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e 兔子追击问题

下一节:2-1 刚体的定义与刚体的运动形式

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e 兔子追击问题课程教案、知识点、字幕

下面我们介绍一下狗追兔子的问题

这个题目是一个有点难度和挑战性的问题

我们看一下问题是怎么提出的

假想在平原上有一只狗和野兔

狗立刻向野兔跑去

野兔立刻往洞穴跑去,这样一个问题

假设在追击的过程中,双方尽可能地尽全力跑

同时假设它们按某个速度匀速运动

方向可变,但速度大小不变

这样一个问题,我们如何列出一个方程进行求解

对于兔子来说尽可能快地跑到洞穴里去,比较安全

而狗总是每一时刻都盯着兔子跑

对于这样一个问题,我们怎么来列方程

我们先把问题提出来

第一,假设野兔始终沿直线向洞穴跑去

求猎狗的运动方程和运动轨迹

第二,试确定猎狗的初始位置范围

在这一范围之内,狗一定能抓住兔子

在范围之外,一定抓不住

那么能否找出这个范围

第三,证明这一范围是某个特定的曲线

比如说是否为椭圆,能否证明

第四,假设狗经过长期抓兔子,变得聪明了

它知道有提前量了

它追的时候不是正好朝兔子跑去

而是朝兔子稍微偏前一点的方向跑去

这样来说,结果是不是会有所改变

好,就是这样几个问题

这些问题我们会分析一部分

有一些留着,有兴趣的同学可以进行分析

为了分析这个问题,我们建立一个坐标系

我们以它们双方同时发现对方的这一时刻(为起点)

以兔子的位置作为坐标原点

把兔子和它的洞作为y坐标,垂直是x坐标

在这样的坐标系下

我们把狗和兔子放到一般的位置

在任意时刻,狗的速度是朝着兔子的

这个是很明确的

假设兔子能够改变方向

比如说方向以某个角度跑

在这种情况下,方程如何列出来

首先看兔子的位置

在任意一时刻它的x和y的表达式为(上方的公式)

兔子本身可以弯弯曲曲地跑

这是在最一般情况下考虑的

狗的方程应该怎么列

在追的过程中狗的速度大小不变,方向会跟着兔子跑

对于狗来说,它在x、y方向的

速度平方之和等于常数

方向始终朝着兔子,用公式表达就是

狗前进时y方向的速度除以x方向速度

等于连线y的值除以x的值

这个公式表示:狗在跑的时候,它的速度方向始终指向兔子的方向

那么这个方程如何求解

把狗的方程带进去展开后,发现挺复杂

这是个微分方程组

这两个方程相互耦合在一起

可能不太好求解

这个方程在一般情况下是很难积分积出来的

所以需要做些假设,才能把解求出来

找解析解的话需要一些假设,同时还需要一些数学技巧

至于怎样用数学技巧求解

留给同学们自己思考

因为已假设速度大小都不变,会使分析简化

假设兔子一直跑直线,使问题进一步简化

在这样的情况下

利用什么样的技巧把它的解析解找出来

下面我们介绍用计算机求解

因为解析解需要高度技巧

现在发展另外一种方法

利用计算机编程,来看在一般情况下解是什么样子的

这组方程是一个标准的一阶常微分方程组

我们可以直接调用一个算法,“龙格-库塔法”来求解

在Matlab中,输入(初始条件),一按回车键,马上算出结果

我们看一下动画

(通过)这个动画可以看出来

狗在不同的位置,追兔子的轨迹是不一样的

看上去都类似于一个抛物线

它的解可能是一个抛物线(解析解)

但是不是,还需要从理论上加以严格的证明

我们看到,的确存在某个位置,在某个位置范围之内

狗是可以追上这个兔子的

在范围之外狗是追不上的

我们需要通过一些分析找出这个范围的边界

这也需要一些数学的技巧

数学知识,加上力学知识,融入在一起后能否把它找出来

关于边界问题,根据一些常识来分析一下

它大概是什么样子

首先,猜测它应该是一个对称图形

比如是关于y轴左右对称的

其次,它是否关于x轴对称

可以猜测一下,大概能得到一个曲线

我们先透露一部分信息

就是这个曲线应该是一个椭圆

至于椭圆大小、形状,可以自己分析

同时提一个问题

我们研究边界问题时,采用什么坐标好呢

比如图上画的是xy直角坐标系

可以考虑用不同的坐标,看哪种分析更简洁一些

下面我们研究一个更加深入的问题

假设兔子直线跑肯定会被狗抓住

在这个前提下,如果它做曲线跑会有什么结果

就是说兔子可以采取策略左右拐弯跑

狗始终跟着它跑

通过有限的计算发现

在一般情况下

兔子采用这种来回折线跑,效果并不好

会比正常情况下更快被抓住

但是也存在某些特殊情况

按直线跑可能会被抓住

但是按折线跑可能抓不住的情况

这是为什么呢,大家可以思考一下

我们再提一个更有挑战性的问题

假设这个猎狗经常抓兔子,变得比较聪明了

它认为兔子应该尽快朝它的洞穴跑去

因为狗的速度比兔子速度快

只要兔子不是朝洞穴跑去,迟早会被狗抓住

所以作为策略对抗的双方

兔子的策略就是尽快入洞

而狗的策略就是尽快接近兔子

如果猎狗比较聪明,想(兔子)是朝着洞的方向跑去

因此(兔子)前方就是洞的方向

所以(狗)会稍微提前一点点

不是直接朝着野兔跑,而是有个提前量

比如提前几度,根据它的经验来提前

当然如果(提前量)一直变化,有点难度

假设角度固定

每次提前五度

这样一来,后续会有很多新的结果

这些结果和之前的结果有什么大的不同呢

大家可以分析一下

甚至我们可以编好程序之后,做一个对抗性的游戏

一方编程控制兔子跑的规律

另外一方控制狗跑的规律

在什么情况下存在一个边界

如果狗已在边界的情况下

兔子能否有办法逃脱进洞

可以做一个对抗性游戏

我们发现,虽然我们学了很多运动学的知识

但是我们把它变得更加有趣味性

而且对策的双方可以提供各种各样的想法

你可以按直线跑、也可拐弯抹角跑

对方可以直接抓,或有提前量抓,都可以

所以这是一个很有挑战性的问题

如果有谁感兴趣可以自己编一个程序

我们到时来验证这一点

可以把你设计的规律输入机器

把另外同学设计的规律也放进来,进行对抗

这就是关于狗追兔子的问题

这个题目是有一定的难度和挑战性

有兴趣的话可以琢磨琢磨

理论力学课程列表:

绪论

-绪论

--绪论

第一章 点的运动学

-1-1 矢量描述法

--第一章运动的描述

--1-1 矢量描述法

--矢量及其运算

-1-2 直角坐标描述法

--1-2直角坐标描述法

--例题1 椭圆规

--例题2 圆轮滚动

-1-3 自然坐标描述法

--1-3 自然坐标描述法

--例题3 单摆

-1-4 极坐标描述法

--1-4 极坐标描述法

--例题4 演员

--讨论题 多种方法求解

-扩展内容

--a 点的运动学扩展

--b 观察与思考

--c 时间与方向

--d 仰望星空

--e 兔子追击问题

-第一章 点的运动学--作业

第二章 刚体运动学

-2-1 刚体的定义与运动形式

--2-1 刚体的定义与刚体的运动形式

-2-2 刚体的矢量-矩阵描述

--2-2 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-0 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-1 刚体的运动方程

--2-2-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-2刚体的矢量-矩阵描述例题1-2

-2-3 刚体平面运动

--2-3 刚体平面运动

--2-3-1 平面运动的运动方程

--2-3-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-3-3 速度分析 基点法

--2-3-3 速度分析 瞬心法

--2-3-3 速度分析 速度投影定理

--2-3-3速度分析 刚体平面运动的瞬心轨迹

--2-3-4 刚体平面运动的加速度分析

--2-3-3速度分析例题1-4

--2-3-4加速度分析例题1-4

-2-4 刚体定点运动

--2-4-1 刚体定点运动几何分析

--2-4-2 刚体定点运动的解析描述

-扩展内容

--2-扩展-a加速度是否存在投影定理

--2-扩展-b图形放大器

--2-扩展-c连弩射击

--2-扩展-d关于刚体的转动

--2-扩展-e欧拉角探秘

-第二章 刚体运动学--作业

第三章 复合运动

-3-1 点的复合运动

--3-1 点的复合运动

--3-1-1 运动方程

--3-1-2 矢量的绝对导数与相对导数

--3-1-3 速度合成定理

--3-1-4 加速度合成定理

-3-2 刚体复合运动

--3-2 刚体复合运动

-例题

--3-1-1 运动方程例题1 工件轨迹

--3-1-3 速度合成定理例题1-3

--3-1-4 加速度合成定理例题1-4

--3-2-1 角速度合成例题1-3

--3-2-2 刚体定点运动例题1-2

-扩展内容

--钟表的设计

--寻找四叶草

--差动齿轮

--指南车

--逆行风车

-第三章 复合运动--作业

第四章 几何静力学

-4-0 静力学公理序言

--4-0 静力学公理序言

-4-1 主矢量和主矩

--4-1 主矢量和主矩

-4-2 力系的等效与简化

--4-2 力系的等效与简化

-4-3 受力分析与刚体平衡

--4-3 受力分析与刚体平衡

-4-4 平面力系的平衡方程

--4-4平面力系的平衡方程

-4-5 考虑摩擦的平衡问题

--4-5考虑摩擦的平衡问题

-4-6 刚体系的平衡

--4-6-1 组合结构

--4-6-2 桁架

--4-6-3 机构

-例题

--4-1 主矢量和主矩例题1-3

--4-2 力系的等效与简化例题1-3

--4-3 受力分析与刚体平衡例题1-3

--4-4 平面力系的平衡方程例题1-2

--4-5 考虑摩擦的平衡问题例题1-6

--4-6-1 刚体系的平衡例题1-3

--4-6-2 桁架例题1-4

-扩展内容

--4-扩展-a纸桥过车

--气球的平衡

--平衡大师

--4-扩展-d动物爬绳

--4-扩展-e力学与考古

-第四章 几何静力学--作业

第五章 分析静力学

-5-1 约束及其分类

--约束及其分类

-5-2 虚位移

--虚位移

-5-3 虚功原理

--虚功原理

-5-4 广义坐标和广义力

--广义坐标和广义力

-5-5 势力场中的平衡

--势力场中的平衡方程

-例题

--5-3 虚位移原理例题

--5-4 广义坐标和广义力例题

--5-5 势力场中的平衡方程例题

-扩展内容

--关于投影

--不倒翁

--5-扩展-c欹器

--冈布茨

-第五章 分析静力学--作业

第六章 质点动力学

-6-1 质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程例题

-6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2质点在非惯性系中的运动例题1

-6-3 相对地球的运动

--6-3 相对地球的运动

-扩展内容

--宇航员的问题

--6-扩展-b在小行星上打台球

--失重现象及模拟失重

--非线性方程的近似解

--落体问题在惯性系中解释

-第六章 质点动力学--作业

第七章 质点系动力学

-7-1 质点系动量定理

--7-1 质点系动量定理

-7-2 质点系动量矩定理

--7-2-1 质点系的动量矩

--7-2-2 质点系动量矩定量

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程

--7-2-4 刚体平面运动微分方程

-7-3 质点系动能定理

--7-3 质点系的动能定理

-7-4 质系普遍定理的综合应用

--7-4 质系普遍定理的综合应用

-7-5 碰撞

--7-5 碰撞

-例题

--7-1 质点系动量定理1-4

--7-2-1 质点系动量矩例题1

--7-2-2 质点系动量矩定理例题1-2

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程例题1-2

--7-3 质点系动能定理例题1-2

--7-4 质系普遍定理的综合应用例题1-2

--7-5 碰撞例题1-4

-扩展内容

--7-拓展-a跳高

--7-扩展-b跳水

--7-拓展-c手机吊冰箱

--7-扩展-d小鸭下山

--7-扩展-e飞针穿玻璃

--第七章 质点系动力学--作业

第八章 分析动力学

-8-1 达朗贝尔原理

--8-1达朗贝尔原理

-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理

--8-2达朗贝尔-拉格朗日原理

-8-3 第二类拉格朗日方程

--8-3第二类拉格朗日方程

-8-4 拉格朗日方程首次积分

--8-4拉格朗日方程首次积分

-例题

--达朗贝尔原理例题

--8-2达朗贝尔原理-拉格朗日

--8-3第二类拉格朗日方程

--8-4拉格朗日方程首次积分

-扩展内容

--广义动量守恒

--广义能量守恒

--非定常约束

--无轮小车

-第八章 分析动力学--作业

e 兔子追击问题笔记与讨论

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