当前课程知识点:理论力学 > 第七章 质点系动力学 > 7-3 质点系动能定理 > 7-3 质点系的动能定理
好 大家好
今天我们讲第七章的第三节
质点系动能定理
好 首先我们介绍一下质系的动能
质系的动能是这样的
把质系之内每个质点的动能
把它加在一起
那么这时候要注意的话呢
这个动能的话呢 它是一个标量
因此是一个 叫算术和
我们以前讲的动量
动量矩的话 是矢量之和
那么动能的话呢 是标量之和
所以的话是叫算术之和
那么动能的话 是这样定义的
二分之一的Σ 里面
mi vi平方 就是说
二分之一的质量乘以速度的平方
每个点这么加起来就可以了
那么 这个是原始定义式
那么 对于刚体
比如说 刚体如果做平动的时候的话呢
每个质点的速度都一样
比如都知道是v
这样的话 可以代进去可以简化
就是说 刚才做平动的时候
它的动能等于什么呢
二分之一的总质量乘以
任何一点速度都可以 因为平动嘛
当然 你可以用质心代替也可以
就二分之一的总质量乘以速度平方
那么 如果刚体
绕着定轴做一个转动的话呢
我们知道 转动刚体的话
它满足速度啊 是等于半径乘以角速度的
而角速度是刚体所共有的
因为我们可以提出来之后
就可以得到这样一个式子
就是 刚体做定轴转动的时候
它动能等于二分之一的转动惯量
乘以角速度平方
所以的话 通过这两个例子
可以看出来
在一些特殊情况下
比如说刚体的情况下呢
动能定理可以有更简化的形式
那么下面我们介绍
刚体如果更一般运动
那么它的动能怎么求呢
我们介绍一个叫柯尼希定理
我们在质心这地方建立一个平动坐标系
过质心C 建立一个xyz坐标系 平动
那么我们知道的话呢
刚体上任何一点速度等于
Vc加上Vri
也就是说它这个以质心
作为一个基点
来进行一次分析 速度
这样一来的话呢 我们代入原始公式
就是说 动能等于二分之一的Σ 里面
质量乘以它的速度的平方
我们把它写成两项 就是速度乘以速度
就是说Vc加上Vr
乘以Vc加上Vr
把它展开 乘一下展开
那么可以得到这样一个式子 得到三项
其中第一项的话是等于
二分之一的总质量乘以质心的速度平方
第二项的话呢是二分之一的Σ 里面
mi乘以Vir的平方
就是相对速度的平方
第三项是可以把
质心速度提出来之后
Vc点乘以Σ 里面 mi Vir
好了 我们下面看看
这三个项的话呢 在什么情况下可以
进一步简化呢
好 它可以等于这样一个式子
它等于二分之一的总质量
乘以质心速度平方
加上二分之一的Σ 里面
mi Vir平方
第三项没了
那么为什么第三项没了呢
大家可以思考一下
因为我们是建立一个
过质心的平动坐标系
那么 在这个Σ mi
乘以Vir的话呢 等于什么呢
大家可以思考一下 等于什么
这项式子 没有了
好 这表明什么呢
就质系的动能
等于质系跟随质心平动的动能
就是二分之一mvc平方
与相对质心平动参考系转动的动能
好 这个就叫柯尼希定理
那么 如果这个问题啊
更进一步的 比如说是
做平面运动的刚体
就可以 把里面的这个
Vir 更一步简化一下
就得到这样一个结果 就是说
刚体做平面运动的时候
它动能等于什么呢
你二分之一的mVc平方
加上二分之一的Jc ω方
你看到什么呢
你看到我们刚刚前面说的
刚体做定轴转动
和刚体平动的时候
正好可以从公式中退化过去
那么下面的话呢
我们通过一个例子啊
来体验一下 怎么样算刚体的动能
那么 这是一个例子啊
这是一个凹形槽
可以在水平面上运动
然后呢 里面有一个圆
比如说一个圆柱体
它在里面滚动
我们为了简单的话呢 就是说
假设这个圆柱体的话
在做纯滚动
我们用 θ表示它的
它的竖直轴和连线方向
好 我们想问一下
这时候它的动能表达式该怎么写呢
我们可以分析出来
这个系统有两个自由度
一个是这个凹槽
可以水平移动 我们用x表示
然后呢
这个圆柱的话呢
可以用θ表示它的圆心的位置
所以的话用x和θ
表示它的坐标
做广义坐标
我们把它的速度分析一下
可以得到 动能等于
我们注意 这个凹槽的话呢
是做一个平动
因此它就一项
二分之一的总质量乘以x一点的平方
那么这个圆柱体的话呢
是做平面运动
它有两部分组成
一部分是跟随着质心的平动动能
和相对质心的转动动能
因此把它写成什么呢
就是二分之一的
小m乘以Vc平方
加上二分之一的转动惯量
乘以ω平方
那么这个Vc的话是什么呢
是由于
一部分是由于凹槽的话呢
水平运动导致的牵连运动 所以V1
然后相对运动的话呢
它质心的话呢 相对于是做一个
圆弧运动的一部分
所以切线方向
所以合在一起的话呢
Vc的话是由牵连
加相对组成的
所以把它写成这样一个形式
利用三角函数余弦定理
把它求出来
Vc平方等于这样一个表达式
此外的话呢
这个圆盘的话呢 这个转动啊
我们可以利用什么关系呢
可以利用
它们的接触点
是相对的
如果我们站到这个凹槽上看的话呢
接触点是瞬心
因此的话呢 把这个
它的C点速度
除以它的半径的话就是它的角速度
这个角速度的话呢 是在
在它动系中看的
但是动系做平动
所以的话呢 它的角速度
就等于这样的角速度
所以等于什么呢
ω等于大R减小r
除以小r乘以θ一点
这个物理含义是什么呢
就是 C点它所具有的的相对的速度
除以它的半径
大家注意 这个角速度的话
是站在动系中看到的它的相对角速度
但这个动系因为是平动
所以这个相对角速度也是绝对角速度
好 这样一来的话呢
我们代进去之后 就可以把这个动能
来求出来
好 下面我们介绍质系的动能定理
根据我们前面说的话
就是说动量和动量矩的话呢
介绍完之后 就会有动量定理
和动量矩定理
那么类似的话呢
动能定义完之后的话呢
我们可以介绍一下动能定理
而且你可以猜测的话呢
动能定理应该是什么呢
动能的变化和它的力的关系
好 我们先介绍
动能定理的各种形式
我们先介绍微分形式的
质点动能定理
就是 动能的变化
要等于外力做的功
那么功的话呢 是等于力
和它对应的位移的点积
好 这是微分形式的
那么 如果是微分形式的
质系动能定理的话
就把它全部加在起来就好了
就把它这个所有的
动能的变化
等于所有的外力做的功
加在一起
所以说 质系动能的微分
等于作用在质系上
所有力的元功之和
大家注意 在这个地方的话
我们强调的是所有力
为什么这么强调呢
因为在我们前面讲的
动量和动量矩定理的时候
我们把力啊 分解为内力外力
但是在这地方的话呢
在动能定理的时候
我们一般就不这么分了
因为你只要做功的话
就要考虑进去
所以的话呢 内力可能也是要做功的
所以的话 就说所有力的元功之和
那么 前面介绍的是微分形式的
那么还有有限形式的
有限形式的话 就相当于把微分
积分 对时间进行积分
积分之后就变成什么呢 就是
T2减T1等于W1到2
这什么意思呢 就是说
系统从状态1
到状态2的运动过程之中
其动能的改变量
等于作用在质系上的所有力
在这段路程中所作的
代数之和 做功的代数之和
这就是说 有限形式的动能定理
那么 我们把动能定理啊
也可以来解释一些
我们遇到的一些问题
比如说 我们在前面曾经说过
骑自行车的问题
那么我们类似的开汽车也是这样的问题
汽车是怎么开起来的
汽车能走起来 是由于
它的主动能啊
上面有摩擦力是向前的
但是有人会说
那为什么要燃烧汽油呢
燃烧汽油是产生一种内在的一个力 内力
我们现在可以这样说
内力的话呢 它是不能改变
整个系统的动量和动量矩的
但是可以改变它的能量
但是 内力可以改变它的能量
可以使后轮 主动转起来
然后呢 这个转起来之后的话呢
大家考虑 内力的话
可以改变系统局部的
动量和动量矩
所以 正是由于后轮
主动转起来之后的话呢
它相对于地面有一个
转动的趋势之后啊
地面给它产生一个向前的摩擦力
内力和摩擦力的关系啊
就很像是哲学中的
内因和外因的关系
就是说 内因和外因是什么关系呢
就是说外因通过内因起作用
就是说 所以 你的内力
也就是说你人必须要蹬自行车
你的汽车发动机必须要开动起来
使得后轮要转起来
然后呢 后轮转起来之后的话呢
外部的因素 摩擦力起作用了
使它能够走起来
所以的话呢 把内因和外因合在一起
内力和摩擦力是这样起作用的
好接下来介绍机械能守恒定理
好 我们前面介绍的话呢
我们以积分形式来说
就是说状态1和状态2的动能之差
等于外力做的功
那么如果质系是在
势力场中运动
所有势力做的功的话呢
从1状态到2状态做的功的话
等于它的势能
1位置的势能减掉2位置的势能
等于V1减V2
因此这样一来的话呢
我们把这公式代进去之后
就得到一个 机械能守恒定理
就是T1加V1
等于T2加V2
这什么意思呢 就是说
在1状态的时候的动能
加上它的势能 等于
2动态的动能加势能
我们知道动能加势能的话是叫机械能
所以的话 这意思说什么呢
这个在 有势力情况下的话呢
它的机械能是保持不变的
我们注意的话
机械能守恒是能量守恒的一个特例
好 下面我们介绍
第三节 功率方程
那么功率的话呢
是单位时间做的功
对于某些问题的话呢
可能 一方面需要考虑它做功
还要考虑它做功的快慢
就是功率
那么功率的话呢
可以写成是 单位时间内做的功
因此写成P等于
dA除以dt
那么根据我们前面说的话呢
dA的话是什么呢
力点乘它对应的位移
那么 位移的话
除以时间 取极限之后的话
就是说 力乘以速度
那么这个乘是点乘
所以最后出来的是什么呢
功率P等于
F点乘以速度V
那么这就是功率方程
那么如果是转动问题的话呢
那么可能用力偶
或者叫力偶矩更方便
那么就有这样一个结果
就是P等于M
刚体转动的角速度和力矩相乘
那么 这个功率方程的话呢
在解释某些问题的时候
还是很方便的 比如说我们来看
比如说 汽车的行驶
当在平面上的话
正常行驶的时候
汽车可以开的比较快
那么 当它爬坡的时候的话呢
一般有驾驶经验的都知道
要换挡 把它减速
那么 我们可以通过这个公式来看出来
P等于M乘以ω
那么 也就是说发动机转动时候的话
它功率啊 基本上是一定的
因此的话呢
你爬坡时候的话呢
你需要一个更大的摩擦力
你这摩擦力怎么来的话呢
它通过扭矩 就是让轮子
转动出来的扭矩
所以的话 扭矩要大
扭矩大的话呢 转动的速度就要小
所以的话 ω在减小
所以 汽车爬坡的时候啊
需要更大的摩擦力
这时候可以通过减速
获得更大的扭矩来实现
同时的话呢
我以前还设计个游戏
就是手机吊冰箱
那么这个游戏的话呢是通过
十万倍的减速
把力放大十万倍
从而可以让冰箱
慢慢慢慢吊起来
那么 关于这点的话呢
我在后面的扩展部分
会专门介绍
所以的话呢功力方程
可以解释很多现象
大家记住一点 就是说
我们可以把力放大
但是不能把功放大
也不能把功率放大
好
-绪论
--绪论
-1-1 矢量描述法
--第一章运动的描述
--矢量及其运算
-1-2 直角坐标描述法
--例题1 椭圆规
--例题2 圆轮滚动
-1-3 自然坐标描述法
--例题3 单摆
-1-4 极坐标描述法
--例题4 演员
-扩展内容
--b 观察与思考
--c 时间与方向
--d 仰望星空
--e 兔子追击问题
-第一章 点的运动学--作业
-2-1 刚体的定义与运动形式
-2-2 刚体的矢量-矩阵描述
-2-3 刚体平面运动
-2-4 刚体定点运动
-扩展内容
-第二章 刚体运动学--作业
-3-1 点的复合运动
-3-2 刚体复合运动
-例题
-扩展内容
--钟表的设计
--寻找四叶草
--差动齿轮
--指南车
--逆行风车
-第三章 复合运动--作业
-4-0 静力学公理序言
-4-1 主矢量和主矩
-4-2 力系的等效与简化
-4-3 受力分析与刚体平衡
-4-4 平面力系的平衡方程
-4-5 考虑摩擦的平衡问题
-4-6 刚体系的平衡
--4-6-2 桁架
--4-6-3 机构
-例题
-扩展内容
--气球的平衡
--平衡大师
-第四章 几何静力学--作业
-5-1 约束及其分类
--约束及其分类
-5-2 虚位移
--虚位移
-5-3 虚功原理
--虚功原理
-5-4 广义坐标和广义力
--广义坐标和广义力
-5-5 势力场中的平衡
-例题
-扩展内容
--关于投影
--不倒翁
--5-扩展-c欹器
--冈布茨
-第五章 分析静力学--作业
-6-1 质点运动微分方程
-6-2 质点在非惯性系中的运动
-6-3 相对地球的运动
-扩展内容
--宇航员的问题
-第六章 质点动力学--作业
-7-1 质点系动量定理
-7-2 质点系动量矩定理
-7-3 质点系动能定理
-7-4 质系普遍定理的综合应用
-7-5 碰撞
--7-5 碰撞
-例题
-扩展内容
--7-拓展-a跳高
--7-扩展-b跳水
--第七章 质点系动力学--作业
-8-1 达朗贝尔原理
-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理
-8-3 第二类拉格朗日方程
-8-4 拉格朗日方程首次积分
-例题
--达朗贝尔原理例题
-扩展内容
--广义动量守恒
--广义能量守恒
--非定常约束
--无轮小车
-第八章 分析动力学--作业