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2-4-1 刚体定点运动几何分析在线视频

2-4-1 刚体定点运动几何分析

下一节:2-4-2 刚体定点运动的解析描述

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2-4-1 刚体定点运动几何分析课程教案、知识点、字幕

研究刚体绕定点运动的意义是

现代科技需求

例如雷达天线的控制

人造卫星的轨道姿态控制

关节机械臂的动力学问题

以及空间机械设计

刚体一般运动公式我们小结如下

包括运动方程、角速度、角加速度

刚体上任意一点P的速度和P的加速度

我们列在这里,这是一般的运动情况

那么对于定点运动

我们看看如何进行描述呢

我们来介绍第一节,(刚体定点运动的)几何描述

我们取定点O为基点

这时候O点的速度为0、加速度为0

那么刚体上任意一点的速度和加速度

分别为:P点的速度等于ω×r

P点加速度等于角加速度ε×r

加上ω×(ω×r)

在定点运动中

刚体角速度矢量ω的方向

是随时间变化的

不存在一根固定不动的转轴

下面我们看看刚体的角速度

求解刚体定点运动问题

重点是如何求刚体的角速度

刚体的角速度

本质上要通过坐标转换矩阵求出来

利用(矩阵相乘)这样一个式子求出角速度

所以比较复杂

但是对于某些特殊情况

我们可以直接找出刚体的瞬时转动轴

进而求得刚体的角速度

比如说,如果一个刚体在做定点运动

我们找出红色的这根线

是它的瞬时转动轴

这时候它的角速度就比较好求了

关于瞬时转动轴

我们来看一下

P点速度等于ω×r

我们看出来,如果ω和r平行

它们叉乘就等于0

因此,我们可以看出来

过定点O,与角速度矢量平行的线上

所有点的瞬时速度为0

那么这条线,称之为“瞬时转动轴”

定轴转动是定点运动的一个特例

那么我们看这个例题

假设刚体以O为定点运动

如果我们除了O点之外

还找到另外一个点,比如说A点

它的速度也是0

那么在这一瞬时

AO这个直线就是它的瞬时转动轴

关于瞬时转动轴

我们有这样的结论

就是:刚体的定点运动在每一瞬时

都存在一根过定点的瞬时转动轴

刚体的瞬时运动为绕瞬时轴

以瞬时角速度ω做的一个瞬时转动

刚体的连续运动

则是绕一系列的瞬时轴

以不同的瞬时角速度

做的一个连续的瞬时转动

下面我们看看刚体的角加速度

求解刚体定点运动问题的难点

就是如何求刚体的角加速度

在一般情况下,刚体的角加速度很复杂

我们这里不做基本要求

但是,如果按照矢量端图的几何解释

角加速度就是角速度端图的速度

因此利用这一解释

在一些特殊情况下

可以比较方便地求出角加速度

好,具体我们看一下

我们以圆盘做定轴转动为例

首先,假设它的半径是r

绕着它的轴以ω转动

这时候,这个速度是什么呢

速度就等于:r一点等于ω×r

这是圆盘做定轴转动时的

一个基本的结论

好了,我们以此为基础作一个类比

我们这样看

就是这个圆盘和角速度不变

但是把半径r

换成一个大写的角速度Ω

也就是说,假设刚体以Ω做一个转动

同时Ω又绕着竖直轴

做ω这样一个运动

这时候,Ω所对应的端点

它的速度是什么呢?是角加速度

因为根据速度端图的解释是这样的

同时我们两个式子一对比

就能得出来:角加速度就等于

Ω的导数,在这里它又等于

ω×Ω

记住:ω是竖直轴

Ω把它看成是一个矢量就可以了

因此利用这样一个对比

我们就求出了

刚体在某些特殊情况下

它的角加速度该怎么分析

但是需要注意的是

在这个类比中,已经包含了一些限制条件

比如说:圆盘的半径是不变的

那么我们在类比的时候

把半径看成是Ω

这就意味着角速度Ω(的大小)也是不变

如果角速度Ω(的大小)在变化

这时候又该如何处理呢

这个问题请大家思考一下

我们在后面的章节会专门介绍这个问题

理论力学课程列表:

绪论

-绪论

--绪论

第一章 点的运动学

-1-1 矢量描述法

--第一章运动的描述

--1-1 矢量描述法

--矢量及其运算

-1-2 直角坐标描述法

--1-2直角坐标描述法

--例题1 椭圆规

--例题2 圆轮滚动

-1-3 自然坐标描述法

--1-3 自然坐标描述法

--例题3 单摆

-1-4 极坐标描述法

--1-4 极坐标描述法

--例题4 演员

--讨论题 多种方法求解

-扩展内容

--a 点的运动学扩展

--b 观察与思考

--c 时间与方向

--d 仰望星空

--e 兔子追击问题

-第一章 点的运动学--作业

第二章 刚体运动学

-2-1 刚体的定义与运动形式

--2-1 刚体的定义与刚体的运动形式

-2-2 刚体的矢量-矩阵描述

--2-2 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-0 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-1 刚体的运动方程

--2-2-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-2刚体的矢量-矩阵描述例题1-2

-2-3 刚体平面运动

--2-3 刚体平面运动

--2-3-1 平面运动的运动方程

--2-3-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-3-3 速度分析 基点法

--2-3-3 速度分析 瞬心法

--2-3-3 速度分析 速度投影定理

--2-3-3速度分析 刚体平面运动的瞬心轨迹

--2-3-4 刚体平面运动的加速度分析

--2-3-3速度分析例题1-4

--2-3-4加速度分析例题1-4

-2-4 刚体定点运动

--2-4-1 刚体定点运动几何分析

--2-4-2 刚体定点运动的解析描述

-扩展内容

--2-扩展-a加速度是否存在投影定理

--2-扩展-b图形放大器

--2-扩展-c连弩射击

--2-扩展-d关于刚体的转动

--2-扩展-e欧拉角探秘

-第二章 刚体运动学--作业

第三章 复合运动

-3-1 点的复合运动

--3-1 点的复合运动

--3-1-1 运动方程

--3-1-2 矢量的绝对导数与相对导数

--3-1-3 速度合成定理

--3-1-4 加速度合成定理

-3-2 刚体复合运动

--3-2 刚体复合运动

-例题

--3-1-1 运动方程例题1 工件轨迹

--3-1-3 速度合成定理例题1-3

--3-1-4 加速度合成定理例题1-4

--3-2-1 角速度合成例题1-3

--3-2-2 刚体定点运动例题1-2

-扩展内容

--钟表的设计

--寻找四叶草

--差动齿轮

--指南车

--逆行风车

-第三章 复合运动--作业

第四章 几何静力学

-4-0 静力学公理序言

--4-0 静力学公理序言

-4-1 主矢量和主矩

--4-1 主矢量和主矩

-4-2 力系的等效与简化

--4-2 力系的等效与简化

-4-3 受力分析与刚体平衡

--4-3 受力分析与刚体平衡

-4-4 平面力系的平衡方程

--4-4平面力系的平衡方程

-4-5 考虑摩擦的平衡问题

--4-5考虑摩擦的平衡问题

-4-6 刚体系的平衡

--4-6-1 组合结构

--4-6-2 桁架

--4-6-3 机构

-例题

--4-1 主矢量和主矩例题1-3

--4-2 力系的等效与简化例题1-3

--4-3 受力分析与刚体平衡例题1-3

--4-4 平面力系的平衡方程例题1-2

--4-5 考虑摩擦的平衡问题例题1-6

--4-6-1 刚体系的平衡例题1-3

--4-6-2 桁架例题1-4

-扩展内容

--4-扩展-a纸桥过车

--气球的平衡

--平衡大师

--4-扩展-d动物爬绳

--4-扩展-e力学与考古

-第四章 几何静力学--作业

第五章 分析静力学

-5-1 约束及其分类

--约束及其分类

-5-2 虚位移

--虚位移

-5-3 虚功原理

--虚功原理

-5-4 广义坐标和广义力

--广义坐标和广义力

-5-5 势力场中的平衡

--势力场中的平衡方程

-例题

--5-3 虚位移原理例题

--5-4 广义坐标和广义力例题

--5-5 势力场中的平衡方程例题

-扩展内容

--关于投影

--不倒翁

--5-扩展-c欹器

--冈布茨

-第五章 分析静力学--作业

第六章 质点动力学

-6-1 质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程例题

-6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2质点在非惯性系中的运动例题1

-6-3 相对地球的运动

--6-3 相对地球的运动

-扩展内容

--宇航员的问题

--6-扩展-b在小行星上打台球

--失重现象及模拟失重

--非线性方程的近似解

--落体问题在惯性系中解释

-第六章 质点动力学--作业

第七章 质点系动力学

-7-1 质点系动量定理

--7-1 质点系动量定理

-7-2 质点系动量矩定理

--7-2-1 质点系的动量矩

--7-2-2 质点系动量矩定量

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程

--7-2-4 刚体平面运动微分方程

-7-3 质点系动能定理

--7-3 质点系的动能定理

-7-4 质系普遍定理的综合应用

--7-4 质系普遍定理的综合应用

-7-5 碰撞

--7-5 碰撞

-例题

--7-1 质点系动量定理1-4

--7-2-1 质点系动量矩例题1

--7-2-2 质点系动量矩定理例题1-2

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程例题1-2

--7-3 质点系动能定理例题1-2

--7-4 质系普遍定理的综合应用例题1-2

--7-5 碰撞例题1-4

-扩展内容

--7-拓展-a跳高

--7-扩展-b跳水

--7-拓展-c手机吊冰箱

--7-扩展-d小鸭下山

--7-扩展-e飞针穿玻璃

--第七章 质点系动力学--作业

第八章 分析动力学

-8-1 达朗贝尔原理

--8-1达朗贝尔原理

-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理

--8-2达朗贝尔-拉格朗日原理

-8-3 第二类拉格朗日方程

--8-3第二类拉格朗日方程

-8-4 拉格朗日方程首次积分

--8-4拉格朗日方程首次积分

-例题

--达朗贝尔原理例题

--8-2达朗贝尔原理-拉格朗日

--8-3第二类拉格朗日方程

--8-4拉格朗日方程首次积分

-扩展内容

--广义动量守恒

--广义能量守恒

--非定常约束

--无轮小车

-第八章 分析动力学--作业

2-4-1 刚体定点运动几何分析笔记与讨论

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