e 兔子追击问题在线视频

下面我们介绍一下狗追兔子的问题

这个题目是一个有点难度和挑战性的问题

我们看一下问题是怎么提出的

假想在平原上有一只狗和野兔

狗立刻向野兔跑去

野兔立刻往洞穴跑去，这样一个问题

假设在追击的过程中，双方尽可能地尽全力跑

同时假设它们按某个速度匀速运动

方向可变，但速度大小不变

这样一个问题，我们如何列出一个方程进行求解

对于兔子来说尽可能快地跑到洞穴里去，比较安全

而狗总是每一时刻都盯着兔子跑

对于这样一个问题，我们怎么来列方程

我们先把问题提出来

第一，假设野兔始终沿直线向洞穴跑去

求猎狗的运动方程和运动轨迹

第二，试确定猎狗的初始位置范围

在这一范围之内，狗一定能抓住兔子

在范围之外，一定抓不住

那么能否找出这个范围

第三，证明这一范围是某个特定的曲线

比如说是否为椭圆，能否证明

第四，假设狗经过长期抓兔子，变得聪明了

它知道有提前量了

它追的时候不是正好朝兔子跑去

而是朝兔子稍微偏前一点的方向跑去

这样来说，结果是不是会有所改变

好，就是这样几个问题

这些问题我们会分析一部分

有一些留着，有兴趣的同学可以进行分析

为了分析这个问题，我们建立一个坐标系

我们以它们双方同时发现对方的这一时刻（为起点）

以兔子的位置作为坐标原点

把兔子和它的洞作为y坐标，垂直是x坐标

在这样的坐标系下

我们把狗和兔子放到一般的位置

在任意时刻，狗的速度是朝着兔子的

这个是很明确的

假设兔子能够改变方向

比如说方向以某个角度跑

在这种情况下，方程如何列出来

首先看兔子的位置

在任意一时刻它的x和y的表达式为（上方的公式）

兔子本身可以弯弯曲曲地跑

这是在最一般情况下考虑的

狗的方程应该怎么列

在追的过程中狗的速度大小不变，方向会跟着兔子跑

对于狗来说，它在x、y方向的

速度平方之和等于常数

方向始终朝着兔子，用公式表达就是

狗前进时y方向的速度除以x方向速度

等于连线y的值除以x的值

这个公式表示：狗在跑的时候，它的速度方向始终指向兔子的方向

那么这个方程如何求解

把狗的方程带进去展开后，发现挺复杂

这是个微分方程组

这两个方程相互耦合在一起

可能不太好求解

这个方程在一般情况下是很难积分积出来的

所以需要做些假设，才能把解求出来

找解析解的话需要一些假设，同时还需要一些数学技巧

至于怎样用数学技巧求解

留给同学们自己思考

因为已假设速度大小都不变，会使分析简化

假设兔子一直跑直线，使问题进一步简化

在这样的情况下

利用什么样的技巧把它的解析解找出来

下面我们介绍用计算机求解

因为解析解需要高度技巧

现在发展另外一种方法

利用计算机编程，来看在一般情况下解是什么样子的

这组方程是一个标准的一阶常微分方程组

我们可以直接调用一个算法，“龙格-库塔法”来求解

在Matlab中，输入（初始条件），一按回车键，马上算出结果

我们看一下动画

(通过)这个动画可以看出来

狗在不同的位置，追兔子的轨迹是不一样的

看上去都类似于一个抛物线

它的解可能是一个抛物线（解析解）

但是不是，还需要从理论上加以严格的证明

我们看到，的确存在某个位置，在某个位置范围之内

狗是可以追上这个兔子的

在范围之外狗是追不上的

我们需要通过一些分析找出这个范围的边界

这也需要一些数学的技巧

数学知识，加上力学知识，融入在一起后能否把它找出来

关于边界问题，根据一些常识来分析一下

它大概是什么样子

首先，猜测它应该是一个对称图形

比如是关于y轴左右对称的

其次，它是否关于x轴对称

可以猜测一下，大概能得到一个曲线

我们先透露一部分信息

就是这个曲线应该是一个椭圆

至于椭圆大小、形状，可以自己分析

同时提一个问题

我们研究边界问题时，采用什么坐标好呢

比如图上画的是xy直角坐标系

可以考虑用不同的坐标，看哪种分析更简洁一些

下面我们研究一个更加深入的问题

假设兔子直线跑肯定会被狗抓住

在这个前提下，如果它做曲线跑会有什么结果

就是说兔子可以采取策略左右拐弯跑

狗始终跟着它跑

通过有限的计算发现

在一般情况下

兔子采用这种来回折线跑，效果并不好

会比正常情况下更快被抓住

但是也存在某些特殊情况

按直线跑可能会被抓住

但是按折线跑可能抓不住的情况

这是为什么呢，大家可以思考一下

我们再提一个更有挑战性的问题

假设这个猎狗经常抓兔子，变得比较聪明了

它认为兔子应该尽快朝它的洞穴跑去

因为狗的速度比兔子速度快

只要兔子不是朝洞穴跑去，迟早会被狗抓住

所以作为策略对抗的双方

兔子的策略就是尽快入洞

而狗的策略就是尽快接近兔子

如果猎狗比较聪明，想（兔子）是朝着洞的方向跑去

因此（兔子）前方就是洞的方向

所以（狗）会稍微提前一点点

不是直接朝着野兔跑，而是有个提前量

比如提前几度，根据它的经验来提前

当然如果（提前量）一直变化，有点难度

假设角度固定

每次提前五度

这样一来，后续会有很多新的结果

这些结果和之前的结果有什么大的不同呢

大家可以分析一下

甚至我们可以编好程序之后，做一个对抗性的游戏

一方编程控制兔子跑的规律

另外一方控制狗跑的规律

在什么情况下存在一个边界

如果狗已在边界的情况下

兔子能否有办法逃脱进洞

可以做一个对抗性游戏

我们发现，虽然我们学了很多运动学的知识

但是我们把它变得更加有趣味性

而且对策的双方可以提供各种各样的想法

你可以按直线跑、也可拐弯抹角跑

对方可以直接抓，或有提前量抓，都可以

所以这是一个很有挑战性的问题

如果有谁感兴趣可以自己编一个程序

我们到时来验证这一点

可以把你设计的规律输入机器

把另外同学设计的规律也放进来，进行对抗

这就是关于狗追兔子的问题

这个题目是有一定的难度和挑战性

有兴趣的话可以琢磨琢磨