4-6-2 桁架在线视频

好,今天我们介绍

桁架这个章节

那么,桁架的这个“桁”字

有的时候也有人念作hang架

那么，实际上你要是（用拼音）输入

你输入heng的话，可以输出来

所以是桁架

桁架是一种特殊的刚体系统

它在实际工程中有广泛的应用

比如说，我们看下面的示意图

这是常见的工地上的起重机

我们看起重机就是这样的一种结构

就是很多个钢管支起来的，中间是空的

那么用这样对角线，把它支得很高很高

还比如说像火箭发射

它的那个发射塔也是类似这样的结构

再比如说有名的埃菲尔铁塔

埃菲尔铁塔

你看到它也是一个中空结构

旁边有很多支

用很多铁架来把它支起来

有人曾经计算过

就是埃菲尔铁塔本身的这个重量

虽然看起来很大，但是

比它整个体积所占的空气还要轻

出乎很多人意料

也就是说，如果把埃菲尔铁塔整个轮廓

把它算起来，它里面的空气整个重量

超过这个钢铁的重量

所以利用桁架结构

可以使结构的重量大为减轻

那么下面

我们介绍一下桁架结构

我们介绍的是理想桁架的特点

看它有什么特点

理想桁架是由许多直杆

在端点按照一定的形式连接而构成的

几何形状，同时

它在力作用下是不变形的

是不变的，几何形状不变的一个结构

那么在端点

通常我们考虑是用光滑铰链连接

连接点称为节点

这里稍微说一下，就是

实际桁架结构

它是可能用铆钉，这么铆起来

或者是用焊接、或者是把它插入某个结构

也就是说

它这个地方的连接部分

不会是光滑铰链

它实际上是能承受力矩的

但是在整个分析中

我们为了使问题简化

先暂时不考虑这一点

我们把它处理成一个光滑铰链连接

那么以后

当你学完更多的知识之后

你可以把它考虑

如果是铆接，该怎么计算

这样一来

通过简化之后，把实际的问题

简化成理想节点之后

我们可以用圆圈来表示它的光滑的铰节点

好，综合这样一个形式

那么注意，因为它是光滑的铰链

所以对于理想桁架

是不能在节点的地方承受力矩的

这和实际情况是有点差别的

同时

理想桁架它的自重

它本身的自重

相对载荷是可以忽略不计的

当然这是一个

根据实际情况，这样一个忽略处理

同时它的载荷及支座反力

均是作用在节点上面的

以上就是桁架的基本假设

我们把满足这样的（条件）

称为叫理想桁架

在这样的假设下

桁架中的各个杆件都是二力构件

我们反过去说

如果桁架的自重要加以考虑

如果（作用）力不作用在节点上的话

那各个杆就不是二力构件

而我们前面曾经说过（见扩展内容的纸桥过车）

物体受拉的时候效率最高

二力构件效率高

所以

（这是）为什么我们要这样来假设的一个原因

好，那么如果

所有杆件均处于同一平面

并且载荷作用在相同的平面内

这样的结构称为叫平面桁架

比如说，这是工厂中常见的那个房顶

它用那个支架把它支起来

那么上面这些节点

铺在房顶之后啊

如果上面有

比如说有风载、有雪，下雪之后

那个载荷全都作用在这个节点处

这是我们的理想桁架情况

那么，下面我们介绍一下

这个平面桁架它是怎么构成的

我们介绍的是简单桁架

它是按照三角形法则扩展起来的

我们知道

三角形结构是一个稳定结构

所以我们看

这个三角形可以承受载荷，是不变形的

但是四边形

受载荷之后，它会变形

因此在考虑能够支撑

物体的这个结构

要考虑成用三角形的结构

而不能用四边形结构

好了，那么我们这个图

是一个普通的一个桁架

它就是利用三角形扩展建立起来的

那么我们看，它满足什么规律呢

就是，假设这个简单桁架

它杆的数目是m个

它节点数目是n个

那么m和n有什么关系呢？我们来看一下

应该有 m=2n-3 这个关系式

那么这个关系式，有什么含义呢

我们下面来分析一下

就是说，凡是满足m=2n-3

这样关系式的桁架，称为叫简单桁架

首先它是静定的

它是可以利用我们的静力方程

把它解出来的

而不满足这样的关系

它可能是解不出来的

有可能会出现别的问题

出现静不静的问题

下面我们来看几个静定的问题

这都属于简单桁架

都是从三角形扩展起来的

那么像这种情况，这种情况都属于

那么下面我们介绍一下，就是

假设简单桁架杆数是m，节点是n

为什么会有m=2n-3呢

那这个公式它有什么含义呢？我们来看一下

这个问题可以从不同角度来回答

第一种：我们来看，这样回答

就是 m 个杆件

它里面的内力都是未知的

因此有m个未知数

另外

这个桁架本身接成一体之后

要和地面相连接

一端是固支的铰链，一端是滑移铰链

那么固支

如果我们现在考虑平面问题

固支有两个未知数

滑移一个未知数

因此这个铰链本身

支撑的铰链本身有3个约束反力

所以有多少个未知数呢

有m+3个未知数

而有n个节点，每个节点

是平面汇交力系问题

每个节点有两个方程

所以一共是2n个方程

因为是静定的问题

所以它要满足2n=m+3

所以把这式子移项之后

就是我们前面说的m=2n-3

所以，这是第一种回答

这是从静力学角度来说

它正好能够解决未知数

跟它方程的个数是一样多

所以有这样的一个解

当然这种回答

就是说，你已假设它是静定的

所以是这样的回答

所以我们还有另外一种回答

因为我们刚才说到

简单桁架是由三角形法则扩大得到的

我们可以看一下

三角形我们每伸出两个边有一个交点

也就说，每增加一个节点

要增加两个杆

你不管怎么增加，它都是满足这样规则

也就是说，我们可以写成这样一个表达式

就是△m=2△n，就是每次增加一个节点

增加两倍的杆

好了，我们把△换成数学中的

微分符号，就是dm=2dn

那么这个式子把它积分一下

就变成了m=2n+c，c是积分常数

好了，我们下面看看，积分常数该怎么定呢

我们可以把初值代进去

在一开始的时候

是3个节点，3个杆

所以 m0=3，n0=3， 一代进之后

可以算出来c也是等于3

所以，这样算起来之后

发现什么呢？就是说

最后结果是m=2n-3

因此从这个数学角度来说

我们也能得出来

这个简单桁架满足的关系式是m=2n-3

好了，这个就表明

不管你是按照数学方法来解答

或者按力学静力学来解答

都会得到相同的式子

所以这个式子是我们判别

一个桁架是不是理想结构

是不是静定的一个关键的公式

好，下面我们来讨论一下

但是我们也要注意

并不是说所有的平面桁架

都是满足m=2n-3

这是因为有些桁架

比如说像这个例子

它是从两个三角形那么长起来的

它不是从一个长起来的

所以

你可以自己算一下

它的m=10，n=7

所以它是一个桁架

但是它不是一个简单桁架

原因是它从两边同时长起来的

这个问题中

它也是静定的

所以

我们要注意一下，也就是说

只有从一个三角形那么扩展起来

它是满足m=2n-3，其它不一定

但是它也是静定的

好，下面我们介绍

平面桁架中，各个杆的内力的求法

那么有两大类方法

一类是叫节点法

就是分别考虑各个节点的平衡

因为我们知道

每个节点都受一个平面的汇交力系

因此，可列两个平衡方程解两个未知数

那么在这种方法中

等于是你把它全部拆开之后

总是可以求解的

当然我们在做题目的时候

要稍微注意一下

选择节点顺序

就是说，先列哪一个方程

后列哪个方程

对于解题还是有所不同的

考虑它顺序问题

那么这种方法优点是什么呢

它是适合求解全部杆的内力

也就是说，拿来个问题之后

把它全部拆开，把这个给算出来

那么当然，如果这个问题

用手工推理的话会比较麻烦

所以用这种方法

通常可以用编程的方法

你编好程序之后，只要输入相应的节点

和载荷，就是把所有杆的力算出来

和节点法相对应

是叫截面法

截面法

是选取一个适当的截面

大家注意，这个适当

就有一些经验的问题，就是怎么选

选择得好，就可以很快做出来

选取适当的截面之后

然后假想

把那个桁架截开分成两部分

然后我们考虑其中某一部分的平衡

可以求出什么呢

被截开的杆的内力

那么这种方法

首先，我们注意到，因为是平面问题

你截开之后啊，能够求解三个未知数

所以它不适合于截开

超过三个杆。如果你截完之后

发现杆的数目超过三个

理论上是解不出来的

其次，这个方法

适合于什么呢

校核一些或某些特定杆的内力

比如说，如果你特别关心某个杆

用这种方法做

可以直接把这个杆的内力求出来

而不用涉及到其它的杆

所以，节点法跟截面法

两种方法各有所长

那么，从我们的角度来说

我们更多考虑的是

如何采用截面法

因为这样

可以学到一些技巧

节点法

更多的是需要编程来实现

手工算有的时候会比较麻烦

好，具体的例题

我们等一下会介绍

那么下面我们介绍的概念是零杆

零杆是什么意思呢

就是说零杆

是与桁架所承受主动荷载有关的某个杆件

它上面的（内力）为零

那么需要注意的是什么呢

就是同一桁架，在不同的载荷下

零杆可能是不同的

所以这个要特别注意

如果这个杆总是零杆

那干脆不要它了就可以了

所以，它可能在这种情况下是零杆

但是在别的情况下不是

所以，（实际中）这种杆是不能随便去掉的

好，下面是我们的关键

就是零杆

通常是可以直接看出来

是不用列方程，不用计算

直接看出来

那么，下面我们介绍一个方法

是怎么看呢

好，我们有一个规则，就是说

如果某个节点只与两个杆相连

这个节点上没有主动力

并且两个杆不平行

则两个杆都是零杆

比如说一个节点，一个水平的杆，一个斜的杆

那么，如果它没有受到其它主动力作用

你可以想象

我们前面说过的，杆上内力

就是沿着杆的方向，建立力的平衡方程

很快算出来

两个杆都为零

所以

你第一次可以算出来

以后就可以不用算了

就根据这个规则，一下就可以看出来

所以，只要是两杆相接

没有主动力、两杆不平行

两杆就分别是零杆

还有一种情况

就是假设某个（节点）和三杆相连接

然后节点上没有主动力

并且两个杆是平行的

则、 第三个杆为零杆

那么这个很容易判断

比如说以这个题目为例

你建立一个水平方向的力的平衡

那自然可以看见，马上看到它的零杆

所以这样规则可以帮助我们

快速地看出来哪个杆是零杆

如果你的题目中

你已经看出是零杆之后的话

你就做个标记

比如说写个零、或者什么记号

可以帮助你把这个问题简化

那么 我们下面看个例子

看看我们能不能很快找出问题中的零杆

比如说有这样一个结构

这样一个桁架结构

它受到载荷P

然后，我们把各自的杆的标号标出来

1、2、3一直到9

那么你看一下，你能发现这里面

哪几个杆是零杆呢

好，我们等一会，你再看看

好，你有没有发现

第一杆和第二杆是零杆

因为第一杆和第二杆

它们交点

这个交点是和两个杆相连接

然后没有主动力

又不平行，所以1、2杆是零杆

那还有没有别的杆呢

我们来看一下

好，你可以看到

第四根杆也是零杆

因为4、5、9这三个杆的

它三杆交在一起

5和9是在一个方向上

同时没有主动力

所以和它垂直的那个杆就是零杆

好了，还有别的杆吗？我们来看一下

好，看了没有。没有

那么我们可以把它重新划一下

也就是说，把在这个问题中

在这个问题中1、 2、4是零杆

那么我们可以把1、2、4暂时去掉它之后

看看它的等价结果是什么呢？变成这样的结构

那么你看它

杆子少了之后

你列方程的时候、分析的时候

可以更简单一些

那么再看个例子

比如说，有这样一个房顶结构

受力为P的作用

那么，你能找出来

里面哪些杆是零杆吗

好，你自己先看一下

好，根据我们前边知识

我们可以发现CD杆是零杆

好，因为对称性

那GF也是零杆

同时你还要找出来

因为CD杆是零杆之后

那么CE杆也能看出来是零杆

然后GE、GE杆也是零杆

好了，这两个里面两个是零杆之后

你看出来是什么呢？看出那个EF杆也是零杆

所以很有意思

就是这几个零杆

不是一眼能够看出来，而是

先看出两个，然后再看出另外两个

再看出中间一个。好了把这个零杆去掉之后

也就是说在这种载荷下

把零杆去掉之后

等价于什么呢？等价于这样的情况

你看这情况就大为简化了

所以在某些问题中

如果你能发现适当的零杆

并把它专门去掉

重新画一下等价的图

会帮助你把问题简化