当前课程知识点：理论力学 > 第八章 分析动力学 > 例题 > 8-3第二类拉格朗日方程
例1 用拉格朗日方程求
椭圆摆的运动微分方程
那么这地方假设的是
水平面是光滑的
相关的参数啊 我们理解出来
比如说质量长度
好 我们来看如何分析
我们选x和φ为广义坐标
首先的话呢 我们可以写成系统的势能
那么设零点的话呢我选这个位置
选这样的话呢
那么A物块的话呢
高度不变所以不用考虑
只要考虑B物块的高度变化
所以是V=-mBglcosφ
然后我们写出系统的动能
A物块的话呢平动所以的话呢比较简单
B的话呢
它的运动包括两部分
一部分是牵连运动一部分是相对运动
AB的话呢这个杆我们质量不考虑
所以的话只有两部分组成
那么具体写出来的话呢 A的话只有一项
它的速度等于x一点
但是B的话呢要考虑
牵连和相对运动 所以的话是这样的一个
那么下面我们给出系统的拉格朗日函数
就是L=T-V
那么具体的把T和V代入
就能得到这样一个式子
好 这里面包括了动能和势能
好 下面我们看如何处理
有拉格朗日函数之后的话呢
我们先求下∂L ∂X
那么∂的话就是说看这个
表达式中是不是显含x
我们一看的话呢不显含 所以说∂L ∂X=0
然后我们求一下∂L ∂X一点
那么我看到这一项是显含C
这一项以及这一项
好 所以拼完之后是这样的结果
然后呢我们对∂L ∂X点求倒数
注意求倒数的时候
x一点 φ一点以及φ都要求倒
所以的话会出现好多项
好下面我们再看∂L ∂φ
那么我们一看的话呢
这一项是显含φ的
还有这项显含φ 所以的话会出来两项
再看∂和∂φ一点
好 类似的找一下 其中显含φ一点的
那么∂L ∂φ一点再对时间求倒数
我们可以把它得到一个式子
好 有了这个式子之后
我们代入拉式方程的表达式
这边 k的话是1和2
那么1的话和2的话分别表示
x和φ 好 这样我们得到一个式子
对x来说我们代入之后得到这样一个式子
那么 对φ来说得到这样一个式子
那么这两个式子的话呢
就是这个系统的运动微分方程
好 这个题目做完之后的话呢
我们可以和前面的方法比较一下
我们前面曾经做过这个题目
用的方法是什么呢
我们是用的是动量定理
就是水平方向动量的变化等于什么样的力
竖直方向的动量变化等于竖直的力
但是这么做的时候的话呢
你会发现得到两个方程
然后呢 这里未知数有几个呢
x一点 φ一点和N 所以三个未知数
因此要补充方程
当时的话呢 我们是把这个B点拆开
考虑到A B 的话呢是物体考虑质量的
因此的二力构建所以的话呢
它受力图是如图所示
然后再对某个方向
比如说对这样它方向进行分歧
好 这样得到三个方程进行求解
把它解出来 就得到这样一个结果
例2
用拉格朗日方程列写系统的运动微分方程
假设有个滑块
上面有个圆盘做纯滚动
那么假设地面是光滑的
而这个斜面之间的话呢是粗糙的
好 我们看怎么分析
我们选X和Xr为广义坐标
x的话呢描述了三角形块的运动
xr的话呢描述了这个圆盘的运动
我们可以写出系统的势能
因为只有这个圆柱体在运动
所以它的高度 我们以最高点为顶点
可以写出来势能表达式
然后动能的话呢包括几个部分
一个是三角形这个块的话平动
圆盘的话呢做纯滚动
所以三角形这一块只有一项
而圆盘的话呢 是2分之一的质量
乘以质心的速度平方
加上2分之一的转动惯量
乘以角速度平方
那么这里面稍微注意下
这个圆盘的质心速度的话呢包括两部分
一部分是牵连运动x一点
及相对运动Xr一点
所以的话要考虑这个部分
那么它的相对动能的话呢
是2分之一的转动惯量
对圆盘来说转动惯量还有2分之一
所以就别漏到了
最后合并之后得到这样一个结果
那么拉式方程的话呢 就把动能减势能
得到一个表达式
好 下面的话呢就是乘进去的方法
∂L ∂X ∂L ∂X一点
把它算一下 那么
算完之后代入求导
那么下面的话呢我们算一下∂L
∂Xr以及∂L ∂Xr一点
好 那么求完之后的话
再对它时间求导
最后我们统一代入拉格朗日方程
那么K等与1和2
就能表示X和Xr
那么 对X这一项的话就得到这样一个方程
对Xr的话 这样一个方程
那么这就是系统的运动微分方程
例3
假设我们已经知道
物体m和M 然后它们之间弹簧系数是k
这个三角行的斜角是α
我们来求一下
系统的运动微分方程
那么这个题目和前面
不太一样是 斜面角是光滑的
而水平面是粗糙的
我们选X和Xr为广义坐标
x的话呢表示的三角形的运动
Xr的话呢表示的是物块的相对三角形运动
那么从图中所看
我们选的是弹簧在静止情况下
它的位置作为顶点
那么δx表示弹簧的径身长
好了 我们可以写出系统的动能
三角形的话呢平动只有一项
这个物块的话呢 是
有牵连运动和相对运动
所以是两项组成
那么系统势能也可能把它写出来
它包括两部分一部分是弹性力的性能
一部分是重力势能
有了这个之后的话呢
我们把动能减势能就拉成函数
然后在代入拉格朗日方程
K=1,2 分别表示X和Xr
那么我们可以得到相关的方程
那么具体来说就是这样一个表达式
那么 有个问题可以讨论一下
刚才我们说
在建立方程时候的话呢
Xr是从这开始建立的
也就是说从弹簧在静止平衡时候的
位置开始算的
如果把这点
放在弹簧原厂位置
大家可以思考一下
对于我们这些方程的哪一项有影响
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--第一章运动的描述
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-1-2 直角坐标描述法
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-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理
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-8-4 拉格朗日方程首次积分
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