8-3第二类拉格朗日方程在线视频

好 大家好

我们现在学习第三节

第二类拉格朗日方程

我们上面一节说到的话呢

就是说达朗贝尔原理

用的是直角坐标的表达式

那么如果我们采用的是广义坐标的话呢

我们会有什么结论呢

我们来看一下

首先的话呢假设是

理想的完整约束系统

我们选的广义坐标是

q1 q2 一直到qn

那么对于某个质点的话呢

它就形成这样一个形式

就是r等于r括号里面

q1 q2一直到qn

然后和时间函数的函数关系

好 这是一个一般的形式

那么 把这个矢径的话呢

进行变分 就是给出它的虚位移

我们记住虚位移要计算的话呢

跟微分很类似

只是说呢 δt等于0

就是等时变分

因此的话呢 可以得到

δri等于Σ里面偏r偏qk

δqk

好 就等于这样一个式子

然后我们回忆一下

我们曾经讲过质系的

动力学动能定理

也就是说Σ里面的Fi减掉

mi r两点

点乘以δri等于0

现在的话呢 我们把这个

修为δri的话呢

用我们的广义坐标形式带进来

我们看看会是什么结果呢

好 我们先把它展开

分成两部分

其中的话呢 第一部分

就是F点乘δri求和

大家有没有想起来

这部分的话呢 出来就是什么呢

出来就是Σ里面广义力qk

乘以δqk

这是我们以前讲过的

好 这个称为叫广义力

Q 大写的QK是广义力

那么下面我们看看 第二部分

就是说质量乘以加速度

再乘以δ ri 是什么呢

我们来看一下

我们把它稍微改写一下

把δri 的话用广义坐标带进去

然后稍微处理一下

这是用的加法的交换律啊

稍微处理一下这样

我们看看括号里面的话呢

就是说Σ 里面负的mi ri两点

再点乘以偏ri 偏qk

这部分是什么呢

我们把它定义成

叫广义惯性力

那么这个定义的话呢

和前面广义的意思类似的

第一

它的那个 象征是它是一个

它是一个惯性力

因为它出现的质量乘加速度

可以认为是惯性力

其次的话呢 它不是真实的力

它是某种组合 所以叫广义惯性力

这样一来的话呢

我们说 动力学普通方程的话

可以变成这样一个问题

就变成是

原来是Σ 求和的时候

是从 i从1到小n的

很多个质点

现在变成什么呢

变成是 求和的时候是

k1到大N

1到大N的话是它的自由度的数目

就变成是Σ 里面

括号大qk加上大qk星号

再乘以δqk等于0

这边是什么意思 就是说广义力

加广义制动力乘以

对应的广义坐标的变分等于0

变成这样一个问题

同时的话呢 我们再考虑一下

如果这个系统是完整系统的话呢

但是它的完整系统是什么

是广义坐标的变分还是独立的话

那么它可以进一步出来什么呢

就是变成qk加qk*等于0

因此的话 得到什么结果呢

就是说在理想完整约束情况下的话呢

就得到是广义主动力

和广义惯性力相互平衡

变成这样一个结果

说到这的话呢 我们顺便再说说

我们为什么在以前讲约束的时候

为什么要分类分成是

理想约束啊 完整约束啊什么的

我们发现在这边用上了

所以它有一定的限制条件

好下面我们着重来看看这个

广义加广义惯性力等于0

这个方程的话呢

我们把它稍微再处理一下

我们记住的话呢 这个广义力

定义的时候是真实的力的某种组合

而广义惯性力是惯性力的某种组合

那么下面我们的问题是

在计算广义惯性力的时候

设计到一个加速度ri 两点

我们以前在学

运动学的时候应该知道

加速度分析比较复杂

所以的话呢 我们就想

能不能有一种更好的方法

把这个涉及到加速度的计算

把它简化 就是这个问题

所以的话我们来看看回顾一下历史

就是在历史上的话呢 有很多人

比如有不同的方法

来处理这个广义惯性力

由于不同方法的话得到不同的结果

那么今天的话呢

我们着重的介绍的是

拉格朗日的思路

看看他是怎么处理的

所以下面我们看看

拉格朗日他处理的时候

利用了什么关系

这个关系的话 我们把它称为叫

拉格朗日关系式

我们着重来看一下

好 首先第一步

我们把任何一点的矢径的话呢

用广义坐标q1到qn表示出来

同时可能还得需要一个函数

好 下面的话呢 我们注意

把这个式子两边的话呢

对时间求导

好 左边的话就写出是ri 一点

这是它的导数

一点表示对时间的导数

好 我们着重看右边

右边的话呢是一个多元函数

求导 所以的话出来之后是什么呢

是Σ里面偏ri 偏qj

然后的话乘以q接一点

再加上偏ri 偏t

因为你注意这个时候求导的时候是

差不多是对时间求导数

不是求偏导是求导数

所以有这样一个结果

好 注意

我们下面把这个式子

再对广义速度 对qk一点求导数

这个求导数的话是 实际上是求偏导

那么会有什么结果呢

好 左边的话就是说

偏ri 偏qk一点

要注意

它有很多很多项展开之后

但是呢我们现在是对qk一点求偏导

只有显含qk一点的话呢

它才出现

因此的话呢 只有当下标

j 等于k的时候才出现

所以右边就变成

偏ri 偏qk 了

好 所以变成这样一个形式

就是说 下边j 等于k的时候

这一项才有贡献

好 所以这是一个式子

这个式子的话呢

就是拉格朗日式子中的第一个

我们把它记住

下面的话呢 我们接着看

我们把ri 一点的话呢

再对qk 求导数

当然这个也是求偏导

我们看看是什么结果呢

好 左边的话比较简单

就是偏r一点 偏qk

右边的话呢就稍微复杂一点点了

这时候我们注意到

就是 首先的话呢

就是 偏r 偏q的话呢

这里面会有和广义坐标有关系

然后呢 偏r 偏t的话呢

可能也是和广义坐标有关系的

因此出来之后啊

会出来两项

好 我们看看等于多少呢

就是说偏r一点偏qk

等于Σ偏q 然后后面是什么呢

后面就偏r 一点

就是偏r 偏qk

再乘以q接一点

再加上偏t

偏r 偏qk所以出来两项

好 有两项的话呢

我们把它稍微处理一下

稍微合并一下

把它移到一起之后

得到这样一个式子

这个式子的话呢 我们把它

来看一下

我们看出来的话呢

这个方程的右边

它可以合在一起写成什么呢

首先是偏r 偏qk的

对时间的导数

这样一来的话问题就简化了

就变成是偏r一点偏qk

等于偏r 偏qk的

对时间的导数

大家可以验证一下看看

好 那么这个框起来的公式的话呢

也叫拉格朗日关系式第二式

所以的话呢 我们这一页里面

出现两个关系式

这两个式子在后面

要用到它 所以我们先把它

单独的列出来

好了 下面我们来介绍

第二类拉格朗日方程的推导过程

我们着重的话呢先看看

广义惯性力它是这样定义的

广义惯性力qk*等于负的Σ里面

质量乘以加速度

再乘以偏r 偏qk

好了 这时候的话呢

我们利用一下速度中的

分步 就是求导方法啊

把它展开来

我们打个比方 就是

x乘以y括号求导数

等于什么呢

等于x的导数乘以y

加上x乘以y的导数

我们把这个式子啊

移向之后的话呢

就是我们这个式子

所以说我们这里面的x的话呢

你可以看得更复杂一点

y看得更复杂一点而已

好了 我们可以验证

这个等号是成立的

然后我们下面要利用

刚才说的 拉格朗日关系式

把偏r 偏qk的话呢

用偏r 一点偏q 一点k一点

表示出来

其次的话呢

我们把后面这项

也代换一下

我们知道刚才说的拉格朗日关系式

还有一个关系式

我们把

偏r 偏qk对时间的导数

换成是偏r一点偏qk

换完之后的话呢

我们知道一个新的含义新的式子

好了这个新的式子的话你注意到

现在全部换成的是

和r一点有关系的

它可以进一步处理

它处理完之后出现什么结果呢

出现了什么呢

二分之一的m乘以r一点的平方

在前面再加上偏导什么的

关键是这一步

就是说 通过适当处理之后的话呢

把它的加速度

变成的是和速度有关系

再进一步变成和动能有关系

因此

可以写成这样一个形式

最后就是说这个广义惯性力的话等于什么呢

等于偏t 偏qk一点

对时间的导数

和偏t偏qk

那么这里的t的话是动能

也就是说拉格朗日的话

当年他处理这个问题的时候

他利用他前面导出的关系式

把广义惯性力的话呢

本来设计的和加速度有关系的话呢

变成了和动能有关系

那你想想我们以前学的运动学知识

求 动能的话呢

应该是比较容易的

而且加速度的话呢 比较复杂

所以利用这种关系式的话呢

就把问题简化了一步

好了 我们再回到刚才说的

动力学方程我们化完之后

利用广义坐标化完之后化成什么呢

广义力加广义惯性力等于0

而现在的话呢我们的广义惯性力

又变成和动能有关系

好 把它带到一起之后的话

得到这样一个结果

就变成是

偏t 偏qk 一点

对时间的导数

减掉偏t 偏qk

等于广义主动力

所以说知道广义力等于qk

这个k的话是从1 2到n

和你的这个度数有关系

那么这个方程的话

就称为叫第二类

拉格朗日方程

为什么叫第二类

因为还有第一类

但是第一类的话我们书上暂时没介绍

以后有机会的话我们可以学的到

好 这个方程

是一般情况下得出来的

那么如果在特殊情况下

我们来看看 比如说

如果主动力都是有势的话

会怎么样

我们曾经前面介绍的话

如果有势的话会有什么呢

就广义力

是等于负的偏V偏qk

这个V的话是适当函数

好 如果是这样的话呢

我们把它处理一下

就是把qk的话换成这个

负的偏v偏qk

同时的话呢

我们再利用一下

我们曾经说过

如果是有势的话呢

有势能函数的话

是和它的速度没关系

是和位置或者时间有关系的

和速度没关系

因此的话偏v 偏qk一点

是等于0的

好了 我们把这个式子也带进去

然后的话移下项之后啊

就得到一个新的式子

偏l 偏qk一点的导数

减掉 偏L偏qk等于0

这时候的话这个L 是什么呢

L是等于T减V

也就是说动能减势能

减完之后我们把它

称为一个新的名字

叫做拉格朗日函数

或者叫动势

那么

这样的方程叫做什么呢

叫做主动力有势情况下的

拉格朗日方程

这个方程的话比一般情况的话呢

又简化一点点就是说它的

右边都是为0的

那么 我们来讨论一下

拉格朗日方程的特点

首先的话呢

拉格朗日方程的方程的数目

是等于质系的自由度的数目

也就是说它是需要的

最少的量的方程

我们分析的话是

我们可以比较

如果用到牛顿方法处理某些问题的时候

要拆开系统

暴露出很多未知力

要补充方程

所以方程数目会比较多

而利用拉格朗日方程的话呢

你需要几个方程

它就列出几个方程

所以它数目是最少的

其次的话呢

利用拉格朗日方程处理问题的时候

它是不需要考虑

理想约束的约束反力的

我们知道的话呢 一般来说

这个约束它的约束反力总是未知的

在某些情况下的话呢我们可能

并不关心这个约束反力的大小

我们可能关心这个系统怎么动起来啊

受什么主动力影响啊

所以的话呢 在很多问题中

可能我们不需要求约束反力

所以的话拉格朗日方程告诉我们

利用这种方式的话你不需要它

你就不用关心它不用求出来了

我们说这个的时候也是看对比

就是说牛顿力学的话有的时候

你看它不需要这个

但是你要把它求出来

其次的话呢 很重要一点

利用拉格朗日方程的话呢

它只需要分析速度

不需要分析加速度

因为它只要列出动能和势能

我们知道的话呢 分析速度

通常来说是比较容易的

而分析加速度的话会更复杂一些

此外还有一点很重要 就是说

拉格朗日方程的话

它提供的是一个标量方程

我们回忆一下我们以前在学

动力学定理的时候的话呢学了

动量定理 动量矩定理

那它们是矢量方程

那么以前在做题目时候的话呢

需要一些技巧

就是说 你到底这个题目

用什么样的方程

用的好的话可能简单

用的不好就比较复杂了

那么现在的话拉格朗日方程的话

就不需要你考虑这些问题了

你只要这个适合用拉格朗日方程

它就可以程序化的

一步步的把它做出来

所以的话呢 从定义上说

拉格朗日方程的话呢

使得问题更简化了