寻找四叶草在线视频

我们已经学过一些运动学的分析

那么利用这些学过的知识

我们可以做很多很多很有趣的问题

那么今天

我给大家讲一个很有趣味的讲座

叫“幸运之草”

大家可能听说过一些和这个有关的故事

好，我们来介绍一下

首先

我来考考大家一个数学题目

看看你们能不能找规律

这串数是很有名的一串数

1 1 2 3 5 8 等等这一串数

在北京的小孩

上到五年级的时候

他学了很多奥数，一眼就能看出什么规律

相信你也能找出来

那么这串数

它叫“菲波那契数列”，它有个特点

从第三个数开始

每个数除以它后面的数

有个值，我们来看一下

比如说从第三个开始

2除以3（等于）0.666

3除以5（等于）0.6

等等，我们可以发现

它除以的这个值

越来越接近于某一个特定的值

所以我们发现

它里面隐藏了一串数在里面

就是什么呢

它把“黄金分割值”藏在里面了

我们知道黄金分割值就是0.618

所以我们发现这串数啊

本身它都是整数，但是它们两个相除的话

渐渐地趋于一个黄金分割值了

那么，在植物生长中

可能你们没有意识到

它也存在着黄金分割值

比如说，植物的叶子

种子在生长的时候怎么排布

好，我们看看：在自然界中

常见的一些花朵，来看看

比如说三叶草

三叶草它有三片叶子

这三片叶子它的中线

如果画出它的夹角

你发现正好满足：两个角度之比

就是0.618

那么如果是个五片叶子的花瓣

我们发现，把它的某一片为做基准

隔一片叶子来算，发现也是这样的规律

所以说，在自然界生长中

在这个植物无意中

把黄金分割值已经引入进去了

当然我们说，（植物）它并没有智慧

它是在生存竞争中

自然慢慢发展起来的

同时，有生物学家研究过

比如说，一个向日葵的葵花盘

上面长了很多种子

它怎么长

才能让它既饱满又不互相妨碍呢

我们可以想象：如果长得特别挤

它每个（种子）都互相挤在一起，都发育不好

它就可能不容易长出后代来

如果长得很松

那么它的花盘上面就有很多材料浪费了

所以，对于这个向日葵来说

它经过长期演化之后

它就要长得比较合适

结果发现

它要满足一个按照某种特定的曲线生长

叫什么呢？黄金螺旋线的方式生长

按这样的方式生长的话，就可以

而它这个黄金螺旋线的角度

是按什么展开来的呢

是按照137.5度

而这个角度

正好我们看

和三叶草中的角度是符合的

它和整个的角度一除，也是黄金分割值

所以我们发现

植物在进化发展过程当中

有意无意地、慢慢地进行优化之后

就把黄金分割值引进来了

好，下面我们的问题是

既然菲波那契数列和植物生长

都和黄金分割值有关系

那么这个植物本身

和这个菲波那契数列有什么关系呢

来，我们看看：这都是我拍的一些照片

我们发现

在自然界中很多的花草

它们这个叶子或者它们的这个花瓣

它们分布的这个数目啊

正好就是符合菲波那契数列

我们看：三叶草

这个叫不出名字，可能是个小菊花

五个瓣的，等等

3和5都是菲波那契中的某个数

如果你仔细看，还会有很多

更多的，比如说8瓣，等等

这样一来，我们就有一个问题

就是：在自然界中

我们常见的是三叶草

当然可以引起我们的联想

三叶草相对应的是四叶草

我们知道四叶草

在自然界中比较少

所以有个故事

说一个小姑娘

是在一片草丛中，去找

找四叶草

如果她能找到这个四叶草的话

就找到幸福

因为人们传说

四叶草的四片叶子

分别表示了（小女孩）她的

爱情、荣誉、健康、财富等等

因为四叶草很少

在自然界中

经过生物学家研究

如果这一片（草地）是三叶草的话

可能每一百万棵里面才有一棵四叶草

所以我们有理由认为

四叶草是（三叶草）受到某种刺激之后

变异的结果

所以人们要去找它

那么我们知道

很多寓言故事，它都是有一定道理的

比如说，我们刚说小女孩去找四叶草

我们为什么说，这个寓言故事不说

这个小女孩找三叶草呢

因为找三叶草的话

就没有任何教育含义了

你随便一找就能找着了

所以，我们看好多童话故事

说：最后这个公主

和王子过上了幸福的生活

在之前一定有很多挫折才行

如果没有挫折的话

这个故事肯定不能流传下来

好，那么今天我们的主题是什么呢

我们以这个四叶草或三叶草为基础

来做什么呢？来自己设计一个装置

画出四叶草

因为我们说：在自然界中

很难找的四叶草，所以我们自己来画

也就是说

我们自己创造一个四叶草出来

从这意义上说：我们自己创造自己的幸福

好，下面我们看

怎么样来画，把它画出来呢

首先我们来看一下

在自然界中四叶草是这样的

还是挺复杂的，它的边界

那么，我们今天

不是画它的很像的四叶草的这个样子

如果画这个（逼真的四叶草）

那我们就不是力学课了

那就是美术课了

所以我们要画什么呢

我们是以四叶草引出了问题

我们来画一个“四叶玫瑰线”

这个（曲线），如果去翻数学手册

很容易找到它的表达式

我们要做一个装置画这样的图

四叶玫瑰线

好了，下面就有一个问题了

首先，四叶玫瑰线

它在极坐标中

它的表达式是 r=a*cos(2θ)

a 是四叶玫瑰线的

每个叶子的最大的长度

那么这（曲线）和极坐标有关系

那么我们的问题就是

对于这样一个曲线

看上去还有点复杂的曲线

能否用简单装置把它画出来

这就是一个重要的问题

这是属于一个战略性的问题

我们的同学

平时做很多题目

那些题目都已经被老师处理好了

所以你拿到马上就可以做了

但是，现在我们这个问题

你要先分析一下

这个题目是不是能做

然后再说怎么做的问题

所以我们先分析一下战略性的问题

就是说是不是能够解决它

然后第二步再说怎么解决它

好，我们把我们所学到的数学知识

和力学知识融合在一起之后

我们看看怎么解决它呢

首先我们看看：四叶玫瑰线的公式

它的极坐标公式是 r=a*cos(2θ)

我们可以认为

它是某个点运动的轨迹

那么这个公式

该怎么处理呢

好，我们回想一下

我们可以在一个坐标中，比如说

我们建立一个直角坐标系

在坐标中把它分解

把它分解为 x=r*cosθ

y=r*sinθ

然后代入这个

四叶玫瑰线的公式之后

我们就得出来 x=a*cos(2θ)*cosθ

y=a*cos(2θ)*sinθ

好，对于这样一个公式

同学们会说

这个公式很复杂啊

和我们的力学装置有什么关系呢

这就是我们要注意的地方

就是我们要善于把一个数学公式

和某种物理的机制对应上

所以我们来看一下

首先

这个公式本身，我们稍微处理一下

在这一步还是数学处理

把它利用和差化积公式，化出来

x=1/2 a*(cos（3θ)+cosθ)

y=1/2 a*(sin（3θ)-sinθ)

好

化完之后，这意味着什么呢

好，我们来看一看

这公式已经暗示我们一些东西了

只是你能不能看出来

那么为了让你能看出来

我再给你一个提示

我们先看看简单的问题

假设一个点做圆周运动

这时候它的坐标

该怎么写呢

那么很容易写出来，就是

x=r*cosθ

y=r*sinθ

这个事实已经告诉我们

一个点做圆周运动的时候

它的表达式就是sinθ和cosθ

或者反过来说

如果你知道一个点的运动是sinθ和cosθ

那么它的轨迹就是一个圆周运动

所以这已经告诉我们一些东西了

所以我们把这个

刚才看到的结论反过去

看看我们刚刚说的

四叶玫瑰线它的方程

我们发现

在这里面，如果我们用框子框起来

会发现有一个cos（3θ)，还有一个sin（3θ)

这意味着就是一个圆周运动

同时还有一个cos（-θ)和sin（-θ)

这表示有另外一个圆周运动

也就是说，从理论上来说

我们已经知道了

这个四叶玫瑰线是由两个圆周运动

可以把它画出来的

好，这就是战略问题解决了

就是：这个问题是可行的

那么下面就是战术问题了

那具体怎么设计这个装置呢

我们来看一下

当然这里面还有很多细节问题

比如说：为什么公式中

会有一个正号和一个负号

正号什么意思？负号什么意思

那我给你看个图你就可以理解了

好，我们假设有这样一个装置

这装置我可以拿在手上给你们看一下

好，比如说有这样一个装置

这个装置

可以让这个转起来

你会注意到

它的连线，它的中心的连线

它转的时候，（连线）是在慢慢变化的

你会注意到这个连线的变化角度

跟这个圆盘本身转的角度是不一样的

这个已经暗示我们了

它这个角度就是我们上面公式中的

一个是3倍的θ，一个是1倍的θ

也就是说

你只要适当的选取它的半径

就能满足我们的公式

那么负号什么意思呢

负号表示说如果一个是顺转

一个是反转就可以了

所以你看看这图中

正好是满足，比如说这个连线

中间的这个连线

是逆时针转，而红色的线

是顺时针转

所以它正好两个反向

所以这就表明

这个问题可以通过

类似这样的一个装置来实现

那么下面，就是我们具体的战术问题了

就是说：这个盘多大呢

这个齿有多少呢

那我们来看一下

这里面的一些关系

我们可以利用所学过的运动学关系

来分析一下

如果，比如说

如果你是学过很多知识的大学生

那么下面怎么分析我就不用讲了

你自己可以把它做出来

但如果你是中学生

我会告诉你相关的里面的某一些参数

你可以去确定另两个参数

如果你是小学生

那我可以全部都告诉你

你自己去（画图）玩

好了，也就是说

可以给不同的人不同的参数

让他来进行后续的分析

那么下面

我们看看

如果我不告诉你其它东西

你自己能不能把它分析出来

好，在你分析的时候

我可以稍微微微提示一下

利用不同的方法来进行分析

一种是演绎方法

你可以利用你所学过的

数学知识、运动学知识

来找出这个小孔的位置

和半径的关系

你也可以用归纳的方法

你自己尝试打几个孔

你随意打几个孔，找规律

看通过有限几次的规律之后

找出这个孔和半径之间的关系

当然你还可以归纳加演绎

推一部分再尝试一部分，都可以

那么我们看看一些同学们在做这个

游戏的时候他们的表现吧

好，这是在外地的一个中学里

做的这个游戏

我给他们出了题目之后

选手们看到题目之后摩拳擦掌

觉得：哎，这题目很有意思

想大显身手

但过一会之后发现

哎呀，有难度

这个曲线该怎么画呢

所以后来我就给他们现场演示

告诉他们大概的一些要点之后

他们知道之后开始来进行制作

但是，事情总是有点难度的

就是对于一个泡沫板来说

怎么切，切得很圆，这就是一个难题

以及切多大，当然他还要自己算

结果我们看他们出了什么结果呢

本来我们要画四叶草

结果同学画完之后

怎么是个三叶草

还有个同学画完之后，怎么是个五叶

而且很不规则呢

最后有个同学勉勉强强画出个四叶草

中间手还抖动一下，所以出现一个

四叶草有点位移

所以这个看来

就是画四叶草啊

自己去追求幸福啊

也是不容易的

所以还需要自己努力努力

那么刚才他们是中学生

那么我们看看小学生

他们会出现更多问题

要比如画四叶草，会出现好多好多叶

但是有一个同学画的特别很棒

画的就是特别像四叶草

好，他们在研究

那么下面

我给大家看看

一个三叶草的动画

我把四叶草留给你们思考

我给你们看一下三叶草的动画

看它怎么实现的

好，你看看这动画，你看出来

三叶草是这样一个装置

它一动，就能画出三叶草

那么具体来说

这个四叶草的装置

该有什么样的尺寸，孔打什么位置

你们自己去定

那么为了统一

我们假设四叶草的这个

最大的长度的话是10cm

好了，你去设计所有参数吧