要注意

在炸成碎片之后的话呢

有很多的片啊 各自运动

但是它们总的质心啊 还是在走抛物线

关于这炸弹炸成碎片的话呢

就是一种那个就是

我们知道早期炸弹是不会炸成碎片的

就是一个圆球打出去

所以它打得面积很小 就这个小区域

但是后来的话呢

为了更好消灭敌人的话呢

在空中爆炸 碎片很多

容易砸伤敌人

现在这个问题是

这么多碎片的话呢 各自飞行

但是它们总的质心还是沿着

抛物线的运动这很有意思

同时的话呢

假如有某一块弹片

第一块弹片着地了之后

会出现什么现象呢

我们来看一下示意图啊

假如有一个弹片着地之后

现在剩下的 另外的弹片的话呢

它的质心变了

质心是什么 变成一个新的抛物线运动

那么为什么会这样呢

这是因为 当第一块弹片着地的时候

地面给这个第一块弹片有一个冲量

这个冲量的话呢

会使得整个系的动量发生变化

所以出现一个新的抛物线

是这样一个运动

好了 我们再来看一个例子

这个例子的话呢是

美国挑战者号在它第十次飞行的时候啊

爆炸了 我们看有这样一个图片

那么 对于这个图片的话呢

不同的人可以看出不同的信息

比如说对我们学过力学的人来说的话呢

我们可以看出这样一个信息就说

它在爆炸之前它是这样飞行的

它在这样一个方向有动量

然后爆炸之后的话呢你看

它分成两半

也就是说的话呢从这个意义上说

我们可以看从图片上可以分析出来

爆炸的两个碎片的话

是动量守恒的

一个往左一个就往右

同时的话呢

我们还看出来它两边运动

长度不一样

我们可以从这个照片中分析出来

某一边的质量比另外一边质量要大

所以说的话呢通过这样一个示例

我们可以理解

为什么专家通过一些蛛丝马迹

可以分析出很多很多的细节出来

好 总而言之的话呢

我们可以从前面一些例子中啊得到些启发

就是动量定理

贯穿在所有的真实的物理实验之中

只是关键你是否能发现它

注意这点啊 就是说

在真实的世界中

动量定理总是要存在的

我们说这句话是因为什么呢

有的时候你看科幻小说啊

或者看一些神话故事啊

人物在天上飞来飞去变来变去什么的

那它是不满足很多物理定律的

但是真实的世界的话呢

要满足所有的物理定理

还有初始条件等等都要满足

所有说呢 我们很容易理解

比如说你看电影中

那个武打演员飞来飞去啊

你就知道他可能不符合动量定理

他为什么会飞来飞去的话呢

是因为绳子吊着他

他拍完之后把绳子做处理

之后绳子看不见了

所以的话你看他飞来飞去

实际上它是不符合动量定理的

往上升的

好了希望大家能够把

相关的物理知识学会之后啊

能够解释你身边的很多现象

今天我们就到这