2-3-3速度分析例题1-4在线视频

好下面我们来进行例题分析

我们先看一个曲柄滑块机构

我们已经知道，曲柄滑块机构OA的长度R

AB的长度都告诉我们了

那么在图示瞬时，或者图示的位置

我们想分析一下

B点的速度和AB杆的角速度

我们看看这个滑块运动的动画，看一下

首先，我们看一下用基点法处理

我们知道，AB杆作平面运动

我们可以选A为基点

因为A点是已知速度的点

它的大小是Rω

所以我们有这样的公式

B点速度等于A点速度加相对速度

在基点法中

相对速度等于刚体的角速度叉乘以矢径

因此我们可以把它的速度图画出来

B点速度是水平的

A点速度直接移过来

相对速度是和AB垂直的

同时要满足三角形封闭

好，具体算的时候可以用三角形的正弦定理

即：每个速度除以它们对应的

角度的正弦，应该相等

好，这样一来

我们就可以把速度求出来

例如：B点速度就等于这样一个（倍数的）A点速度

它们有一个这样的关系

同时，相对速度也可以把它求出来

好，这个方法就是利用基点法来进行处理的

类似的话，角速度也可以把它分析出来

角速度等于相对速度除以

这个距离，AB之间距离

也可以把杆AB的角速度求出来

下面我们看看

这个题目用瞬心法做，如何处理

首先，A点速度和B点速度

方向是已知的

我们分别做它们的垂线

就可以找出交点C点

C就是AB杆的速度瞬心

根据几何关系

可以求出来AC的长度是多少

角速度就等于A点速度除以AC的距离

等于3分之根号3倍的ω

有了角速度之后，再求B点速度，那很简单

因为这时候AB这一瞬时是绕C点做定轴转动

所以，B点速度等于ωAB 乘以BC的距离

很快可以把它求出来

这种方法叫瞬心法

这个题目还可以用

速度投影定理来进行处理

我们把A点和B点速度画出来

因为AB为刚体

所以它们之间的距离应该不变

所以它们的速度投影定理满足：

B点速度乘以cos30°

就要等于A点速度乘以cos15°

这个15°是根据几何关系算出来的

那么从这里面

我们就可以把B点的速度马上求出来

于是算B点速度和A点速度的关系

就把它得出来了

那么我们提个问题

能否由速度投影定理求得刚体的角速度

大家可以思考一下

那么这个题目还有一种方法，是直接求导方法

那怎么做呢

我们先找出来一些几何关系

比如说，这个A点的竖直高度

它从左边来写，是R乘以sinθ

从右边写，是√2倍的R乘以sinφ

就是φ这个角度

大家注意，因为我们准备求导

所以不能直接把30°、45°这样的角度代进去

而是要找它们一般的角度关系

然后两边求导，因为这是一般的角度关系

所以两边可以求导

求出来之后

找出来ωAB 是等于φ一点

它是等于θ的（这样）关系，把它先找出来

然后

再把θ和φ等于30°、45°代进去

找出它们的关系

所以这是直接方法，求导

求完之后

我们再把，比如B点的坐标写出来

然后再进行求导，求出速度

把它代待进去之后

求出相关的表达式

下面我们看例题2

我们已经知道一个圆轮半径为R

在轨道上作纯滚动

我们知道它轮心速度是VO

我们想求一下边缘上A、B、C、D四点的速度

我们看怎么分析

好，我们用基点法来求解

因为O点的速度是已知的

我们就取O点为基点

我们先把角速度写出来

它在坐标中可以写成是：负的ω乘以k方向

O点的速度是沿着坐标的i方向

对于A点，我们利用公式

A点速度等于O点速度加上A点相对速度

那么我们画图看

首先把O点速度平移过来

然后有个相对的速度

相对速度根据运动学关系，是往（左边）这个方向的

它大小也可以把它算出来

然后加在一起可以得到A点速度等于零

对B点来进行分析

B点速度等于基点速度O加上B点的相对速度

画图，是一个水平一个竖直

可以很快把它算出来

B点速度是等于VO 乘以（i+j)

也就是说，B点速度方向

是倾斜的，斜向上方的

好，这是基点法的方法

那么这个题目，也可以用瞬心法来做

因为圆轮的A点和地面接触

纯滚动不打滑

所以A点为速度瞬心

因此A点速度为零

同时其它各点速度分布

类似于这样一个分布

好了，根据O点速度等于Rω

我们可以求出来这个圆轮的角速度

是等于VO 除以R的

好，A点因为是瞬心，速度为0

那么可以这样很快得出来

B点速度是等于√2倍的VO

因为这个距离是√2倍的R

那么类似C点速度是等于2倍的VO

D点速度是√2倍的VO

它们的方向

是绕着A点做瞬时转动时的方向

B点是（斜向上）这个方向，C点水平，D点是向下的方向

例题3，四连杆机构

我们已经知道O1 B这个距离是l

AB的长度是3/2倍的l

D点是AB的中心

同时我们还知道角速度ω

我们想求一下B点和D点的速度

以及AB杆的角速度

好，我们可以先看看视频动画

好，我们用瞬心法求解

首先，我们知道A点速度和B点速度的方向

因此做作垂线之后

交于一点，比如说叫C*

C*就是它的瞬时转动中心

就是AB杆的瞬时转动中心

那么从图中几何关系，可以求出来

OA的长度、AB的长度，我们可以求出来

因此，我们可以得到

A点速度等于OA的长度乘以ω

等于√2倍的的lω

从而求出来ωAB等于

A点速度除以AC*的距离，等于2/3倍的ω

有了这个角速度之后

B点速度就等于BC*的这个距离乘以ωAB

所以只和这个距离有关系

等于l乘以ω

那么类似，D点的速度是等于

D点到C*的这个距离，再乘以AB杆的角速度

算一下,等于√5/2 lω

例4

我们知道梯子AB一端靠墙，然后运动

A点以等速u向右匀速运动

我们想分析一下，定瞬心轨迹和动瞬心轨迹

我们建立坐标系如图

可以分析出瞬心C的坐标

首先，瞬心C怎么做呢

是过A点和B点作垂线

因为速度

A点是水平的，B点是竖直的

所以作垂线交于这一点

所以C点就是瞬心

它坐标很容易写出来

是：xC =l*sinφ，yC =l*cosφ

消掉这个φ，就得到了

xC的平方加上yC的平方，等于l的平方

这表示C点的轨迹是一个圆

那么注意，这是定瞬心轨迹

这是在定坐标系中看到的

所以它的结果是以O为圆心的1/4的圆周

1/4是考虑到它的

竖直面和水平面的限制

它不能穿越，所以是1/4的圆周

那么画出图，就是这样一个轨迹

这个轨迹就是定瞬心轨迹

下面我们分析动瞬心轨迹

首先，我们把坐标系建立好

我们在A点这个地方建立一个固联坐标系

和这个AB杆相固联

那么在这个动坐标中

C点的坐标是什么呢，我们来看一下

ξC等于l乘以cosφ乘以sinφ

ηC等于l乘以cosφ的平方

好了，把这两个式子消掉φ之后

可以得到这样一个式子

那么这个式子，也是一个圆

只是这个圆的圆心不在坐标原点

那么画出图，是这样一个轨迹

动瞬心轨迹

是为以杆中点为圆心的1/2的圆周

那么把瞬心轨迹来进行一个动画演示

大家看一下

好 大家看这个图

那么在这个图中

大圆是定瞬心轨迹

是瞬心在定坐标系中的轨迹

小圆是动瞬心轨迹

是瞬心在动坐标系中的轨迹

好，大家可以看到是这样一个结果