达朗贝尔原理例题在线视频

第一 设飞球调速器的转轴O1y1

以匀角速度ω转动

重锤C的质量为大M

A和B的质量为小m

各段的杆的长度为 l

杆重不计

求在这个角度的情况下的张角 α

我们选B球为研究对象

加上惯性力

画出它的设计图

受重力

杆子1和杆子2的力

以及惯性力

因为地球的话是绕着

竖直着转动 所以有个向心加速度

惯性的话反向

那么我们把惯性力写出来

那么下面就差列平衡方程

可以在不同方向列平衡方程

然后呢 列完之后

我们再取C为研究对象

取这个为研究对象

它这里面包括了重力

和杆1

也就是说AC杆合并两个力

因为对称性的话呢

所以这两个力 是一样的

而且这个T1的话呢

跟这个T1的话呢是作用反作用

然后可列出式子来

那么下面把这三个方程联立求解

就可以求出

cosα等于

小质量加大质量

除以小质量乘以l ω方

再乘以重力加速度

那么从这里就可以看出来

角速度和α角的关系

好 我们介绍一下关于

调速器的扩展内容

在人类历史上的话呢有很多发明

那么我认为的话呢 最重要的发明

机械发明方面的话呢首推蒸汽机

它是人类从农业社会

转入工业社会的一个标志

蒸汽机的话呢 是把蒸汽的能量

转换为往复运动的一种机械

它开启了工业革命的时代

也直接导致了小小的英国

成为 日不落帝国

如果你看下地图的话呢你会发现

英国的面积大约相当于

我们现在中国的三十分之一

那么蒸汽机的话呢

看起来很复杂很多部件

但是它核心的结构很简单

就是曲柄滑块机构

就是图示这样的一个机构

就是实物图

那么它包括曲柄 连杆和滑块

那么曲柄的话呢

做一二个圆周运动

导致滑块的话呢

就是做往复的直线运动

那么 关于蒸汽机的发明的话呢

人们一般认为是

瓦特发明的

实际上呢 不是这样的

最早的话呢是英国人

萨维利在1698年

以及纽可门在1705年

他们各自独立发明的

但是那时候的蒸汽机的话呢

第一 耗煤量很大

而且效率很低

最关键的是 不好控制

所以的话呢那时候

他们的这个蒸汽机啊

只能放在矿井用于抽水

瓦特针对蒸汽机的这个毛病

进行了一系列的发明

比如说他发明的

分离式的冷凝器

气缸外置绝热层

用油润滑活塞 行星齿轮等等

其中很重要一个是什么呢

他发明了一个离心式的调速器

使得蒸汽机的效率的话

提高了原来的三倍多

就是说最终发明出了

现代意义上的蒸汽机

那么瓦特发明的最重要的

就是离心式的调速器

它的出现的话呢使得蒸汽机

可以被控制住了

使得蒸汽机在各行各业

可以大量的使用

那么这个图的话呢

就是蒸汽机

能够自动控制的一个示意图

那么假设的话呢

蒸汽过大

使得小球旋转过快

离心力的话就会使小球甩开来

往外甩

就会导致上面套筒的话呢下降

比如说 它往外甩的话呢

就会导致这部分下降

而这个连杆的话呢

就会产生相关的运动

就或者会使得这个阀门的话呢

减小 从而使得蒸汽劲道减小了

就使得小球转速降低了

那么反过来的话呢

如果小球转速太低

它就会控制这个阀门增大

所以的话 就变成一个自动控制系统

使它可以稳定的转动起来

所以这就是调速器的原理

第二 球磨机

这个球磨机的鼓室的话呢

以ω角速度运动

直径的话呢是大B

由于它运动的话呢会导致

里面的小石子的话呢有一个摩擦

就会上升

上升一定的时候就会掉下来

我们假设钢球的话呢

和这个B之间是没有滑动的

求一下最外层

钢球的脱离角度是多少

我们取钢球为研究对象

好 钢球 比如在这

取一个小球

它包括的受的是重力

地面的支撑力

还有摩擦力

那么下面的话 我们加上惯性力

当这个小球运动时候的话呢

也就跟它在一起运动时候的话呢

它是不打滑的

因此的话呢它相对静止

就有一个向心加速度

所以的话呢 它的加速度

加上惯性力之后是这样的

也就是说Sn等于质量乘以加速度

St等于0

那么对小球的话列方程

平衡方程

因为这地方摩擦力的话呢

是未知的 我们不关心它

所以的话我们向N方向投影

得到这样一个式子

带入Sn之后的话呢

我们就解出支撑力等于

重力乘以后面一个一项

那么钢球如果要脱离这个地面的话呢

必须要有N等于0

从而可以解除

cosθ等于直径D

乘以ω方除以2g

那么通过这个式子

我们可以求出来

在一定的角速度情况下

什么时候会脱离

当然我们要注意

因为cos这个角度的话呢

它的值是在正负1之间的

所以的话呢 我们可以看出来

如果ω很大的话 超出了

1的这个值的话呢

它就表示不脱离

所以 在速度上能够减

在物理上表示的是不会脱离

例三

物体杆的话呢长度为 l

质量为m是个均质杆

以匀角速度ω的话呢

绕竖直轴转动

好 如这个图所示

我们要求一下

杆子和铅垂轴的夹角

以及O点的约束杆力

好 我们下面来求解

我们取OA杆的话呢为0对象

加上惯性力系

需要注意的是

这时候每一点的话呢

关于 不一样

所以它就叫三角形的分布力系

如果画示意图的话

大概是这样的三角形分布力系

那么我们取一个位置来看

可以写出这是 惯性力大小

那么 把这个惯性力系的话呢

进行处理一下

因为我们前面曾介绍给

一个平衡力系简化的结果

还可以得到一个力

这个力的话呢

作用在哪呢

作用在这个三角形的中心位置

也就是说它的大小是它的面积

是二分之一的mlω方乘以sinφ

作用点的话呢 作用在它的

三角形的中心位置

也就是说 假如做到这点的话呢

OD的距离是什么呢

是三分之二倍的l

关于这一点我们

在前面曾经专门介绍过

比如分布力系的简化

如果是这样简化的话呢

只有这个力没有力矩了

如果你随便向任一点转化

具有力的大小主矢量和主矩

而向D点简化的话只有主矢量

也就说只有一个作用力了

好了 也就是说现在这个

系统的话呢 受了一个重力

O点支撑力以及惯性力作用下

处于平衡

那么下面的话呢 我们把整个系统

向O点取距

可以得到一个方程

然后从这个方程中

可以求出平衡的位置

可以解出这个解啊

一个是0度 也就是说

φ 等于0的时候

以及180度 整个立起来的时候

或者说 在 情况下

就是说等于一个

arcos 3重力加速度

除以2倍的l ω方的情况下

也就是说 它会有

这样的三种情况的解

那么 O点反力的话呢

那么根据公式的话

问题是已经是渐渐平衡的

所以的话呢可以把它求出来

那么把R的表达式带进去

重力带进去

那么注意下方向

就能把O点的反力求出来了

那么 我们提一个思考的问题

就是 在这个题目中

我们是否能够利用这样一个公式

就是惯性力矩 主矩的话呢

可以等于负的转动惯量乘以角加速度

能不能利用这个公式

比如说我们向质心转化的时候

可以得到这样一个表达式

但是因为是向质心转化

所以的话呢 它的位置

跟前面的分析是不一样的

但是大小是一样的

这样做行不行

大家思考一下

我们说把惯性力简化时候

得到相关的一些公式啊

它有没有什么前提条件

大家回忆一下

是要做平面运动的时候

还有我们前面的结果

好 我们这个题目

我们这个OA杆做什么运动

是不是平面运动呢

好 大家稍微思考一下

例四

已知圆盘的质量半径

以及前面的α角

同时的话圆盘是做纯滚动

我们要求一下圆盘中心

的加速度及摩擦力

那么这个问题的话呢

以前我们曾经做过

下面我们用新的方法做一下

我们分析一下它的运动和受力

受力的包括它受重力

支撑力和摩擦力

同时的话我们还要注意

我们现在用动静法的话呢

它还有个加速度

往下加速运动

所以的话呢加上一个惯性力

反方向

以及一个惯性力矩

那么这个惯性力

惯性力矩的话呢 我们向质心简化

就得到这样一个结果

它的大小等于质量

乘以加速度

惯性力矩的大小等于

转动惯量乘以角加速度

然后我们建立平衡方程

因为现在加完之后的话呢

就是个静力学平衡方程

可以向任意的点取距

向任一个轴投影

利用轴平衡 都可以

那么比如说

我们向x方向

y方向投影

向A点取距

大家注意 这个时候

我们可以向任何取距

不用考虑附加项

因为它里面是静力学平衡问题

我们得到三个方程

那么这三个方程的话呢

我们可以稍微处理一下

把它解出来

那么具体的求解过程

我们就略去了

那么通过比较一下

你可以把我们现在用的方法

跟以前的方法进行比较

看看哪种方法更简单