当前课程知识点:理论力学 >  第六章 质点动力学 >  6-2 质点在非惯性系中的运动 >  6-2质点在非惯性系中的运动例题1

返回《理论力学》慕课在线视频课程列表

6-2质点在非惯性系中的运动例题1在线视频

6-2质点在非惯性系中的运动例题1

下一节:6-3 相对地球的运动

返回《理论力学》慕课在线视频列表

6-2质点在非惯性系中的运动例题1课程教案、知识点、字幕

例1 半径为R的圆环

可以以匀角速度ω转动 绕着这个轴转动

质量为m的点 可以在圆环内自由滑动

忽略摩擦力

求这个m的这个小球呢

平衡的相对位置

我们先建立坐标系

xy z的话呢是朝着我们的

好 我们把受力图画一下

它受的是重力P 支撑力N

这个N的话呢 包括两部分

一个是N1 这就是我们看到的N1

还有一个N2的话呢 是连着z的

我们看不见的

因为当我们转动时候的话呢

这个反力对它有一个

垂直我们反面的一个作用力

此外的话呢 我们考虑加上惯性力

小球假如在位置处于平衡状态

它运动的时候是绕着这个竖轴转动的

因此的话呢 有一个向心力

我们加上这样一个反向

所以加上 Se=-mae

具体来说 就是mRω²sinφ

同时的话呢 它有一个科氏加速度

科氏加速度的话呢

第一 因为动系啊 有个角速度

其次的话呢 它在里面可以相对运动

还有相对速度

所以的话是2mRωφcosφ

那么下面的话呢 列写运动微分方程

我们在三个方向进行列写

第一方程的话是切向方向

mRφ然后把所有切向方向上的力分解

然后的话呢在N方向上进行列写

最后一个是在竖直面的方向进行列写

好了 列写完之后的话呢

我们有三个方程 然后呢有N1 N2

以及φ 这样三个未知数

所以的话呢 可以进行求解

那么这里就涉及到

动力学两大基本问题

已知力可以求运动 已知运动可以求力

不过在这个问题的话呢 是个混合问题

它里面既有未知的力 又有未知的运动

所以说的话呢 我们可以这样来处理

我们先根据第一个方程

第一个方程里面的话呢 是个运动

而力的话呢 只有重力是已知的

所以的话呢 可以通过第一个方程

先进行处理

可以把这个φ 也就是说把运动先求出来

然后呢 代入第二个 第三个方程

把我们所未知的N1 N2求出来

所以说 对这种混合问题的话

也可以求解

好 我们讨论一下质点的相对平衡位置

考虑离心力场的势能

因为这个离心力的话呢 类似于重物

它是和位置有关系的

那么当它从某个点M1运动到M2的时候

它这时候做的功是多少呢

我们看一下 它的元功是

Se·ds·cosθ

那么这个做的元功的话呢

应该是离心力 增量的负值

那么利用这个条件 我们可以求出

势能函数表达式 它是和位置有关系的

它等于-1/2mω²ρ²

那么在转动圆环中这个质点的总的势能

就包括两部分 一部分是重力势能

一部分是离心力的势能

那么我们把它写出来是这样一个表达式

那么相对平衡时候的话呢

势能函数应该取极值

也就是说V'(φ)=0

那么 我们把它表达式求导以后它等于0

从而算出来 有四个解

一个是φ=0 π以及±cos-1 g/Rω2

也就四个解 那么在图上表示的话呢

这样的有这四个点

这都是它的平衡位置

那么 实际的问题中 这个点会在哪一点呢

还考虑到它的稳定性

所以我们考虑 稳定性的话呢

就是考虑势能函数对于φ的二阶导数

要大于0才稳定

那么我们看看 这样四个点

它们的二阶导数到底如何呢

我们来判断一下 考虑φ=0

结果发现只有在ω²<g/R的情况下

才是稳定的 也就是说

只有在转速低的情况下φ=0才稳定

也就是说 这个点在转速低的时候才稳定

那么这个转速低的具体某个值

给定之后的话呢

从0到这个值之间都是这个位置是稳定的

其次的话呢 看看这个非0解

这个解的话呢 我们可以看到

它是g除以Rω2

我们知道的话呢cos这个函数的取值范围是

0到1 或者说0到±1

也就是说的话呢 它的解啊是有一定范围的

必须什么呢 ω2>g/R才稳定

也就是说 如果当ω满足这个条件的时候的话呢

这个小圆球就会在这个点稳定

同时的话呢 这个具体的角度φ是多少的话

和你转速还有关系

转速越大的话呢

这个角度慢慢慢慢的也在提升

但是呢 我们说了

它的反正弦函数最大值是1/2π

所以的话它最大值也就在慢慢慢慢

靠近x轴这一点

好 那么再看φ=π这个角度

也就是说 在这个位置

我们代进去之后发现的话呢

无论转速多快 这一点都不是稳定的

所以的话呢 这个点只是平衡位置

不是稳定位置

那么把我们这个结论的话呢

画在这个图上面

得到这样一个图

水平是ω 竖直是φ的话呢

就发现

在小角情况下

也就是说在这个点之前的话呢

会有0和π是两个平衡位置

但是呢 只有0是稳定的

那么当角速度大于这个值之后的话呢

会有0 π以及这个位置

这个位置的话呢 是从这个解出来这个值

是平衡位置 但是稳定性的话呢

只有这一点

也就是说我们用红色表示稳定的话呢

它是这样的一个分布

从这里我们看出来出现了分叉

在这个点之前只有这个是稳定的

它这个之后 是这个稳定的

但是从平衡点说的话呢

会出现一个分叉点

理论力学课程列表:

绪论

-绪论

--绪论

第一章 点的运动学

-1-1 矢量描述法

--第一章运动的描述

--1-1 矢量描述法

--矢量及其运算

-1-2 直角坐标描述法

--1-2直角坐标描述法

--例题1 椭圆规

--例题2 圆轮滚动

-1-3 自然坐标描述法

--1-3 自然坐标描述法

--例题3 单摆

-1-4 极坐标描述法

--1-4 极坐标描述法

--例题4 演员

--讨论题 多种方法求解

-扩展内容

--a 点的运动学扩展

--b 观察与思考

--c 时间与方向

--d 仰望星空

--e 兔子追击问题

-第一章 点的运动学--作业

第二章 刚体运动学

-2-1 刚体的定义与运动形式

--2-1 刚体的定义与刚体的运动形式

-2-2 刚体的矢量-矩阵描述

--2-2 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-0 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-1 刚体的运动方程

--2-2-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-2刚体的矢量-矩阵描述例题1-2

-2-3 刚体平面运动

--2-3 刚体平面运动

--2-3-1 平面运动的运动方程

--2-3-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-3-3 速度分析 基点法

--2-3-3 速度分析 瞬心法

--2-3-3 速度分析 速度投影定理

--2-3-3速度分析 刚体平面运动的瞬心轨迹

--2-3-4 刚体平面运动的加速度分析

--2-3-3速度分析例题1-4

--2-3-4加速度分析例题1-4

-2-4 刚体定点运动

--2-4-1 刚体定点运动几何分析

--2-4-2 刚体定点运动的解析描述

-扩展内容

--2-扩展-a加速度是否存在投影定理

--2-扩展-b图形放大器

--2-扩展-c连弩射击

--2-扩展-d关于刚体的转动

--2-扩展-e欧拉角探秘

-第二章 刚体运动学--作业

第三章 复合运动

-3-1 点的复合运动

--3-1 点的复合运动

--3-1-1 运动方程

--3-1-2 矢量的绝对导数与相对导数

--3-1-3 速度合成定理

--3-1-4 加速度合成定理

-3-2 刚体复合运动

--3-2 刚体复合运动

-例题

--3-1-1 运动方程例题1 工件轨迹

--3-1-3 速度合成定理例题1-3

--3-1-4 加速度合成定理例题1-4

--3-2-1 角速度合成例题1-3

--3-2-2 刚体定点运动例题1-2

-扩展内容

--钟表的设计

--寻找四叶草

--差动齿轮

--指南车

--逆行风车

-第三章 复合运动--作业

第四章 几何静力学

-4-0 静力学公理序言

--4-0 静力学公理序言

-4-1 主矢量和主矩

--4-1 主矢量和主矩

-4-2 力系的等效与简化

--4-2 力系的等效与简化

-4-3 受力分析与刚体平衡

--4-3 受力分析与刚体平衡

-4-4 平面力系的平衡方程

--4-4平面力系的平衡方程

-4-5 考虑摩擦的平衡问题

--4-5考虑摩擦的平衡问题

-4-6 刚体系的平衡

--4-6-1 组合结构

--4-6-2 桁架

--4-6-3 机构

-例题

--4-1 主矢量和主矩例题1-3

--4-2 力系的等效与简化例题1-3

--4-3 受力分析与刚体平衡例题1-3

--4-4 平面力系的平衡方程例题1-2

--4-5 考虑摩擦的平衡问题例题1-6

--4-6-1 刚体系的平衡例题1-3

--4-6-2 桁架例题1-4

-扩展内容

--4-扩展-a纸桥过车

--气球的平衡

--平衡大师

--4-扩展-d动物爬绳

--4-扩展-e力学与考古

-第四章 几何静力学--作业

第五章 分析静力学

-5-1 约束及其分类

--约束及其分类

-5-2 虚位移

--虚位移

-5-3 虚功原理

--虚功原理

-5-4 广义坐标和广义力

--广义坐标和广义力

-5-5 势力场中的平衡

--势力场中的平衡方程

-例题

--5-3 虚位移原理例题

--5-4 广义坐标和广义力例题

--5-5 势力场中的平衡方程例题

-扩展内容

--关于投影

--不倒翁

--5-扩展-c欹器

--冈布茨

-第五章 分析静力学--作业

第六章 质点动力学

-6-1 质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程例题

-6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2质点在非惯性系中的运动例题1

-6-3 相对地球的运动

--6-3 相对地球的运动

-扩展内容

--宇航员的问题

--6-扩展-b在小行星上打台球

--失重现象及模拟失重

--非线性方程的近似解

--落体问题在惯性系中解释

-第六章 质点动力学--作业

第七章 质点系动力学

-7-1 质点系动量定理

--7-1 质点系动量定理

-7-2 质点系动量矩定理

--7-2-1 质点系的动量矩

--7-2-2 质点系动量矩定量

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程

--7-2-4 刚体平面运动微分方程

-7-3 质点系动能定理

--7-3 质点系的动能定理

-7-4 质系普遍定理的综合应用

--7-4 质系普遍定理的综合应用

-7-5 碰撞

--7-5 碰撞

-例题

--7-1 质点系动量定理1-4

--7-2-1 质点系动量矩例题1

--7-2-2 质点系动量矩定理例题1-2

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程例题1-2

--7-3 质点系动能定理例题1-2

--7-4 质系普遍定理的综合应用例题1-2

--7-5 碰撞例题1-4

-扩展内容

--7-拓展-a跳高

--7-扩展-b跳水

--7-拓展-c手机吊冰箱

--7-扩展-d小鸭下山

--7-扩展-e飞针穿玻璃

--第七章 质点系动力学--作业

第八章 分析动力学

-8-1 达朗贝尔原理

--8-1达朗贝尔原理

-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理

--8-2达朗贝尔-拉格朗日原理

-8-3 第二类拉格朗日方程

--8-3第二类拉格朗日方程

-8-4 拉格朗日方程首次积分

--8-4拉格朗日方程首次积分

-例题

--达朗贝尔原理例题

--8-2达朗贝尔原理-拉格朗日

--8-3第二类拉格朗日方程

--8-4拉格朗日方程首次积分

-扩展内容

--广义动量守恒

--广义能量守恒

--非定常约束

--无轮小车

-第八章 分析动力学--作业

6-2质点在非惯性系中的运动例题1笔记与讨论

也许你还感兴趣的课程:

© 柠檬大学-慕课导航 课程版权归原始院校所有,
本网站仅通过互联网进行慕课课程索引,不提供在线课程学习和视频,请同学们点击报名到课程提供网站进行学习。