当前课程知识点:理论力学 > 第二章 刚体运动学 > 2-4 刚体定点运动 > 2-4-1 刚体定点运动几何分析
研究刚体绕定点运动的意义是
现代科技需求
例如雷达天线的控制
人造卫星的轨道姿态控制
关节机械臂的动力学问题
以及空间机械设计
刚体一般运动公式我们小结如下
包括运动方程、角速度、角加速度
刚体上任意一点P的速度和P的加速度
我们列在这里,这是一般的运动情况
那么对于定点运动
我们看看如何进行描述呢
我们来介绍第一节,(刚体定点运动的)几何描述
我们取定点O为基点
这时候O点的速度为0、加速度为0
那么刚体上任意一点的速度和加速度
分别为:P点的速度等于ω×r
P点加速度等于角加速度ε×r
加上ω×(ω×r)
在定点运动中
刚体角速度矢量ω的方向
是随时间变化的
不存在一根固定不动的转轴
下面我们看看刚体的角速度
求解刚体定点运动问题
重点是如何求刚体的角速度
刚体的角速度
本质上要通过坐标转换矩阵求出来
利用(矩阵相乘)这样一个式子求出角速度
所以比较复杂
但是对于某些特殊情况
我们可以直接找出刚体的瞬时转动轴
进而求得刚体的角速度
比如说,如果一个刚体在做定点运动
我们找出红色的这根线
是它的瞬时转动轴
这时候它的角速度就比较好求了
关于瞬时转动轴
我们来看一下
P点速度等于ω×r
我们看出来,如果ω和r平行
它们叉乘就等于0
因此,我们可以看出来
过定点O,与角速度矢量平行的线上
所有点的瞬时速度为0
那么这条线,称之为“瞬时转动轴”
定轴转动是定点运动的一个特例
那么我们看这个例题
假设刚体以O为定点运动
如果我们除了O点之外
还找到另外一个点,比如说A点
它的速度也是0
那么在这一瞬时
AO这个直线就是它的瞬时转动轴
关于瞬时转动轴
我们有这样的结论
就是:刚体的定点运动在每一瞬时
都存在一根过定点的瞬时转动轴
刚体的瞬时运动为绕瞬时轴
以瞬时角速度ω做的一个瞬时转动
刚体的连续运动
则是绕一系列的瞬时轴
以不同的瞬时角速度
做的一个连续的瞬时转动
下面我们看看刚体的角加速度
求解刚体定点运动问题的难点
就是如何求刚体的角加速度
在一般情况下,刚体的角加速度很复杂
我们这里不做基本要求
但是,如果按照矢量端图的几何解释
角加速度就是角速度端图的速度
因此利用这一解释
在一些特殊情况下
可以比较方便地求出角加速度
好,具体我们看一下
我们以圆盘做定轴转动为例
首先,假设它的半径是r
绕着它的轴以ω转动
这时候,这个速度是什么呢
速度就等于:r一点等于ω×r
这是圆盘做定轴转动时的
一个基本的结论
好了,我们以此为基础作一个类比
我们这样看
就是这个圆盘和角速度不变
但是把半径r
换成一个大写的角速度Ω
也就是说,假设刚体以Ω做一个转动
同时Ω又绕着竖直轴
做ω这样一个运动
这时候,Ω所对应的端点
它的速度是什么呢?是角加速度
因为根据速度端图的解释是这样的
同时我们两个式子一对比
就能得出来:角加速度就等于
Ω的导数,在这里它又等于
ω×Ω
记住:ω是竖直轴
Ω把它看成是一个矢量就可以了
因此利用这样一个对比
我们就求出了
刚体在某些特殊情况下
它的角加速度该怎么分析
但是需要注意的是
在这个类比中,已经包含了一些限制条件
比如说:圆盘的半径是不变的
那么我们在类比的时候
把半径看成是Ω
这就意味着角速度Ω(的大小)也是不变
如果角速度Ω(的大小)在变化
这时候又该如何处理呢
这个问题请大家思考一下
我们在后面的章节会专门介绍这个问题
-绪论
--绪论
-1-1 矢量描述法
--第一章运动的描述
--矢量及其运算
-1-2 直角坐标描述法
--例题1 椭圆规
--例题2 圆轮滚动
-1-3 自然坐标描述法
--例题3 单摆
-1-4 极坐标描述法
--例题4 演员
-扩展内容
--b 观察与思考
--c 时间与方向
--d 仰望星空
--e 兔子追击问题
-第一章 点的运动学--作业
-2-1 刚体的定义与运动形式
-2-2 刚体的矢量-矩阵描述
-2-3 刚体平面运动
-2-4 刚体定点运动
-扩展内容
-第二章 刚体运动学--作业
-3-1 点的复合运动
-3-2 刚体复合运动
-例题
-扩展内容
--钟表的设计
--寻找四叶草
--差动齿轮
--指南车
--逆行风车
-第三章 复合运动--作业
-4-0 静力学公理序言
-4-1 主矢量和主矩
-4-2 力系的等效与简化
-4-3 受力分析与刚体平衡
-4-4 平面力系的平衡方程
-4-5 考虑摩擦的平衡问题
-4-6 刚体系的平衡
--4-6-2 桁架
--4-6-3 机构
-例题
-扩展内容
--气球的平衡
--平衡大师
-第四章 几何静力学--作业
-5-1 约束及其分类
--约束及其分类
-5-2 虚位移
--虚位移
-5-3 虚功原理
--虚功原理
-5-4 广义坐标和广义力
--广义坐标和广义力
-5-5 势力场中的平衡
-例题
-扩展内容
--关于投影
--不倒翁
--5-扩展-c欹器
--冈布茨
-第五章 分析静力学--作业
-6-1 质点运动微分方程
-6-2 质点在非惯性系中的运动
-6-3 相对地球的运动
-扩展内容
--宇航员的问题
-第六章 质点动力学--作业
-7-1 质点系动量定理
-7-2 质点系动量矩定理
-7-3 质点系动能定理
-7-4 质系普遍定理的综合应用
-7-5 碰撞
--7-5 碰撞
-例题
-扩展内容
--7-拓展-a跳高
--7-扩展-b跳水
--第七章 质点系动力学--作业
-8-1 达朗贝尔原理
-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理
-8-3 第二类拉格朗日方程
-8-4 拉格朗日方程首次积分
-例题
--达朗贝尔原理例题
-扩展内容
--广义动量守恒
--广义能量守恒
--非定常约束
--无轮小车
-第八章 分析动力学--作业