当前课程知识点：理论力学 > 第六章 质点动力学 > 扩展内容 > 非线性方程的近似解
好 大家好 今天的话呢
我们介绍一种方法能处理很复杂的方程
我们来看一下
前面的话我们已经介绍了在落体问题中
我们有一个物体下落时的一个方程
写上就是说质量加速度
等于质量等于重力加速度
减掉由于自转导致的附加项
那么为了分析方便的话呢
我们通常把G0
减掉ω乘（ω乘R）的话呢
把他整个定义成G
G0的话称为引力加速度
他是指向地心的
而G的话称为当地表观加速度
沿着我们定义的垂线方向
因为我们在测量时候话呢这个
比如说自转的话呢他总是
同时存在的所以的话呢
不能把他分开来所以我们把他干脆合在一起
好 这样一来的话呢
我们就知道落体的方程可以写成这样一个形式
M乘以R..
等于MG减去两个的Mω乘以R.
好 根据我们的坐标XYZ是这样建立的
其中Z轴的话是指向天的
X轴的话呢是沿着地球的切向指向东方
Y的话沿着那个
子母线的切向指向北方
东北天坐标系
好 在这样坐标系中的话呢
地球的角速度他的分量是O
ω乘以cosφ ω乘以sinφ
好了 我们看看把这个表达式
带入到我们公式中去
把他解出来看看我们的方程式他怎么求解呢
在这种情况下
落体的动力式方程
展开之后是X两点
等于两倍的ω
乘以括号里面Y一点
乘以sinΦ减掉Z一点乘以cosΦ
Y两点等于负的两倍的ω乘以X一点乘以sinΦ
Z两点等于负的G
加上两倍的ω乘以x一点乘以cosΦ
那么这个方程啊
你一看的话很复杂
通常不好解
我们下面考虑他的初始条件
因为你是落体 啊
开始时候的位置XY等于O
Z的话等于某个高度H
速度都是为O
好了 那么我们看看这个方程应该怎么解呢
他是一个非线性方程
通常来说是没解析解的
所以的话呢 我们下面考虑
如何进行一个近似的分析
那么下面方法的话呢可以
是处理
非线性方程一般的方法可以考虑一下
我们采用迭代方法求解
我们先设X0
Y0Z0的话是
这个解的0次近似
是什么意思呢
就是我们先不考虑地球自转
比如说让ω等于0
这时候我们看他的解是什么呢
那么当ω等于0的时候
他要满足这样一个方程
我们原方程退化了
变成了什么呢M等于加速
等于M乘以重力加速度 这个方程很简单
好了 在0次方情况下
他的解是什么呢
他的方程是这样的X两点
等于0 Y两点等于0 Z两点等于负的G
初始的条件跟开始一样
那么这个情况下
解是很容易找到的
其实我们以前在中学的时候就会
处理的方程 好了
那么这个解就是0次方程的解
也就是他是不考虑地球自转的情况下解出的解
然后呢我们以这个方程为基础来求出他的
一次近似 我们看怎么做
我们把零次方程解位置和速度
带入到原方程中
好 我们来看看带进来之后的话呢
我们比如以第一项X两点
后面这项为例 带出来之后得出这样一个解
X1两点
等于两倍的ωgt乘以cosΦ
好 为什么会这样呢 你看
这里面Y一点等于零带进去就没了
所以只剩下Z
Z的话呢
Z的点等于负的GT出来是这样一个方程
那么类似的话呢
Y两点等于0
因为
原来的方程式Y两点等于
负的两倍的ωX一点乘以sinΦ
X一点的话现在是0带进去是没了
所以的话呢得到 就是考虑
一阶近似之后
他的解是这样一个方程
那么这个方程的话呢
当然就比刚才的方程稍微复杂一点
但是也是可以解的我们把他解出来
把初始条件带进去
可以得到满足
初始化条件的一阶近似解是什么呢
是X1等于三分之一的
ω乘以g乘以t的三次方乘以cosφ
y1等于0
z1等于H减掉二分之的gt平方
我们注意到这个解
跟零次解的区别在于
在x方向多了一个
一个表达式y方向没有变
而我们说的x方向是指
向东方的所以的话表示的话
物体落体的时候
在向东方面运动
我们考虑落地时间
好 这样一来的话得到
落体偏东的表达式是
Δ三分之一的gω
乘以整个的落体时间的
2分之3次方乘以cosφ
所以这个表达式就有了
那么有这个
一阶近似之后呢如果我们求
2阶近似的话怎么做呢
那么我们就把一阶近似的结果
再代入原方程
代入之后得到这样一个表达式
就是x两点
等于2倍的ω gt cosφ
Y两点等于负的ω方
乘以gt平方乘以sinφ cosφ
z两点等于负g加上两倍的ω方
gt平方 cos平方φ
那么这个方程就是
二阶的解
因为在这里面的话我们会看到
Y的解中出现了ω方
也是关于ω的二阶的方程
所以是二阶近似方程
那么我们可以通过一些相关的分析可以得到
初始条件的二阶近似方程的解是什么呢
是x2等于三分之一的g
乘以ω乘以t的三次方乘以cosφ
y2等于负的十二分之一的gω方
t的4次方乘以sin2倍 的φ
z等于h减掉二分之一的gt平方
加上6分之一的gω平方
t4次方乘以cos平方φ
我们特别注意一下
在y方向出现了一个解
他的什么意思呢
他表示的是像南偏
因为我们刚才记住
y方向的话是指向北方的
你现在表达式中是有一个负号
负号表示像南偏所以的话呢
像南偏的方程也有了
好 通过这样的方程的话呢处理的话
我们就把一个
很复杂的非线性方程
找出来了他的一阶二阶的近似解
那么按照类似的方法的话呢
你可以找出n阶近似
所以利用这种方法
这是一般的方法可以把这个
非线性方程的高阶近似解把他找出来
那么对于我们的问题
通常找到二阶 的话已经够了
好 我们看看通过这样分析的话呢
他像东偏
像南偏的表达式都把他找出来了
好希望大家把这个方法领悟之后呢
未来可以处理更多的更复杂的方程
好 谢谢大家
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