2-4-2 刚体定点运动的解析描述在线视频

下面我们介绍第四节

刚体的定点运动

在这一部分我们介绍一下

刚体的定点运动怎么描述

首先我们介绍欧拉角

大家注意一下,欧拉角有特定的符号

用ψ、θ、φ表示

其中ψ叫进动角

θ叫章动角

φ是自转角

这是有特定的历史原因的

我们看看它的动画，它是这样演示的

这个（刚体）在运动的时候比较复杂

首先我们要强调一下

欧拉角的转动是有次序的

如果我们把坐标XYZ称为123

那么欧拉角是绕体轴的3-1-3转动

如果我们看看示意图

首先把大写的OXYZ称为固定坐标系

小写的oxyz称为和刚体固结的坐标系

下标i的意思

如果i等于1，表示第一次转动

i等于2，是第二次转动

也就是说，用下标表示它第几次转动

好

如果一开始的时候让结体系和参考系相重合

第一步是绕大写Z轴转动一个角度，ψ角

这个叫进动角

然后绕新的轴，注意是新的x轴

转动一个角度θ角，就是章动角

得到一个新的图案

然后再绕新的z轴

转动一个角度φ，叫自转角

所以大家注意，这个角度的次序是有讲究的

我们需要注意的是

根据欧拉角所确定的这个动坐标系是唯一确定的

同时我们要还强调一下

欧拉角和（刚体）的方位也是一一对应的

我们来看一下，比如说

如果给定了刚体运动的欧拉角ψ、θ、φ

它的坐标系可以确定

刚才我们说它这么转过去了

所以就定下来了，这个没问题

但是，假如反过来

假如这个红色的表示动坐标系

它已经给定之后，我们如何求出它的欧拉角呢

我们看看，它也应该是唯一可以确定的

比如说，θ角很容易定

就是动系的z轴和定系Z轴的夹角，就是θ角

但是如何确定φ和ψ呢？也就是自转和进动角呢？

这个要稍微考虑一下

我们可以这样做

把动系的xy平面和定系的XY平面做一个连线

把它们连起来，然后两个平面有个交线

我们画个连线

这两个（平面的）交线，有特定的名称

称为“节线”，就是ON，把它称为节线

有了这个结线之后，下面就简单了

从大X轴到ON的夹角，叫ψ进动角

从ON这个节线到小x轴的夹角，叫自转角

所以，关键是找出两个平面的交线来

当然如果这样给出之后

可能同学们会提出一些想法来

比如说，我们这样找出来之后

那个ψ角到底是30度，还是30度加360度呢

所以我们还要加一个限定

就是：欧拉角为了满足一一对应的关系

还要给定一个特别的限定

就是：ψ角和φ角都要在0到360度

而θ角，章动角在是0到180度

为什么是0到180度？而别的角是0到360度呢

请大家思考一下

同时从这个图中我们可以看出来

如果θ角等于零度的话

这时候节线该怎么找呢

大家可以思考一下

好了，因为欧拉角比较复杂

所以我们下面给大家看一些动画演示

让大家有一个直观的印象

首先我们看自转角

自转角比较简单，我们来看一下

如果一开始的时候

让动系和定系重合

那么在这个图中，我们可以看出来

自转角就是刚体绕Z轴的一个转动

下面看章动角

章动角大家不太熟悉

所以我们来看看是怎么回事

我们也假设一开始动系和定系重合

在这种情况下

章动角是刚体绕着大X轴转动

注意是大X轴转动

而进动角是什么呢

我们也让坐标系一开始的时候和定系重合

我们看看，如果只有进动

进动角是绕Z轴的转动

大家看，有问题了

这也是绕Z轴的转动

所以看上去，进动角和自转角没有区别了

所以我们要注意，这是在特殊情况下

就是说，一开始坐标系是重合的

所以看不出来（进动角和自转角的区别）

但是如果一开始时有特定角度呢

我们来看一下

为了能看出区别来

一开始让章动角不为零

这时候我们看看进动角和自转角有什么区别

我们看看示意图

特别注意一下自转和进动

在章动角为0和不为0的情况下，它怎么区别

我们看出来

进动是绕着定系的Z轴转动

而自转是绕动系的z轴转动

所以两者是不一样的

一个是绕固定系的Z轴

一个是绕转动系的z轴

在一般情况下，刚体的三个角都在变化

这个时候就很复杂了，我们看看示意图

为了看出它的角度变化

我们可以适当加一些辅助线或者辅助平面

我们看，有了这些辅助平面之后

（个角度的变化）看起来就容易一些了

关于欧拉角，的确比较复杂

所以我们举几个例子

就从我们身边来举例子

比如说我们的头部

因为通过颈部和身体相连接，所以可以转动起来

而且我们注意到，这个转动还比较灵活

你看，可以任意转动

所以从这个意义上来说

我们的头部相对于身体

可以做一个定点运动

可以用欧拉角来描述

假设我们的坐标系这样建立

我们把它建立好之后

我们把左右作为x轴

前后作为y轴，上下作为z轴

在这样的定义下，我们看看

我们头部的运动分别是什么运动呢

好，我们把电影中

常见的一些动作来问问大家

比如说：点头同意

别人问你怎么样啊？你就点头同意

点头同意属于什么角度的变化呢

还有，有的时候你看古装戏的电影

那个书生读书的时候摇头晃脑

这个时候是什么运动啊？

当然，还有一个简单的问题

如果是摇头不同意

这时候又是什么运动

所以，我们给了几个问题

你看看这几个常见的头部运动

分别是欧拉角的哪几种变化呢

大家可以讨论一下

好，这是第一个

那么另外一个，看看我们的手

我们的手

比如说手腕，也可以很灵活地转动起来

你可以自己体会一下

你把手腕按住，可以这样动，没问题

这样动没问题，这样动也没问题

但是如果把前臂按住

它转不起来

它一转的话，前臂必须一起动起来

所以说我们手腕就没有头部灵活

我们的手腕只有两个自由度

头部有三个自由度

它是不能自转的

捏住（前臂）它不能自转

为了要描述这个手腕的运动

如果我们也要用欧拉角来描述它

该怎么描述呢？大家可以思考一下

另外我们的肘关节、肩关节，都是可以动起来的

我们会发现它们动起来涉及的角度是不一样的

比如说，我们的肩关节前后左右动都可以

但是我们的肘关节可能就受一些限制

所以我们身体中的很多关节

有些关节就可以用三个自由度表示

有的关节可能只有一个自由度

有的关节有两个自由度

大家可以学会用我们学的这些知识

去解释一些看到的现象

下面我提一个问题， 很有意思的问题

比如说我们的手，可以这么转动

比如说我的手这么转动

但是一旦转到这里的时候，转90度之后

再转的话就有点困难了

所以有时候看电影中抓敌人，一抓

把他的手扭到后面去了，就把他抓住了

但是，我们还有另外一种运动

看我的手，注意看

我可以这样不停地转，这样不停地转

如果我愿意的话，可以转一百圈、一千圈也没问题

你看得出来，我现在这样的转动

跟刚才抓敌人的时候，手的转动有什么区别吗

看看怎么解释

好，这个问题留给大家思考

谢谢大家