当前课程知识点:理论力学 > 第一章 点的运动学 > 1-4 极坐标描述法 > 例题4 演员
例题1
三名舞蹈演员在舞台上
假设这个舞台是个平面,组成一个正三角形
初始时刻,她们位于A0、B0、C0三个位置
距离都是S0
音乐一开始
每位演员都朝她的右侧演员
以常速度ν缓慢地前进
如果音乐时间足够长
问三个演员有没有可能相遇
如果相遇,每个演员共转了多少圈呢
演员们走的轨迹是什么曲线呢
设三位演员在某一瞬时处于ABC的位置
由于对称性
三角形ABC还是正三角形
我们取极坐标如图
中心点O为极坐标原点
把O和A0作为极轴
好,下面我们看看
以演员A为例
她的运动方程该怎么写呢
我们知道A点的速度是朝着B点的
我们把这个速度沿着径向和横向分解一下,就得到
ρφ一点等于νsin30°
ρ一点等于负的vcos30°
那么我们解释一下
为什么这里要有负号呢
是因为我们把速度沿着径向分解时候
是朝向O点的,所以有个负号
两式相除,得到ρ一点等于负的根号3乘ρ乘φ一点
那么把这式子进行处理一下,可以求出
ρ等于ρ0乘e的负根号3倍的φ
也就是说它是个指数方程
那么运动方程我们进来看一下
我们已经知道ρρ0乘e的负根号3倍的φ
这样一个表达式
那么这个式子实际上是一个对数螺旋方程
即每位演员的运动轨迹是对数螺线
那么这是用Matlab计算后画出的曲线
大家可以看一下
好,这是它的运动的形式
那么下面我们来分析
假设AB这个距离为s
那么就有这样一个表达式
s一点等于-ν-νcos60°
这什么意思呢
第一个(-ν)表示的是A点朝B点走去
它的贡献是整个的一个速度
同时,B点朝C点走去
它在AB方向上也有贡献,是-νcos60°
所以这个公式是这个意思
那么这式子稍微处理一下之后
就可以算出来s0-s=3/2νt
因此,她们是可以相遇的
让s=0,可以求出时间t来
另外一个方面
假设她们相遇时候
转过的角度是φ,下标为end的话
那么就有这样的表达式
根据我们前面讲的公式ρ等于ρ0乘e的负根号3倍的φ
那么我们得到ρ=0的时候
左边等于0,右边用φend带进去
φend的话呢要趋于无穷大,左边才会等于0
也就是说,她们相遇的时候
每个演员转的圈数是无穷的
那么这个结果可信吗
我们下面讨论一下
我们在前面讲过
一个物理问题,你把它简化之后变成一个力学模型
如果结果不合理
可能是简化太多了
也就是,说你把我们人简化成一个质点
那么这个合不合适呢
大家思考一下
-绪论
--绪论
-1-1 矢量描述法
--第一章运动的描述
--矢量及其运算
-1-2 直角坐标描述法
--例题1 椭圆规
--例题2 圆轮滚动
-1-3 自然坐标描述法
--例题3 单摆
-1-4 极坐标描述法
--例题4 演员
-扩展内容
--b 观察与思考
--c 时间与方向
--d 仰望星空
--e 兔子追击问题
-第一章 点的运动学--作业
-2-1 刚体的定义与运动形式
-2-2 刚体的矢量-矩阵描述
-2-3 刚体平面运动
-2-4 刚体定点运动
-扩展内容
-第二章 刚体运动学--作业
-3-1 点的复合运动
-3-2 刚体复合运动
-例题
-扩展内容
--钟表的设计
--寻找四叶草
--差动齿轮
--指南车
--逆行风车
-第三章 复合运动--作业
-4-0 静力学公理序言
-4-1 主矢量和主矩
-4-2 力系的等效与简化
-4-3 受力分析与刚体平衡
-4-4 平面力系的平衡方程
-4-5 考虑摩擦的平衡问题
-4-6 刚体系的平衡
--4-6-2 桁架
--4-6-3 机构
-例题
-扩展内容
--气球的平衡
--平衡大师
-第四章 几何静力学--作业
-5-1 约束及其分类
--约束及其分类
-5-2 虚位移
--虚位移
-5-3 虚功原理
--虚功原理
-5-4 广义坐标和广义力
--广义坐标和广义力
-5-5 势力场中的平衡
-例题
-扩展内容
--关于投影
--不倒翁
--5-扩展-c欹器
--冈布茨
-第五章 分析静力学--作业
-6-1 质点运动微分方程
-6-2 质点在非惯性系中的运动
-6-3 相对地球的运动
-扩展内容
--宇航员的问题
-第六章 质点动力学--作业
-7-1 质点系动量定理
-7-2 质点系动量矩定理
-7-3 质点系动能定理
-7-4 质系普遍定理的综合应用
-7-5 碰撞
--7-5 碰撞
-例题
-扩展内容
--7-拓展-a跳高
--7-扩展-b跳水
--第七章 质点系动力学--作业
-8-1 达朗贝尔原理
-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理
-8-3 第二类拉格朗日方程
-8-4 拉格朗日方程首次积分
-例题
--达朗贝尔原理例题
-扩展内容
--广义动量守恒
--广义能量守恒
--非定常约束
--无轮小车
-第八章 分析动力学--作业