约束及其分类在线视频

好，大家好

今天我们讲的新的一章

第五章：分析静力学

前面我们已经

介绍了几何静力学

下面介绍分析静力学

研究力学

有两种方法：一种

是以牛顿力学为基础

研究的物理量都是矢量

然后借助几何的工具

我们把它称做为矢量力学，或几何力学

那么几何静力学

就是几何力学中的一部分

我们还记得我们以前说，画受力图的时候

可以首尾相连，直接量出它的大小

那么就是它的那个值是多少

所以可以用几何的方法来解决它

那么下面

我们要以力学变分原理为基础

研究的物理量是标量

那么我们主要借助数学分析的工具

我们称为叫分析力学

而分析静力学呢

就是分析力学中的一部分内容

那么首先我们介绍第一节

约束及其分类

约束在我们这个章节是这样定义的

就是对非自由质点系

它的运动所预加的限制条件

它的表达形式是这样一个形式

比如写的f，function，f

里面它是时间的函数，是位置的函数

也可以是速度函数

那么这个表达式，可以是大于等于零的

那么简记为f，括号里边t、r、u

大于等于零

那么对于约束可以有不同的理解

在牛顿力学里面

它是这样来理解的：就是把约束

看作是一种未知力作用在质点上面

使质点运动受到限制

那么另外

约束都可以用约束力来代替

比如说把约束解除

把约束力暴露出来

同时，按照牛顿力学的观点

就是改变运动的原因，都归结于力

这是牛顿力学对于约束的理解

那么在分析力学中

它是不太一样的

首先将约束看做

是一种强制性的限制

其次，它是先找到约束所允许的可能运动

然后再按照一定的规则

从所有可能的运动中找出真实的运动

那么在分析力学中

认为约束和力都是改变运动的原因

所以，我们比较一下看

约束在不同的力学中

它们理解稍微有点不太一样

那么我们来介绍一下：约束的分类

约束可以从不同的角度

来进行不同的分类

比如说把它分为叫双面约束和单面约束

也可以分为叫微分约束和几何约束

或者是完整约束和非完整约束

以及定常和非定常约束

那么大家知道，

分类它可能有一定的标准

那么如果按照我们这样分类

它的标准，它是按照某个标准分类

它实际上是有点交叉的

打比方说

比如说我们同学来学力学

我们可以把同学们分为男生和女生

这是一种分类

也可以分为是你戴眼镜不戴眼镜

所以按这样分的标准

它们里面有些是相交的

好，那么下面

我们具体来介绍一下这些约束是怎么定义的

以及我们通过一些例题来看看

它到底属于什么约束

首先我们介绍

单面约束和双面约束

如果约束方程是个等式

则称为叫双面约束，或叫等式约束

否则就称为叫

单面约束，或叫不等式约束

好，那么看看例题

比如说这有一个单摆

这个单摆如果它的杆

是个刚性的杆，连接质点A

那么它动起来之后

在xy平面内动起来

我们知道A点运动

是在圆弧上运动

我们可以把A点的运动写出来，就是

xA的平方加上yA的平方减掉l的平方，等于零

就是说A点的运动是圆弧的一段

那么我们注意到这个方程，它是一个等式

所以它是一个双面约束

也就是说（杆子）它限制了A点运动

（A点）它既不能跑到圆弧的里面去

也不能跑到圆弧的外面来

它只能在圆弧上运动

是个等式约束

那么我们把这个刚性的杆

换成柔索，那就不一样了

我们可以看到，如果是换成柔索

好，柔索它可以

往（圆弧）里面走是可以的，但是往（圆弧）外走不行

因此它写出来的表达式是什么呢

就是A点的位置就是

xA的平方加yA的平方减掉l平方

是小于等于零的

也就是说，悬挂点到A点距离

比绳子短可以

但是不能比绳子长

因为这地方是一个不等式，所以意味着什么呢

意味着A点可以到圆弧的里面去

但是不能到圆弧的外面来

所以，这个柔索悬挂之后

就变成一个单面约束了

那么在分析问题的时候

如果是一个单面约束

我们可以这样分析：就是把它分为

分阶段考虑

当它取等号的时候

把它看成是一个双面约束

当它取不等号的时候

这就可以认为是无约束

因为比如说柔索

如果它没绷紧的话

可以把柔索去掉不要

所以可以把它分段考虑

好，这就是关于单面约束和双面约束的定义

下面我们介绍几何约束和微分约束

如果约束方程中不包含速度

则称为几何约束

否则称为叫微分约束

好，我们看这个例子

这是一个曲柄滑块机构

OA一运动

带着B滑块动起来

那么对于这样一个系统

它可以写出什么约束方程呢

首先A点和O点距离

它是一定的，所以

它满足在圆弧上运动，因此是

xA平方加yA平方等于r平方

A点运动是圆弧

其次，B点

也就是B滑块

是在这个水平面上滑动

因此它满足y的坐标

就是yB等于零

好，除了这个之后，还有一个

AB的长度也是一个限制

好，我们把它写出来就是

xB减xA括号平方加上yA的平方等于l平方

所以这个AB长度是限制

那么我们注意到，对于这样的方程

我们看有三个约束方程

它这里面和它速度没有关系

因此对于这样一个问题

它是属于几何约束

那么我们再看另外一个例子

比如说一个圆盘

在水平面上做纯滚动

对于这样的问题

它也是有限制条件，因为A点要不打滑

所以它应该是什么呢

根据A点速度为零，我们可以写出来

利用基点法，以C为基点来进行分析

可以写出来：x一点

就是C点的坐标是x，是x一点

减掉r乘以Φ一点等于零

我们看到A点的速度为零

把它展开之后呢，就看到有这样一个式子

这式子出现了x一点

出现了Φ一点，那么它都是

一个微分的符号

所以这就属于微分约束

那么下面我们再介绍

完整约束和非完整约束

那么如果是一个几何约束

或者是可以积分成

几何约束的微分约束

这样的约束称为叫完整约束

而不可积的微分约束

称为叫非完整约束

好，我们下面看个例子

我们还是以圆盘为例

假设圆盘在地面上做纯滚动

刚才我们已经得出来了

根据A点速度为零

可以有个式子就是

x一点减r乘以Φ一点等于零

那么，注意这个式子

是可以把它积分积出来的

那么积完之后变成

x减掉r乘以Φ等于零

它的意思是：它走过的长度

OA的这个长度等于圆的弧长

好，纯滚动这个结果

好，这就是说它可以积出来

因此这个问题

它是属于完整约束

那有没有非完整约束呢

那我们看另外一个例子

比如说这是一个导弹

它跟踪飞机，它打目标

它以飞机为目标

任意时刻，它的飞行速度

总是指向飞机的质心

好了，对于这样一个问题

我们注意，它虽然不存在像我们说的

这个地面、这个黑板这样的一个硬性约束

但是它总是指向飞机，这本身就是个约束

好了，我们把这些约束都写出来

速度方向总是要指向

飞机的质心方向

那么怎么写呢

好，我们看看可以这样写

就是：速度方向可以写成什么

yM一点除以xM一点

这就是tag的速度的那个角度

然后还等于什么呢

等于是导弹和飞机质心连线

好，应该等于yT减掉yM

除以xT减掉xM

好了，那么大家注意这个方程

是不是可以积出来呢

通常是积不出来的

除非你加了很多别的限制

比如说飞机怎么运动

加很多限制之后才可能积出来

在一般情况下，这个方程是积不出来的

所以大家注意，所谓说不可积

不是说你的数学学的好不好

能不能积出来

而是说它就是本质上是不能积出来的

所以像这个问题，就是不可积的

因此它属于非完整约束

那么下面还有一种叫

定常约束和非定常约束

如果约束方程中不显含时间t

则称为叫定常约束

否则就称为叫非定常约束

我们看看例子

比如说，这是我们的一个单摆

它动起来之后

A点运动要满足

xA平方加yA平方减l平方等于零

也就是说A点是在圆弧上运动

好，那么这里面是不显含时间的

大家注意是不显含时间，因为x

和y都在变化，但是它不显含时间

但是我们看另外一个例子

那么比如还是这个单摆

但是它摆的时候，我们让它

摆的长度，我们拉着它让动起来

也就是说长度随时间是一个变化的

在这样的情况下

我们可以把它写出来，是什么呢

它是x的平方加yA的平方减掉l平方，等于零

但是你现在注意，这个l是

随着时间来变化的

因此对于这个问题

就是属于非定常约束

好了，我们知道了很多约束

那么这些约束呢为什么要这样定义

我们在后面都会用到它们

所以我们暂时不着急

我们先看几个简单例子

比如这是一个例子

一个质点，它被限制在

在水平面上做运动

对这样一个问题，我们看看

它的约束方程该怎么写呢

假设一个平面

是在xy平面里面

那么，如果是这样的问题

它约束方程很简单，就是什么呢

z等于一个常数

就是说在z方向

高度是不变化的

如果在这个问题中，如果z等于零

如果平面

z等于零，那它约束方程就是z等于零

我们看到这个题目很简单，就是说

它的约束方程就是z等于一个常数

在一个水平面上运动

那么这是属于什么约束呢

好，我们看，根据我们前面的定义

这属于定常、双面、几何约束

首先定常（约束）是因为它不显示时间

双面（约束是因为）它取等号

几何（约束是因为）它里面是不含速度的

所以它是一个定常、双面、几何约束

所以从这个例子我们看出来什么呢

就是同样某个约束

它是可以分为不同的

按照不同的分类

可以属于定常、双面、几何、完整等等

这样的一个分类

好，下面看第二个例子

那么假设一个质点

限制在球上面运动，比如说

你想像一个蚂蚁在这球上面

然后你在吹这个气球

气球的半径还慢慢地增加

好，对于这样的问题

我们看看约束有什么特点呢

我们很容易写出来

因为它在球面上，所以满足什么呢

x平方加y平方加z平方等于半径平方

半径如果我们告诉是

r等于f的一个随时间变化

就等于f的平方

那么它是属于什么样的一个约束呢

它是属于非定常、双面、几何约束

非定常是因为它半径随时间在变化

是时间的一个函数

双面是因为它取等号

几何约束是因为它

和速度没关系

所以我们看出来

从这个例子中看出什么呢

就是同样一个约束，它按照分类

分为不同的约束

那么这个例子

可以在某种情况下，是我们的

宇宙爆炸的一个模型

可能宇宙就是这样慢慢扩展的

好，我们再看一个例子

假设两个质点

用个绳子绑上了，然后你随手

把它扔出去

对于这样一个问题

那么它的约束该怎么写呢

好，我们假设这个绳子

长度是为l

然后它是不可伸长的

但是可以被弯曲

好，弯曲之后在空中运动

这时候应该什么关系呢

应该是r2减r1括号平方，小于等于l

这个矢量平方，相当于它取模

那么这是什么意思呢

就是：这两个质点之间的距离

是要比这个绳子要小

因为绳子不可伸长

但是（距离）可以用近

但是不能超过这个距离

因此它是一个什么呢？它是一个

单面、定常、几何约束

单面是因为它的（方程）

是取的是不等号，所以是单面约束

定常是因为它是不显含时间

几何约束是因为和速度没关系

所以，这个例子就是单面的、定常、几何约束

好，关于约束我们就介绍到这里