当前课程知识点：理论力学 > 第六章 质点动力学 > 6-2 质点在非惯性系中的运动 > 6-2质点在非惯性系中的运动例题1
例1 半径为R的圆环
可以以匀角速度ω转动 绕着这个轴转动
质量为m的点 可以在圆环内自由滑动
忽略摩擦力
求这个m的这个小球呢
平衡的相对位置
我们先建立坐标系
xy z的话呢是朝着我们的
好 我们把受力图画一下
它受的是重力P 支撑力N
这个N的话呢 包括两部分
一个是N1 这就是我们看到的N1
还有一个N2的话呢 是连着z的
我们看不见的
因为当我们转动时候的话呢
这个反力对它有一个
垂直我们反面的一个作用力
此外的话呢 我们考虑加上惯性力
小球假如在位置处于平衡状态
它运动的时候是绕着这个竖轴转动的
因此的话呢 有一个向心力
我们加上这样一个反向
所以加上 Se=-mae
具体来说 就是mRω²sinφ
同时的话呢 它有一个科氏加速度
科氏加速度的话呢
第一 因为动系啊 有个角速度
其次的话呢 它在里面可以相对运动
还有相对速度
所以的话是2mRωφcosφ
那么下面的话呢 列写运动微分方程
我们在三个方向进行列写
第一方程的话是切向方向
mRφ然后把所有切向方向上的力分解
然后的话呢在N方向上进行列写
最后一个是在竖直面的方向进行列写
好了 列写完之后的话呢
我们有三个方程 然后呢有N1 N2
以及φ 这样三个未知数
所以的话呢 可以进行求解
那么这里就涉及到
动力学两大基本问题
已知力可以求运动 已知运动可以求力
不过在这个问题的话呢 是个混合问题
它里面既有未知的力 又有未知的运动
所以说的话呢 我们可以这样来处理
我们先根据第一个方程
第一个方程里面的话呢 是个运动
而力的话呢 只有重力是已知的
所以的话呢 可以通过第一个方程
先进行处理
可以把这个φ 也就是说把运动先求出来
然后呢 代入第二个 第三个方程
把我们所未知的N1 N2求出来
所以说 对这种混合问题的话
也可以求解
好 我们讨论一下质点的相对平衡位置
考虑离心力场的势能
因为这个离心力的话呢 类似于重物
它是和位置有关系的
那么当它从某个点M1运动到M2的时候
它这时候做的功是多少呢
我们看一下 它的元功是
Se·ds·cosθ
那么这个做的元功的话呢
应该是离心力 增量的负值
那么利用这个条件 我们可以求出
势能函数表达式 它是和位置有关系的
它等于-1/2mω²ρ²
那么在转动圆环中这个质点的总的势能
就包括两部分 一部分是重力势能
一部分是离心力的势能
那么我们把它写出来是这样一个表达式
那么相对平衡时候的话呢
势能函数应该取极值
也就是说V'（φ）=0
那么 我们把它表达式求导以后它等于0
从而算出来 有四个解
一个是φ=0 π以及±cos-1 g／Rω2
也就四个解 那么在图上表示的话呢
这样的有这四个点
这都是它的平衡位置
那么 实际的问题中 这个点会在哪一点呢
还考虑到它的稳定性
所以我们考虑 稳定性的话呢
就是考虑势能函数对于φ的二阶导数
要大于0才稳定
那么我们看看 这样四个点
它们的二阶导数到底如何呢
我们来判断一下 考虑φ=0
结果发现只有在ω²＜g/R的情况下
才是稳定的 也就是说
只有在转速低的情况下φ=0才稳定
也就是说 这个点在转速低的时候才稳定
那么这个转速低的具体某个值
给定之后的话呢
从0到这个值之间都是这个位置是稳定的
其次的话呢 看看这个非0解
这个解的话呢 我们可以看到
它是g除以Rω2
我们知道的话呢cos这个函数的取值范围是
0到1 或者说0到±1
也就是说的话呢 它的解啊是有一定范围的
必须什么呢 ω2＞g/R才稳定
也就是说 如果当ω满足这个条件的时候的话呢
这个小圆球就会在这个点稳定
同时的话呢 这个具体的角度φ是多少的话
和你转速还有关系
转速越大的话呢
这个角度慢慢慢慢的也在提升
但是呢 我们说了
它的反正弦函数最大值是1/2π
所以的话它最大值也就在慢慢慢慢
靠近x轴这一点
好 那么再看φ=π这个角度
也就是说 在这个位置
我们代进去之后发现的话呢
无论转速多快 这一点都不是稳定的
所以的话呢 这个点只是平衡位置
不是稳定位置
那么把我们这个结论的话呢
画在这个图上面
得到这样一个图
水平是ω 竖直是φ的话呢
就发现
在小角情况下
也就是说在这个点之前的话呢
会有0和π是两个平衡位置
但是呢 只有0是稳定的
那么当角速度大于这个值之后的话呢
会有0 π以及这个位置
这个位置的话呢 是从这个解出来这个值
是平衡位置 但是稳定性的话呢
只有这一点
也就是说我们用红色表示稳定的话呢
它是这样的一个分布
从这里我们看出来出现了分叉
在这个点之前只有这个是稳定的
它这个之后 是这个稳定的
但是从平衡点说的话呢
会出现一个分叉点
-绪论
--绪论
-1-1 矢量描述法
--第一章运动的描述
--矢量及其运算
-1-2 直角坐标描述法
--例题1 椭圆规
--例题2 圆轮滚动
-1-3 自然坐标描述法
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--例题4 演员
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--d 仰望星空
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-2-1 刚体的定义与运动形式
-2-2 刚体的矢量-矩阵描述
-2-3 刚体平面运动
-2-4 刚体定点运动
-扩展内容
-第二章 刚体运动学--作业
-3-1 点的复合运动
-3-2 刚体复合运动
-例题
-扩展内容
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--寻找四叶草
--差动齿轮
--指南车
--逆行风车
-第三章 复合运动--作业
-4-0 静力学公理序言
-4-1 主矢量和主矩
-4-2 力系的等效与简化
-4-3 受力分析与刚体平衡
-4-4 平面力系的平衡方程
-4-5 考虑摩擦的平衡问题
-4-6 刚体系的平衡
--4-6-2 桁架
--4-6-3 机构
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-5-1 约束及其分类
--约束及其分类
-5-2 虚位移
--虚位移
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--虚功原理
-5-4 广义坐标和广义力
--广义坐标和广义力
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--5-扩展-c欹器
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-第五章 分析静力学--作业
-6-1 质点运动微分方程
-6-2 质点在非惯性系中的运动
-6-3 相对地球的运动
-扩展内容
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-第六章 质点动力学--作业
-7-1 质点系动量定理
-7-2 质点系动量矩定理
-7-3 质点系动能定理
-7-4 质系普遍定理的综合应用
-7-5 碰撞
--7-5 碰撞
-例题
-扩展内容
--7-拓展-a跳高
--7-扩展-b跳水
--第七章 质点系动力学--作业
-8-1 达朗贝尔原理
-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理
-8-3 第二类拉格朗日方程
-8-4 拉格朗日方程首次积分
-例题
--达朗贝尔原理例题
-扩展内容
--广义动量守恒
--广义能量守恒
--非定常约束
--无轮小车
-第八章 分析动力学--作业
