3-1-4 加速度合成定理例题1-4在线视频

好 我们看例题1

一根直管OP在平面内绕O点运动

运动方程 φ= φ（t）

小球M在这个OP管内运动

运动规律是ρ=ρ（t）

求小球M的速度和加速度

那么我们先进行速度分析

我们取和管子固联的坐标系

e1和e2作为动参考系

然后我们分析M点的三种运动

首先是相对运动

小球的话在管子里运动

所以相对运动是沿着管子方向

它的表达式是 Vr=ρ一点

方向是e1的方向

然后再看牵连运动

牵连运动是（动系中）和动点重合的点的运动

因此，动系只能绕O点运动

做圆周运动

所以这个运动是垂直方向

它的大小是ρ乘以φ一点

那么把牵连运动和相对运动合成之后

就是绝对运动

所以的话

绝对运动等于牵连运动加相对运动

那么这就是M点所具有的速度

是两个方向的

那么下面进行加速度分析

首先，我们看

它还是存在一个相对加速度，沿着管子方向

大小是ρ两点

然后，牵连运动分为两部分

一部分是向心（加速度）

因为我们动系做圆周运动

所以有向心（加速度）

以及一个切向运动

它的表达式应该是

向心部分是 -ρφ一点平方

负号表示向心

然后那边切向的是ρ乘以φ两点

此外，还有一个科氏加速度

ac是科氏加速度

它是由于

动系转动和物体相对动系运动所导致的

所以是2倍的动系的角速度

叉乘以相对运动

那么在具体运用中就是2倍ρ一点φ一点

方向是e2方向

绝对运动就是绝对加速度等于牵连加相对加科氏加速度

那么具体代进来之后 整理一下之后

就得到这样的（公式)

那么这个公式正好就是

我们前面所讲过的极坐标公式

我们当时在讲极坐标公式的时候

是列式子求导得出来的式子

当时说为什么会有正负号，为什么是2倍

当时可能不太好解释，因为是算出来的

那么现在，我们每一项都有物理含义了

比如说为什么会有个负号呢

因为有一个牵连的向心加速度

为什么是2倍的呢

科氏加速度里面有2倍的等等

所以，每项都有物理解释了

这样，公式就很好记忆了

例题2

一个半径为r的小圆轮

在水平桌面上做直线的纯滚动

轮心速度Vo是已知，为常数

遥杆和桌面铰接

并且这一端靠在圆轮上面

当摇杆和桌面夹角等于60°的时候

求这一时刻的杆子的角速度和角加速度

好，我们先进行角速度分析

看看AB杆的角速度是多少

因为我们知道O点往(右边)这边运动

所以杆子应该是（顺时钟）这样转

我们可以这样取

取AB杆为动系，O为动点

大家注意，O点是圆心

好 这样取完之后

我们可以写出一个公式来

就是O点的速度等于牵连速度加上相对速度

那么下面我们把它画出来

首先看牵连速度

牵连速度是动系中

和动点重合的点所具有的速度

这个动系

现在是绕着B点做一个定轴转动

所以

O点速度是这样，（OB）连线做垂线

好 再看相对速度

不管这个（圆轮）怎么运动

O点与AB杆的距离是不变的

是个半径

所以

如果有个人站在AB杆上

看着那个O点

是平行于AB在运动

（O点的）相对运动是和AB平行的

绝对运动是水平的，是已知的

它们要满足一个平行四边形关系

因此很容易求出来

因为这个角度是60°

所以很容易求出来什么呢

这三个速度大小都一样，都是等于Vo

同时，从牵连速度当中可以把

这个角速度求出来，角速度等于Vo/2r，

角速度分析就得到了解决

那么下面进行角加速度分析

首先我们把公式写出来

O点的绝对加速度等于牵连加速度

其中的话牵连分两部分

牵连向心，牵连切向

加上相对加速度，加上科氏加速度

下面我们具体分析一下

题目中告诉我们

O点是匀速运动

所以，加速度为零

其次

牵连运动中

牵连向心是和动系的角速度有关系的

我们可以很快写出来

等于2倍的r乘以角速度的平方

而牵连的切向加速度

等于2倍的r乘以角加速度

角加速度是未知的，是我们要求的

另外，相对的加速度

相对运动的话是和AB平行的

相对加速度是这样的方向

大小是未知的

还有一个是科氏加速度

科氏加速度，大家注意

它是等于2倍的动系角速度×相对速度

根据前面已经求出来的动系角速度

可以把这个部分看成已知的量

好了，有了这些具体的部分之后

我们把上面的矢量公式

向ac方向投影，向科氏加速度方向投影

看看得到什么结果呢

得到这样的结果

左边等于零，右边得到这样一个结果

那么为什么是向这个方向投影呢

我们想求一个未知数，注意

和ac方向垂直是什么呢？是ar

所以，投完影之后

ar 就不出现了

因此

我们这样投影之后，就把角加速度求出来了

好，这个题目我们做完之后

我们来思考下面几个问题

在点的复合运动中

动点动系的选择原则有什么要考虑的

其次，在我们这个题目中

如果动系是和杆AB固结

而动点选择圆轮和杆的接触点C点

选择这一点

那么在分析速度和加速度的时候

可能会出现什么问题

大家思考一下

特别是，我们提醒一下

在分析速度和加速度的时候

它的相对运动是什么样的

就是说它的相对运动轨迹

如果你不清楚的话

它的速度方向、加速度方向也不好定

所以你考虑考虑会有什么问题

好，例题3

有一个曲柄摇杆机构

曲柄OA 以角速度ω0匀速运动

滑套 C

可沿着DB杆运动

短杆AC与C是固结

注意这是固结的

求图示位置的时候

BD的角速度和角加速度

那么这个里面相关的

参数和角度都是已知的

好，我们取BD杆为动系

动系和这个杆相固结

然后研究A点的运动

首先，写出公式，A点的速度等于牵连加相对

那么，具体来说

牵连的速度是水平向左

因为动系是绕着D点做圆周运动的

所以

这个点的速度应该是什么呢

和动点重合的点所具有的速度

大小可以很快的算出来，就等于2倍的lωBD

绝对运动，A点是绕着O点做一个圆周运动

绝对运动是OA的连线做垂线

它的大小是lω0

相对运动，因为AC的距离是不变的

而且这是固结的，转角也不变

所以

A点相对BD是平行运动

总是和BD平行的

相对运动和BD平行

这样一来

我们三个速度方向都知道了之后

同时A点速度大小还知道了

我们可以把它定出来了

我们把上式向AC方向投影

得到这样一个式子，可以算出来BD的角速度等于ω0/2

然后，我们再向相对速度方向投影

可以求出来相对速度等于lω0

求相对速度是为后面

求科氏加速度（做准备）

下面我们进行加速度分析

对于A点加速度，我们写的公式是

它等于牵连加速度加上相对加速度加科氏加速度

其中，牵连包括两部分

牵连向心和牵连切向

那么画个图

应该是这样的

牵连的向心，牵连的切向，相对（运动）

相对的（运动）

因为它相对运动总是和BD平行的

科氏加速度通过前面的叉乘关系

2倍的动系角速度叉乘它的相对速度，所以它的方向是这样的

而绝对运动

因为OA做一个匀速圆周运动

所以只有向心加速度

下面看具体的表达式

A点的加速度等于lω0平方

牵连向心（加速度）

是和距离以及角速度平方有关系

这个牵连的切向（加速度）

是和我们所关心的角加速度有关系

以及和距离有关系

向心加速度是未知的

科氏加速度应该是已知的

两倍的角速度叉乘以相对速度

那么需要注意的是什么呢

这里面有几个未知数

但是，我们相对的加速度

它是未知的

但是我们并不关心它

因此我们在算的时候有个技巧

我们把上式

比如说把这个矢量公式

向ac方向投影

为什么向ac方向投影呢

因为ac的方向

也就是科氏加速度方向

和ar方向是垂直的

所以说投完影之后 ar不出现

所以利用这个方法

我们可以一个方程解出一个未知数

不用联立方程

投影的时候需要注意角度关系

把角度稍微考虑一下

那么最后算出来什么呢

角加速度等于负的12分之根号3倍的ω0的平方

负号表示和我们开始设的相反

比如说我们开始画的是（向左）这个方向

那么负号表示实际应该是往（右）这个方向

往右方

例题4

这个题目，我们前面在求速度分析时已经做过

那么我们下面来求这个杆的加速度

杆的加速度

其他条件跟前面是一样的

那么，首先

我们把动点动系和三个运动分析一下

比如说

我们选择AB杆上的A点为动点

动系和偏心轮固结，分析三个运动

那么前面我们已经分析完了

我们看一下

绝对运动竖直向上

牵连运动水平，相对运动是沿圆的切点方向

同时

速度分析，因为前面已经做过了

我们快速地把它写出来

牵连速度的大小已经知道了

绝对速度大小也知道

相对速度大小都知道了

好，这个部分因为我们前面做过

所以我们快速的直接写出来了

下面我们进行加速度分析

在加速度分析的时候

首先，我们来看一下

A点的方向是已知的

竖直，大小是未知的

好，有一个未知数

然后，牵连运动

我们从图中看

动系做一个匀速运动

所以，也就是牵连的向心加速度

可以看出来是和距离有关系

和角速度有关系

然后再看，相对运动

相对运动包括两部分

因为这个相对运动是做

你们看圆周运动么

相对的话做圆周运动

有个相对向心和相对的切向

相对向心（加速度）

和它转动的角速度有关系

这个前面已经分析过了

相对速度已经有了之后，相对向心加速度很快就能推出来

但是相对切向（加速度）是未知的

好，科氏加速度

总是已知的，是2倍的动系角速度叉乘相对速度

那么我们现在

有2个未知数

一个是A点本身的加速度

一个是相对的切向加速度

因此，我们需要一些技巧

我们向y轴投影

投影的时候注意角度θ的关系

投影出来之后这样一个表达式

注意投影时候的角度关系以及正负号

我们的矢量公式

都是正号的

但是投影之后可能会出现正的、负的

根据实际情况来确定

好，从这里边可以求出来

绝对的加速度大小就出来了

同时有个负号，表示什么呢

表示它实际方向跟我们画的方向相反

我们实际

我们画的时候是向上的

实际应该就是往下的