4-2 力系的等效与简化例题1-3在线视频

好，例1

已知F1、F2和F3

如图所示

这个边长是a

特别注意

F3的力的方向是由三角形

3、4、5为边长的三角形来确定的

那么求此力系的合成结果

好，首先

我们求一下力的主矢量R

也就是把所有的力全部加起来

沿着x方向和y方向分解一下，加起来

求出来是：R=4i+4j

然后，我们求一下力的主矩

我们把所有力向O点取矩

得到一个结果是 Mo=4a

好，我们把图画出来

最后画的结果是

力的主矢量和主矩

那么因为这是平面问题

它可以进一步简化

就是把R移到某个位置之后

可以让这个Mo取消

那么距离是多少呢

我们可以根据公式算一下

距离 d=Mo/R

好，等于这样一个值

那么这个值正好表示的是

移到A点就可以了

因此我们结果是

这些力最后等效结果是什么呢

等于R，它大小等于4i+4j

位置在（A点）这个位置，方向45°

例2

假设（左边）这是个坝体，（右边）这边是水

水深是h

水的单位密度是γ

我们求一下

单位长度坝面所承受的静水压力的合力

我们首先

把这个压力分布写出来，q

q是h的函数：q(h)=γh

那么，在某个位置，x位置

它的密度是γx

我们把力系向O点简化

也就是说这是个分布力系，向O点简化

可以得到主矢量，那么积分一下

得到什么呢？ 1/2γh平方

然后向O点简化后还有一个主矩

这个主矩也是积分

但是这个积分的时候是xq(x)dx积分

是等于1/3γh三次方

那么我们把这个距离再算一下，就是

Mo/R得出来距离，等于2/3h

就是什么意思呢

我们来看一下几何解释

就是一开始的时候

我们向O点简化

得到力的主矢量和主矩

那么它等价于什么呢

可以把主矢量R从（O点）移到（下面）这儿来

移到三分之二的位置

移完之后，主矩就没有了

也就是说，对这样一个问题

力的主矢量就是三角形的面积

而合力就是在三角形的中心位置

因为我们知道三角形的中心位置

这边是三分之二，这边是三分之一

所以它的几何解释就是说

整个水坝受力就是

和它的这个（分布力）面积有关系

（合力的）位置在这个（三角形）中心的位置

那么下面我们进一步讨论一下

平行力系的简化

在一般情况下

假如平行力系是按某个规律q(x)分布

那么我们对某个微元进行分析

这个微元得到了dR这个矢量

好，我们取O为简化中心

把所有力向O点简化

可以得到一个力的主矢量和主矩

那么具体写出来就是说

R是积分，里面q(x)对x积分

区间是0到l

那么它的物理含义就是

分布力系所围成的面积，也就是说

这个面积的大小是它主矢量的大小

主矩也是积分

积分完之后，注意到

这是平面力系问题

主矢量和主矩垂直

所以力系可以进一步合成一个合力

它的作用线位置是多少呢

距离是d，d=Mo/R

是这样一个结果

这是个（平行力系）一般力系的结果

好，下面我们进一步讨论一下

分布的平行力系的简化结果

我们看一下特例

这些特例的结果

以后我们可以直接利用它的结果

第一，看看均布载荷

如果是这样一个均布载荷

那么简化结果是什么呢

就是一个力的主矢量

直接简化到这个位置

就是说它的大小是ql

也就是它的面积

位置是二分之一处

如果是个三角形的载荷分布

从0到q0，最大值是q0

那么它的分布结果是R

它的大小是1/2q0*l

也是这个面积

位置在2/3l处，2/3处

那么如果是一个梯形这样的载荷结构

最小值是q1，最大值是q2

那么这个时候

如果直接算稍微有点麻烦

所以有个技巧，是把它分割一下

这样分割一下

把它分解为一个矩形和一个三角形

因此这样一来得到两个结果

一个是R1，一个是R2

它们的位置分别是d1和d2

那么是这样的结果

这两个力的主矢量分别是它们相应的面积

而它们的位置分别是它们各自的形心

好，这样处理会比较简单一些

那么再看看，分布平行力系的简化结果

就是说最一般的空间问题

我们看看作用在质点上的重力

可以认为是一分布的平行力系

重心是在它的一个特定位置上面

那么如果按积分是这样处理的

就是xc是等于

分子上面是γ*x对体积积分

分母是γ对体积积分

类似的y和z也是这样

那么对于均质的物体

重心和形心是重合的

好，我们利用刚才结果讨论一下

对于复合物体的重心该怎么求

它有几种方法

一种是分割方法

把复合形体分割成几个简单形体

因为每个简单形体很容易求出来

所以，再用重心公式

可以求出复合形体的重心公式

比如说，假如有这样一个形状

那么我们怎么处理呢

我们可以把它分解为两个矩形

第一个矩形和第二个矩形

它们分别是r1和r2，它们质心的位置

它们面积是s1和s2

那么总的质心位置在哪呢

就是根据这样一个公式可以把它算出来

如果是均质的

会得到这样一个结果

就是rc等于

分母是s1+s2，分子是s1*r1+s2*r2

好，得出这样一个结果

利用这种方法

就可以把一个稍微复杂的形体分为

简单形体之后来进行处理

如果这个物体中有一部分缺失

我们可以用负面积法

它是把刚才的方法推广

我们可以来这样处理

就比如说一个矩形挖掉一个圆

我们可以先把这个圆补上

补完之后再减去这个圆

就变成这样一个问题

我们考虑r1是矩形的质心

r2是圆的质心

那么面积分别是s1和s2

好，那么这样一来

新的质心位置在哪儿呢

就是（s1-s2）分之s1*r1-s2*r2

好了，那么还有一种方法是

利用实验方法进行实验

就是这样来处理，比如说用悬挂方法

把一个物体悬挂起来之后

重心一定在悬挂线的延长线上面

然后你旋转个角度再悬挂一次

两次悬挂线的交线就是重心位置

或者用称重方法

就比如说，你来称一个物体的重量

好，如果物体处于平衡之后

你称出读数之后

那么根据力矩的平衡

对A点取矩平衡之后

可以得到重心的位置等于Rb/P·l

所以有很多方法来处理这个问题