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7-3 质点系的动能定理在线视频

7-3 质点系的动能定理

下一节:7-4 质系普遍定理的综合应用

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7-3 质点系的动能定理课程教案、知识点、字幕

好 大家好

今天我们讲第七章的第三节

质点系动能定理

好 首先我们介绍一下质系的动能

质系的动能是这样的

把质系之内每个质点的动能

把它加在一起

那么这时候要注意的话呢

这个动能的话呢 它是一个标量

因此是一个 叫算术和

我们以前讲的动量

动量矩的话 是矢量之和

那么动能的话呢 是标量之和

所以的话是叫算术之和

那么动能的话 是这样定义的

二分之一的Σ 里面

mi vi平方 就是说

二分之一的质量乘以速度的平方

每个点这么加起来就可以了

那么 这个是原始定义式

那么 对于刚体

比如说 刚体如果做平动的时候的话呢

每个质点的速度都一样

比如都知道是v

这样的话 可以代进去可以简化

就是说 刚才做平动的时候

它的动能等于什么呢

二分之一的总质量乘以

任何一点速度都可以 因为平动嘛

当然 你可以用质心代替也可以

就二分之一的总质量乘以速度平方

那么 如果刚体

绕着定轴做一个转动的话呢

我们知道 转动刚体的话

它满足速度啊 是等于半径乘以角速度的

而角速度是刚体所共有的

因为我们可以提出来之后

就可以得到这样一个式子

就是 刚体做定轴转动的时候

它动能等于二分之一的转动惯量

乘以角速度平方

所以的话 通过这两个例子

可以看出来

在一些特殊情况下

比如说刚体的情况下呢

动能定理可以有更简化的形式

那么下面我们介绍

刚体如果更一般运动

那么它的动能怎么求呢

我们介绍一个叫柯尼希定理

我们在质心这地方建立一个平动坐标系

过质心C 建立一个xyz坐标系 平动

那么我们知道的话呢

刚体上任何一点速度等于

Vc加上Vri

也就是说它这个以质心

作为一个基点

来进行一次分析 速度

这样一来的话呢 我们代入原始公式

就是说 动能等于二分之一的Σ 里面

质量乘以它的速度的平方

我们把它写成两项 就是速度乘以速度

就是说Vc加上Vr

乘以Vc加上Vr

把它展开 乘一下展开

那么可以得到这样一个式子 得到三项

其中第一项的话是等于

二分之一的总质量乘以质心的速度平方

第二项的话呢是二分之一的Σ 里面

mi乘以Vir的平方

就是相对速度的平方

第三项是可以把

质心速度提出来之后

Vc点乘以Σ 里面 mi Vir

好了 我们下面看看

这三个项的话呢 在什么情况下可以

进一步简化呢

好 它可以等于这样一个式子

它等于二分之一的总质量

乘以质心速度平方

加上二分之一的Σ 里面

mi Vir平方

第三项没了

那么为什么第三项没了呢

大家可以思考一下

因为我们是建立一个

过质心的平动坐标系

那么 在这个Σ mi

乘以Vir的话呢 等于什么呢

大家可以思考一下 等于什么

这项式子 没有了

好 这表明什么呢

就质系的动能

等于质系跟随质心平动的动能

就是二分之一mvc平方

与相对质心平动参考系转动的动能

好 这个就叫柯尼希定理

那么 如果这个问题啊

更进一步的 比如说是

做平面运动的刚体

就可以 把里面的这个

Vir 更一步简化一下

就得到这样一个结果 就是说

刚体做平面运动的时候

它动能等于什么呢

你二分之一的mVc平方

加上二分之一的Jc ω方

你看到什么呢

你看到我们刚刚前面说的

刚体做定轴转动

和刚体平动的时候

正好可以从公式中退化过去

那么下面的话呢

我们通过一个例子啊

来体验一下 怎么样算刚体的动能

那么 这是一个例子啊

这是一个凹形槽

可以在水平面上运动

然后呢 里面有一个圆

比如说一个圆柱体

它在里面滚动

我们为了简单的话呢 就是说

假设这个圆柱体的话

在做纯滚动

我们用 θ表示它的

它的竖直轴和连线方向

好 我们想问一下

这时候它的动能表达式该怎么写呢

我们可以分析出来

这个系统有两个自由度

一个是这个凹槽

可以水平移动 我们用x表示

然后呢

这个圆柱的话呢

可以用θ表示它的圆心的位置

所以的话用x和θ

表示它的坐标

做广义坐标

我们把它的速度分析一下

可以得到 动能等于

我们注意 这个凹槽的话呢

是做一个平动

因此它就一项

二分之一的总质量乘以x一点的平方

那么这个圆柱体的话呢

是做平面运动

它有两部分组成

一部分是跟随着质心的平动动能

和相对质心的转动动能

因此把它写成什么呢

就是二分之一的

小m乘以Vc平方

加上二分之一的转动惯量

乘以ω平方

那么这个Vc的话是什么呢

是由于

一部分是由于凹槽的话呢

水平运动导致的牵连运动 所以V1

然后相对运动的话呢

它质心的话呢 相对于是做一个

圆弧运动的一部分

所以切线方向

所以合在一起的话呢

Vc的话是由牵连

加相对组成的

所以把它写成这样一个形式

利用三角函数余弦定理

把它求出来

Vc平方等于这样一个表达式

此外的话呢

这个圆盘的话呢 这个转动啊

我们可以利用什么关系呢

可以利用

它们的接触点

是相对的

如果我们站到这个凹槽上看的话呢

接触点是瞬心

因此的话呢 把这个

它的C点速度

除以它的半径的话就是它的角速度

这个角速度的话呢 是在

在它动系中看的

但是动系做平动

所以的话呢 它的角速度

就等于这样的角速度

所以等于什么呢

ω等于大R减小r

除以小r乘以θ一点

这个物理含义是什么呢

就是 C点它所具有的的相对的速度

除以它的半径

大家注意 这个角速度的话

是站在动系中看到的它的相对角速度

但这个动系因为是平动

所以这个相对角速度也是绝对角速度

好 这样一来的话呢

我们代进去之后 就可以把这个动能

来求出来

好 下面我们介绍质系的动能定理

根据我们前面说的话

就是说动量和动量矩的话呢

介绍完之后 就会有动量定理

和动量矩定理

那么类似的话呢

动能定义完之后的话呢

我们可以介绍一下动能定理

而且你可以猜测的话呢

动能定理应该是什么呢

动能的变化和它的力的关系

好 我们先介绍

动能定理的各种形式

我们先介绍微分形式的

质点动能定理

就是 动能的变化

要等于外力做的功

那么功的话呢 是等于力

和它对应的位移的点积

好 这是微分形式的

那么 如果是微分形式的

质系动能定理的话

就把它全部加在起来就好了

就把它这个所有的

动能的变化

等于所有的外力做的功

加在一起

所以说 质系动能的微分

等于作用在质系上

所有力的元功之和

大家注意 在这个地方的话

我们强调的是所有力

为什么这么强调呢

因为在我们前面讲的

动量和动量矩定理的时候

我们把力啊 分解为内力外力

但是在这地方的话呢

在动能定理的时候

我们一般就不这么分了

因为你只要做功的话

就要考虑进去

所以的话呢 内力可能也是要做功的

所以的话 就说所有力的元功之和

那么 前面介绍的是微分形式的

那么还有有限形式的

有限形式的话 就相当于把微分

积分 对时间进行积分

积分之后就变成什么呢 就是

T2减T1等于W1到2

这什么意思呢 就是说

系统从状态1

到状态2的运动过程之中

其动能的改变量

等于作用在质系上的所有力

在这段路程中所作的

代数之和 做功的代数之和

这就是说 有限形式的动能定理

那么 我们把动能定理啊

也可以来解释一些

我们遇到的一些问题

比如说 我们在前面曾经说过

骑自行车的问题

那么我们类似的开汽车也是这样的问题

汽车是怎么开起来的

汽车能走起来 是由于

它的主动能啊

上面有摩擦力是向前的

但是有人会说

那为什么要燃烧汽油呢

燃烧汽油是产生一种内在的一个力 内力

我们现在可以这样说

内力的话呢 它是不能改变

整个系统的动量和动量矩的

但是可以改变它的能量

但是 内力可以改变它的能量

可以使后轮 主动转起来

然后呢 这个转起来之后的话呢

大家考虑 内力的话

可以改变系统局部的

动量和动量矩

所以 正是由于后轮

主动转起来之后的话呢

它相对于地面有一个

转动的趋势之后啊

地面给它产生一个向前的摩擦力

内力和摩擦力的关系啊

就很像是哲学中的

内因和外因的关系

就是说 内因和外因是什么关系呢

就是说外因通过内因起作用

就是说 所以 你的内力

也就是说你人必须要蹬自行车

你的汽车发动机必须要开动起来

使得后轮要转起来

然后呢 后轮转起来之后的话呢

外部的因素 摩擦力起作用了

使它能够走起来

所以的话呢 把内因和外因合在一起

内力和摩擦力是这样起作用的

好接下来介绍机械能守恒定理

好 我们前面介绍的话呢

我们以积分形式来说

就是说状态1和状态2的动能之差

等于外力做的功

那么如果质系是在

势力场中运动

所有势力做的功的话呢

从1状态到2状态做的功的话

等于它的势能

1位置的势能减掉2位置的势能

等于V1减V2

因此这样一来的话呢

我们把这公式代进去之后

就得到一个 机械能守恒定理

就是T1加V1

等于T2加V2

这什么意思呢 就是说

在1状态的时候的动能

加上它的势能 等于

2动态的动能加势能

我们知道动能加势能的话是叫机械能

所以的话 这意思说什么呢

这个在 有势力情况下的话呢

它的机械能是保持不变的

我们注意的话

机械能守恒是能量守恒的一个特例

好 下面我们介绍

第三节 功率方程

那么功率的话呢

是单位时间做的功

对于某些问题的话呢

可能 一方面需要考虑它做功

还要考虑它做功的快慢

就是功率

那么功率的话呢

可以写成是 单位时间内做的功

因此写成P等于

dA除以dt

那么根据我们前面说的话呢

dA的话是什么呢

力点乘它对应的位移

那么 位移的话

除以时间 取极限之后的话

就是说 力乘以速度

那么这个乘是点乘

所以最后出来的是什么呢

功率P等于

F点乘以速度V

那么这就是功率方程

那么如果是转动问题的话呢

那么可能用力偶

或者叫力偶矩更方便

那么就有这样一个结果

就是P等于M

刚体转动的角速度和力矩相乘

那么 这个功率方程的话呢

在解释某些问题的时候

还是很方便的 比如说我们来看

比如说 汽车的行驶

当在平面上的话

正常行驶的时候

汽车可以开的比较快

那么 当它爬坡的时候的话呢

一般有驾驶经验的都知道

要换挡 把它减速

那么 我们可以通过这个公式来看出来

P等于M乘以ω

那么 也就是说发动机转动时候的话

它功率啊 基本上是一定的

因此的话呢

你爬坡时候的话呢

你需要一个更大的摩擦力

你这摩擦力怎么来的话呢

它通过扭矩 就是让轮子

转动出来的扭矩

所以的话 扭矩要大

扭矩大的话呢 转动的速度就要小

所以的话 ω在减小

所以 汽车爬坡的时候啊

需要更大的摩擦力

这时候可以通过减速

获得更大的扭矩来实现

同时的话呢

我以前还设计个游戏

就是手机吊冰箱

那么这个游戏的话呢是通过

十万倍的减速

把力放大十万倍

从而可以让冰箱

慢慢慢慢吊起来

那么 关于这点的话呢

我在后面的扩展部分

会专门介绍

所以的话呢功力方程

可以解释很多现象

大家记住一点 就是说

我们可以把力放大

但是不能把功放大

也不能把功率放大

理论力学课程列表:

绪论

-绪论

--绪论

第一章 点的运动学

-1-1 矢量描述法

--第一章运动的描述

--1-1 矢量描述法

--矢量及其运算

-1-2 直角坐标描述法

--1-2直角坐标描述法

--例题1 椭圆规

--例题2 圆轮滚动

-1-3 自然坐标描述法

--1-3 自然坐标描述法

--例题3 单摆

-1-4 极坐标描述法

--1-4 极坐标描述法

--例题4 演员

--讨论题 多种方法求解

-扩展内容

--a 点的运动学扩展

--b 观察与思考

--c 时间与方向

--d 仰望星空

--e 兔子追击问题

-第一章 点的运动学--作业

第二章 刚体运动学

-2-1 刚体的定义与运动形式

--2-1 刚体的定义与刚体的运动形式

-2-2 刚体的矢量-矩阵描述

--2-2 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-0 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-1 刚体的运动方程

--2-2-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-2刚体的矢量-矩阵描述例题1-2

-2-3 刚体平面运动

--2-3 刚体平面运动

--2-3-1 平面运动的运动方程

--2-3-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-3-3 速度分析 基点法

--2-3-3 速度分析 瞬心法

--2-3-3 速度分析 速度投影定理

--2-3-3速度分析 刚体平面运动的瞬心轨迹

--2-3-4 刚体平面运动的加速度分析

--2-3-3速度分析例题1-4

--2-3-4加速度分析例题1-4

-2-4 刚体定点运动

--2-4-1 刚体定点运动几何分析

--2-4-2 刚体定点运动的解析描述

-扩展内容

--2-扩展-a加速度是否存在投影定理

--2-扩展-b图形放大器

--2-扩展-c连弩射击

--2-扩展-d关于刚体的转动

--2-扩展-e欧拉角探秘

-第二章 刚体运动学--作业

第三章 复合运动

-3-1 点的复合运动

--3-1 点的复合运动

--3-1-1 运动方程

--3-1-2 矢量的绝对导数与相对导数

--3-1-3 速度合成定理

--3-1-4 加速度合成定理

-3-2 刚体复合运动

--3-2 刚体复合运动

-例题

--3-1-1 运动方程例题1 工件轨迹

--3-1-3 速度合成定理例题1-3

--3-1-4 加速度合成定理例题1-4

--3-2-1 角速度合成例题1-3

--3-2-2 刚体定点运动例题1-2

-扩展内容

--钟表的设计

--寻找四叶草

--差动齿轮

--指南车

--逆行风车

-第三章 复合运动--作业

第四章 几何静力学

-4-0 静力学公理序言

--4-0 静力学公理序言

-4-1 主矢量和主矩

--4-1 主矢量和主矩

-4-2 力系的等效与简化

--4-2 力系的等效与简化

-4-3 受力分析与刚体平衡

--4-3 受力分析与刚体平衡

-4-4 平面力系的平衡方程

--4-4平面力系的平衡方程

-4-5 考虑摩擦的平衡问题

--4-5考虑摩擦的平衡问题

-4-6 刚体系的平衡

--4-6-1 组合结构

--4-6-2 桁架

--4-6-3 机构

-例题

--4-1 主矢量和主矩例题1-3

--4-2 力系的等效与简化例题1-3

--4-3 受力分析与刚体平衡例题1-3

--4-4 平面力系的平衡方程例题1-2

--4-5 考虑摩擦的平衡问题例题1-6

--4-6-1 刚体系的平衡例题1-3

--4-6-2 桁架例题1-4

-扩展内容

--4-扩展-a纸桥过车

--气球的平衡

--平衡大师

--4-扩展-d动物爬绳

--4-扩展-e力学与考古

-第四章 几何静力学--作业

第五章 分析静力学

-5-1 约束及其分类

--约束及其分类

-5-2 虚位移

--虚位移

-5-3 虚功原理

--虚功原理

-5-4 广义坐标和广义力

--广义坐标和广义力

-5-5 势力场中的平衡

--势力场中的平衡方程

-例题

--5-3 虚位移原理例题

--5-4 广义坐标和广义力例题

--5-5 势力场中的平衡方程例题

-扩展内容

--关于投影

--不倒翁

--5-扩展-c欹器

--冈布茨

-第五章 分析静力学--作业

第六章 质点动力学

-6-1 质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程例题

-6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2质点在非惯性系中的运动例题1

-6-3 相对地球的运动

--6-3 相对地球的运动

-扩展内容

--宇航员的问题

--6-扩展-b在小行星上打台球

--失重现象及模拟失重

--非线性方程的近似解

--落体问题在惯性系中解释

-第六章 质点动力学--作业

第七章 质点系动力学

-7-1 质点系动量定理

--7-1 质点系动量定理

-7-2 质点系动量矩定理

--7-2-1 质点系的动量矩

--7-2-2 质点系动量矩定量

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程

--7-2-4 刚体平面运动微分方程

-7-3 质点系动能定理

--7-3 质点系的动能定理

-7-4 质系普遍定理的综合应用

--7-4 质系普遍定理的综合应用

-7-5 碰撞

--7-5 碰撞

-例题

--7-1 质点系动量定理1-4

--7-2-1 质点系动量矩例题1

--7-2-2 质点系动量矩定理例题1-2

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程例题1-2

--7-3 质点系动能定理例题1-2

--7-4 质系普遍定理的综合应用例题1-2

--7-5 碰撞例题1-4

-扩展内容

--7-拓展-a跳高

--7-扩展-b跳水

--7-拓展-c手机吊冰箱

--7-扩展-d小鸭下山

--7-扩展-e飞针穿玻璃

--第七章 质点系动力学--作业

第八章 分析动力学

-8-1 达朗贝尔原理

--8-1达朗贝尔原理

-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理

--8-2达朗贝尔-拉格朗日原理

-8-3 第二类拉格朗日方程

--8-3第二类拉格朗日方程

-8-4 拉格朗日方程首次积分

--8-4拉格朗日方程首次积分

-例题

--达朗贝尔原理例题

--8-2达朗贝尔原理-拉格朗日

--8-3第二类拉格朗日方程

--8-4拉格朗日方程首次积分

-扩展内容

--广义动量守恒

--广义能量守恒

--非定常约束

--无轮小车

-第八章 分析动力学--作业

7-3 质点系的动能定理笔记与讨论

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