当前课程知识点：理论力学 > 第八章 分析动力学 > 8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理 > 8-2达朗贝尔-拉格朗日原理
好 大家好 那么今天我们讲新的一节
达朗贝尔-拉格朗日原理
那么下面我们介绍一下
达朗贝尔-拉格朗日原理
它是这样介绍的
设质系所有的质点Pi
受主动力Fi的作用
那么质系的约束如果是理想的双面约束
则可能运动ri=ri（t）的话
它是真实运动的充分必要条件是什么呢
是∑（Fi-miri）·δri=0
那么这个方程的话称之为叫
动力学普遍方程
那么单看这个方程之后的话呢
你会不会想到
和我们以前讲的虚位移原理中的方程
很相像 也就是说
如果r总是在等于0的情况下
就退化到我们以前的静力学的普遍方程
同时的话呢 这地方告诉我们
我们以前把约束分为理想约束
双面约束什么的 为什么这样分呢
我们发现在这用上了
好下面我们讨论一下 就是说
牛顿定律跟达朗贝尔-拉格朗日原理
它是等价的 但是它们处理思路是不一样的
我们来看一下 就是牛顿定律的话呢
它是把约束用约束反力代替
它是直接给出了各个质点
真实运动和主动力约束力的关系
而达朗贝尔-拉格朗日原理的话呢
它是先考虑约束对运动的限制
然后在约束所允许的可能运动中
找出真实的运动
所以它们的思路是不一样的
在某种意义上说的话呢
牛顿定律有很强的因果关系
就是说因为是这样 所以就是这样的
就是因为比如说我抛个物体有一个初速度
所以它就做抛物线运动
但是达朗贝尔-拉格朗日原理的话呢
它的就不是这样 它可能会这样
也可能那样 那么到底是哪样的话呢
它根据这样的思路来找
是利用机器原理来找它
那么下面我们来证明一下
因为刚才我们说了
牛顿定律跟达朗贝尔-拉格朗日原理
是等价的 所以我们来证明一下
它们怎么样等价
好 我们先假设牛顿定律成立
那就会有什么呢 就是说F+N-mr=0
因为我们把牛顿定律稍微移一下项的时候
有这样的式子
好 对每个质点它都是成立的
那么你既然每个都成立的话呢
你把这个公式加在一起∑加在一起
当然还成立
然后呢 在点乘以它对应的虚位移也成立
好 然后我们把∑N·δr专门拿出来
好 然后利用什么条件呢 对于理想约束
来回忆一下我们说理想约束 就是
系统在所有给定的虚位移中做的功为0
原功为0 就是说∑N·δri=0
好 这样一来的话呢 就变成这样了
变成∑（Fi-miri）·δri=0
这个结果就正好是我们的
达朗贝尔-拉格朗日原理
所以的话呢 从牛顿定律可以推出
达朗贝尔-拉格朗日原理
那么反过来的话 我们看看
假设我们达朗贝尔-拉格朗日原理成立
好 利用我们理想约束条件的话呢
我们就有这样一个结果
就是说∑（Fi-miri）·δri=0
再加上理想约束条件那也是等于0
加在一起还是等于0
好了 把它们合并 好合并一下
好下面是关键 注意
因为我们现在用约束反力代替约束
现在是解出约束加上约束反应力
所以的话呢 质系就变成自由质系了
因此的话呢 所有的虚位移都是独立的
好 这样一来的话呢 δri是独立的
所以的话就变成什么了呢
就变成它里面所有项要等于0
就变成Fi+Ni-miri=0
也就是说F+N-mr=0
所以说呢 我们从前面公式中
从达朗贝尔-拉格朗日原理中导出来
牛顿定律把这公式移下项之后
就是牛顿定律 所以的话这就充分证明了
牛顿定律跟达朗贝尔-拉格朗日原理
是等价的 因为我们证过来证过去都证了
好 下面我们讨论一下 就是
达朗贝尔-拉格朗日原理是不包含
理想约束力的动力学方程
那么如果需用牛顿定律求解的话呢
通常你要把它拆开 就会出现约束力
不管你这约束是理想还是不理想约束力
它就会出现约束力
而约束力的话通常是未知的
所以会出现要联立很多方程求解的情况
那么对于非理想约束的话呢
我们怎么处理呢
我们可以解除该约束
把这个约束力处理成主动力
所以利用这种方式的话呢
达朗贝尔-拉格朗日原理可以处理很多问题
其次的话呢 我们来强调一下
我们可以用直角坐标形式来表示
达朗贝尔-拉格朗日原理中的虚位移
如果这样表示的话呢 它通常是不独立的
因此的话 这个暗示我们
也许我们可以在另外的形式中来进行表示
让虚位移独立那么就会导致后面的课程
所以的话呢 我们今天先介绍在这
-绪论
--绪论
-1-1 矢量描述法
--第一章运动的描述
--矢量及其运算
-1-2 直角坐标描述法
--例题1 椭圆规
--例题2 圆轮滚动
-1-3 自然坐标描述法
--例题3 单摆
-1-4 极坐标描述法
--例题4 演员
-扩展内容
--b 观察与思考
--c 时间与方向
--d 仰望星空
--e 兔子追击问题
-第一章 点的运动学--作业
-2-1 刚体的定义与运动形式
-2-2 刚体的矢量-矩阵描述
-2-3 刚体平面运动
-2-4 刚体定点运动
-扩展内容
-第二章 刚体运动学--作业
-3-1 点的复合运动
-3-2 刚体复合运动
-例题
-扩展内容
--钟表的设计
--寻找四叶草
--差动齿轮
--指南车
--逆行风车
-第三章 复合运动--作业
-4-0 静力学公理序言
-4-1 主矢量和主矩
-4-2 力系的等效与简化
-4-3 受力分析与刚体平衡
-4-4 平面力系的平衡方程
-4-5 考虑摩擦的平衡问题
-4-6 刚体系的平衡
--4-6-2 桁架
--4-6-3 机构
-例题
-扩展内容
--气球的平衡
--平衡大师
-第四章 几何静力学--作业
-5-1 约束及其分类
--约束及其分类
-5-2 虚位移
--虚位移
-5-3 虚功原理
--虚功原理
-5-4 广义坐标和广义力
--广义坐标和广义力
-5-5 势力场中的平衡
-例题
-扩展内容
--关于投影
--不倒翁
--5-扩展-c欹器
--冈布茨
-第五章 分析静力学--作业
-6-1 质点运动微分方程
-6-2 质点在非惯性系中的运动
-6-3 相对地球的运动
-扩展内容
--宇航员的问题
-第六章 质点动力学--作业
-7-1 质点系动量定理
-7-2 质点系动量矩定理
-7-3 质点系动能定理
-7-4 质系普遍定理的综合应用
-7-5 碰撞
--7-5 碰撞
-例题
-扩展内容
--7-拓展-a跳高
--7-扩展-b跳水
--第七章 质点系动力学--作业
-8-1 达朗贝尔原理
-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理
-8-3 第二类拉格朗日方程
-8-4 拉格朗日方程首次积分
-例题
--达朗贝尔原理例题
-扩展内容
--广义动量守恒
--广义能量守恒
--非定常约束
--无轮小车
-第八章 分析动力学--作业
