3-2-2 刚体定点运动例题1-2在线视频

好，例题1

我们来研究这个圆盘的运动

这个圆盘绕着AB杆以Ω转动

而这个AB杆及框架

绕这个竖直轴以角速度ω转动

已经知道相关的一些尺寸

比如圆盘的半径R、距离L

我们想研究一下当θ等于90度

角速度不为0，但是角加速度为0的情况下

求圆盘上的D点，最高点，它的速度和加速度

那么这个题目有不同的方法来处理

我们先看第一种方法

首先，这个圆盘做定点运动

它的定点是O点，这点是它的定点

因为它是一方面绕（AB轴）转动

然后（AB）轴本身绕竖直轴转动

所以O点是它的定点

它的角速度不一定好分析

所以我们先来分析框架的角速度

这个框架角速度

我们先将动系固定在竖直轴上

来分析框架的运动

这个xyz是跟着竖直轴一起运动的动系

首先我们可以看出来

牵连运动就是这个角速度

这个角速度我们（用右手）一比划

发现是沿着（z）坐标的反方向

所以角速度等于-ωk

然后这个框架相对动坐标系的角速度是多少呢

等于负的θ一点

方向是沿着x轴的方向

是负的x轴方向，负的θ一点i

为什么是负的

因为θ是以这个方向为正

这个方向你用右手一比划的话呢

是沿着x的反方向的

所以ω1r是等于负的θ一点i

所以我们得出框架的角速度为多少呢

是牵连加相对，加在一起等于负的θ一点i减掉ωk

好了我们再将动坐标系

固定在框架上来分析圆盘的运动

这时候我们注意牵连运动

就是我们刚才分析的框架的绝对角速度

是负的ωk减掉θ一点i

然后相对运动是什么呢

相对运动就是我们大圆盘的大Ω

方向是沿着坐标的y方向，是j

是Ωj

好这样一来

圆盘角速度就等于牵连加相对

加在一起之后是多少呢

就是负的θ一点i加大Ωj减小ωk

这是我们圆盘的绝对角速度

注意我们是通过两次（复合运动），来把这个角速度求出来的

那么下面分析D点的速度和加速度

根据定点运动的公式

我们有D点的速度等于什么呢

O是定点，所以等于ω*rOD，从O点到D点的矢径

那么具体写出来，ω已经知道了

那么rOD从图上看出来

这个方向是L，这个方向是R

所以 Lj+Rk

那么叉乘之后得到的结果挺复杂的

也就是说D点的速度在各个方向都有分量

好刚才我们求出了速度

那么实际上，速度还有另外一种方法

我们用动点动系方法来求

我们把框架作为动系

把D点作为动点

因此这样一来的话呢

我们有新的公式

D点速度等于牵连速度加相对速度

其中牵连速度在我们以前讲的时候，说是

（动系中）和动点重合的点所具有的速度

我们注意整个刚体现在是绕着O点做定点运动

所以牵连速度是什么呢

是框架的角速度叉乘以rOD这个矢量

相对运动是这个圆盘相对于动系的速度

是ω2r*rBD

所以大家一定要注意：这里面的角速度是不一样的

那么具体代入数据我们可以得到相关的结果

也是很长一串，稍微整理一下，i、j、k都有分量

这是另外一种方法

用动点动系来进行分析

那么这个题目还有一种方法，第三种方法：基点法

以B为基点来分析D点运动

那么在这儿我们顺便来简单地说一下

就是动点动系和基点法它们什么时候用呢

大家思考一下

基点法实际上是这两点是属于同一刚体，用基点法

如果你所选择的点和你关心的位置点是属于不同刚体

就要用动点动系方法

所以这个地方，我们简单的提一下，大家注意一下

好现在我们研究的是B点和D点

你注意它们都在同一刚体上面，所以我们用基点法

这时候公式是

D点的速度等于

B点速度加上动系的角速度差乘r

然后需要说明的是：在基点法中

这个（动系的）角速度都是绝对角速度，要特别注意一下

所以应该是

B点速度加上绝对的角速度叉乘以rBD

把它代进去之后

也能得到相关的结果

好我们把它整理一下

我们会注意到这三种方法求出的结果，应该是相同的

只要你方法正确

不管用什么方法做都可以

好我们已经把速度都求出来了

我们用了三种方法

下面我们比较一下

第一种方法是定点运动公式

它用的公式是绝对的角速度差乘以r

这个r是从O点到D点的

O点是定点，D点是你关心的点

那么具体写出来是这样一个公式

然后我们用动点动系的方法求

公式是这样的

是牵连运动加相对运动

那么牵连运动是（动点）和动系重合的点所具有的速度

相对运动是动点相对于动系的的速度

所以公式是这样的

那么最后介绍基点法

基点法是以B为基点来分析

那么需要注意的是这里面这个相对速度

是一个相对于（平）动系的速度，实际上是绝对角速度

那么我们把三个公式的表达式写在这儿

看一下，它们的结果最后是一样的，但是中间的过程不同

你可以自己看看是怎么展开、怎么相等的

大家可以相互比较一下

那么速度已经分析完了

那么加速度就留给大家思考

大家可以利用前面的方法类似地来处理一下

只是加速度（分析）稍微繁琐一些

好，这个题目就介绍到这儿

第二个例题，有一个马达转子

它装在这个框架上面

这个框架本身可以以ω1匀速运动

然后这个转子相对于自身的转轴以ω2匀速运动

它们装的时候还有一个夹角α

我们想求一下：转子的角速度ω和角加速度ε

以及转子上C点的速度和加速度

有四个量要求

我们用不同的方法处理一下

我们先用刚体的复合运动理论分析

我们选这个框架的轴心O'点为基点

我们建立平面坐标系O'xyz

因此我们来求这个C点的速度

是这样一个公式

就是：C点速度等于基点速度VO'加上相对的速度

相对速度是ω*ro'c

那么加速度

也是基点速度加上相对的切向

其中这项是相对的向心

这项是相对切向

好具体我们来看一下

在速度分析中这个角速度

我们说因为是用基点法

所以它实际上是一个绝对角速度

所以角速度等于ω1+ω2 把它加起来

角加速度根据我们前面讲过的例题

这个ω1、ω2都是匀速运动

因此可以利用前面所理解的，就是

角加速度是角速度的端图，从这个角度理解

就变成ω1×ω2，把它也求出来了

因此角速度、角加速度知道之后

其它的量都是几何量，都很容易求出来

因此把它带入之后就能把C点速度求出来

好我们来看一下刚才的话呢把公式都写出来了

下面具体看某些参数

比如说这个rO'C具体是多少呢

从O'C可以把它分解为O'到0''，也就是说轴心到圆心的距离

再加上O''到C的距离，把它写出来是这样一个表达式

那么，另外 O'的速度

因为O'绕它做定轴转动，所以速度、加速度很容易把它求出来

把这些量代入前面的公式量中

就可以把C点的速度、角速度求出来

那么这个题目还可以用另外一个方法做

用点的复合运动理论

好，我们可以选择一个动系

这个动系和框架OA固结

这样一个动系和OA固结

然后动点是C点

那么我们分析一下各个运动

相对运动是定轴转动

角速度是ω2

牵连运动也是定轴转动

角速度是ω1

那么它的速度，相对速度是多少呢

是等于负的R乘以ω2，方向是j方向

相对加速度，我们可以看出来是向心加速度

因为前面告诉的是匀速运动，所以相对的是一个向心加速度

下面我们看看一个具体的表达式

好了，我们把矢径r的表达式写一下

会有很长的一个表达式

好，下面我们看看具体的表达式

其中牵连速度等于ω1×r

牵连加速度是ω1×v1

就是ω1叉乘以牵连速度

科氏加速度是等于2倍的ω1叉乘以相对速度

而C点的速度又等于牵连加相对

C点的加速度是等于牵连加速度加上相对加速度加上科氏加速度

这个地方稍微注意一下

这个小写的字母c是科氏加速度

大写字母C是C点的加速度，所以稍微注意下

好了，有了这些公式之后，把前面的结果代进来就可以了

不过我们还是要提个问题，因为在我们这个问题中

出现了很多相对运动，出现了很多角速度

你自己思考一下：在不同的方法中用的角速度分别是什么角速度

把这个问题搞清楚有助于你解决一般的问题

好，这个问题我们就到这儿