当前课程知识点:理论力学 > 第二章 刚体运动学 > 扩展内容 > 2-扩展-d关于刚体的转动
那么前面我们介绍了刚体的运动
那么刚体运动还是比较复杂的
特别是刚体的角速度
它为什么要这样定义
会使得同学们有点疑问
所以的话 今天的话
我们给个补充的说明
首先我们注意到
刚体的一般运动
它的运动方程可以写成这样
刚体上选一点O点作为基点
RO它的表达式写出来
然后还有一个刚体的定系转动时候
相当于定系坐标转换之正A
如果RO和A给定后
就能把这个刚体的整个运动描述出来
那么
这样就提个问题
R有三个分量XYZ
A矩阵也有三个独立的分量
这样就提一个问题
如果描述它的移动
平移的话可以用XYZ表示
表示转动的话就用A矩阵表示
但是A里面就有三个独立的元素
那么用哪三个量表示刚体的转动比较合适呢
历史上人们开始研究这个问题
那么 很多人提了不同的见解
欧拉提了一组方法
就是采用一组转角来描述刚体的转动
这个转角现在把它称为欧拉角
欧拉角它是有特定的名称的
叫Ψ θ φ
还可以有名字叫进动 章动和自转角
同时他们为了一一对应还有一个角度的范围
那么欧拉角定义的时候
我们前面也说过它是结体系和固定系重合之后
然后通过3次转动实现
它是有转动的次序的
这个需要注意
它是有转动的次序的
因此下面有个问题
就是 欧拉角为什么要规定转动的次序
或者我们把这个问题换成更一般的说法
刚体的转动次序是否会影响它的结果
当然有人可能会说
为什么要提这样的问题呢
那是因为可能会有人这样认为
刚体的转动
它是沿着某一个轴转动某一个角度
因此的话
它是有方向有大小
所以有人就想
刚体转动的角度是个矢量
那么这样想对不对呢
有大小有方向所以这个量是矢量
这样对不对呢
我们来看一个例子
一本书
我们建立个坐标系
我们先让它绕着它的长边转90度
再绕短边转90度
那么之后看起来
它就到了图的这样一个位置
我们为了区别
特意上面用黄色的方框表示书名
书名朝上
那么还是这本书
一开始的位置是一样的
我们先绕短边转90度
再绕长边转90度
这时候你就会发现
书上的书名你就看不见了
因此 我们看起来的话
两次转动的结果现象不一样
因此 我们可以说
两个转角合成的结果和顺序有关系
它怎么转 先后顺序有关系的
因此 这个不符合矢量相加原则
因为如果是矢量相加a+b和b+a是相等的
但是 我们现在发现
你先转长边和先转短边效果是不同的
因此我们看到一个书本的转动和次序有关系
所以 两个有限转角的合成结果
与转动顺序有关系
因此不符合矢量相加法则
即 有限转角不是矢量
但是
这可能又可以引出另外一个问题
为什么刚体转动的角度不是矢量
而转动转动的角速度
也就是转动快慢是矢量呢
这是不是又有点奇怪呢
那么为了回答这个问题的话
我们下面从另一个角度
从数学的角度来看一下
从数学上来看的话
矩阵的乘法是不满足交换律的
比如说
第一次绕X轴转
第二次绕Y轴转
我们可以把两个矩阵写出来
一乘在一起
发现两个交换的话 是不等的
这个很容易验证
但是 如果刚体作的是无限小转动
这个时候就不一样了
这时候有
比如说cosφ约等于1
而sinφ约等于φ
利用这样的一个简化之后
我们就把它乘得的结果简化成 变成是
第一列 比如说
1 θ乘以φ 和φ
那么我们说θ和φ都是小量的情况下
θ乘以φ就是二阶小量
二阶小量在做数据分析的时候
我们经常可以忽略不计
因此在列序高阶小量之后
我们发现
这两个式子相乘就可以交换了
所以我们说
两个无限小转动合成的时候
转动的结果和转动的次序没有关系
因此 无限小转动是矢量
实际上
有限转动是一个二阶正交张量
张量是这样的一种量
它不但有大小有方向
还和你和什么方向去观察有关系
关于这个内容的话
以后还会专门介绍
那么我们会说
矢量有3个元素
而张量有9个元素
但是它们是怎么挂上勾的呢
我们回头看一下
刚体转动的角速度是这样定义的
A的倒数乘以A的转置
出来之后是一个3乘3的一个矩阵
这个矩阵是一个反对称矩阵
具有3个元素
严格来说
角速度是一个张量
但是这个张量只有3个独立的元素
所以的话可以把这3个元素抽出来
构成一个量
我们把这个量叫做矢量
所以从这个上来说
角速度也可以认为是矢量
所以我们说这么多
最后总结说
本质上来说刚体的角度和角速度都是张量
如果按张量来说
前面所有的矛盾都不存在了
但是 如果你没有张量的概念
我们也可以这样认为
刚体的有限转动不是矢量
刚体的无限小转动是矢量
而转动的角速度和无限小转动有关系
所以是矢量
所以这样说也没有问题
好了 关于刚体的转动
希望大家有一个更加全面的理解
-绪论
--绪论
-1-1 矢量描述法
--第一章运动的描述
--矢量及其运算
-1-2 直角坐标描述法
--例题1 椭圆规
--例题2 圆轮滚动
-1-3 自然坐标描述法
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-2-1 刚体的定义与运动形式
-2-2 刚体的矢量-矩阵描述
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-扩展内容
-第二章 刚体运动学--作业
-3-1 点的复合运动
-3-2 刚体复合运动
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-第三章 复合运动--作业
-4-0 静力学公理序言
-4-1 主矢量和主矩
-4-2 力系的等效与简化
-4-3 受力分析与刚体平衡
-4-4 平面力系的平衡方程
-4-5 考虑摩擦的平衡问题
-4-6 刚体系的平衡
--4-6-2 桁架
--4-6-3 机构
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-扩展内容
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-第四章 几何静力学--作业
-5-1 约束及其分类
--约束及其分类
-5-2 虚位移
--虚位移
-5-3 虚功原理
--虚功原理
-5-4 广义坐标和广义力
--广义坐标和广义力
-5-5 势力场中的平衡
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--5-扩展-c欹器
--冈布茨
-第五章 分析静力学--作业
-6-1 质点运动微分方程
-6-2 质点在非惯性系中的运动
-6-3 相对地球的运动
-扩展内容
--宇航员的问题
-第六章 质点动力学--作业
-7-1 质点系动量定理
-7-2 质点系动量矩定理
-7-3 质点系动能定理
-7-4 质系普遍定理的综合应用
-7-5 碰撞
--7-5 碰撞
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--7-扩展-b跳水
--第七章 质点系动力学--作业
-8-1 达朗贝尔原理
-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理
-8-3 第二类拉格朗日方程
-8-4 拉格朗日方程首次积分
-例题
--达朗贝尔原理例题
-扩展内容
--广义动量守恒
--广义能量守恒
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--无轮小车
-第八章 分析动力学--作业