7-2-3 刚体定轴转动微分方程在线视频

好 大家好 那我们介绍第三节

就是刚体定轴转动微分方程

那么这一节的话实际上是前面的

动量矩定理的一个应用

我们先假设的话呢

这个刚体啊绕这个z轴做定轴转动

那么它的动量矩的话可以写出来

是什么呢是

Lz=∑把每个点的动量

对于它的轴的那个轴心啊取矩

就是说miriω.ri

好那么把这个式子的话呢

把它稍微处理一下

因为ω是刚体运动的时候是公共量

所以对每个质点都是ω 把它提出来

就变成∑里面(miri2)ω

是转动惯量乘以角速度

这个转动惯量是绕这个竖直轴的转动惯量

因此的话呢

质系对于定轴z的动量矩定理

可以把它写成这样一个形式 就是说

把这个动量矩对时间倒数

等于所有的力对z轴的一个矩

那么具体的写出来的话 可以写成什么呢

就是说转动惯量乘以φ两点

这个φ的话就是说我们

可能它转动的时候一个角度

按照图上的话呢从某个标注线开始

到那个转那个角度φ

也就是说转动惯量

Jz乘以φ两点等于所有的力对z轴的矩

好 这就是刚体定轴转动的微分方程

它是说刚体对定轴的转动惯量

与角加速度的乘积

等于作用在刚体上的

主动力系对该轴的力矩

那么我们来看一下 对于不规则物体啊

这个转动惯量怎么分析呢

我们常常是用回转半径

来表示它的转动惯量

比如说 假设一个不规则物体

它绕这个轴的转动惯量是多少呢

我们会把它等价于以这样一个情况就是

还是这个轴 但是呢把这个物体的质量啊

把它看成一个很细的一个圆环

也就是说全部集中在圆环上面

在这种情况下 我们可以把它写出来

就是说Jz比如说这个轴z轴啊

Jz等于什么呢

mρz2

把其中ρz的话是什么 就是说

从转轴到它的一个圆环的距离

好也就是说对不规则物体

同样用这种方式啊进行一个等价转换

其次的话呢我们再介绍一下就是说

转动惯量的移轴定理

那么如果这个刚体的话

绕着这个竖直轴转动

特别的话假设它是过质心C的话

它有个转动惯量

那么有的时候的话呢

可能它绕着另外一个轴转

我们看看它是什么结果呢

假设这个轴的话呢过O点

其中C和O之间的距离是d的话

那我们看一下什么结果

它有这样一个结果

就是过O点的转动惯量

等于过C点的转动惯量

然后加上一个附加项

这个附加项是md2

d的话就是OC之间的距离

那么这个前提是什么呢

就是做定轴转动

这两个轴都是平行的情况下

有这样一个结论

那么通过这个公式我们看出来

因为是右边是Jc+md2

md2总是大于等于0的

因此我们看出什么呢

在所有的平行轴中的话呢

过质心的这个转动惯量是最小的

好利用这个公式的话我们可以找到

任意两个轴它们之间的关系

可以把它找出来

我们可以通过质心来过度一下就可以了

那么下面我们介绍一下这个

转子的静平衡和动平衡

这个的话呢涉及到什么呢就是说

比如说你的汽车 你的轮子啊

安装的时候要考虑它的静平衡还有动平衡

一个转子当它满足

静平衡和动平衡之后的话呢

它可以放在轴上面呢

在任意位置都能保持处于平衡状态

但是呢你可以想象如果你装的时候啊

有个偏心 它就是静不平衡

这时候的话你放的时候啊它自动

它重心总是跑在那个悬挂点下方去了

哎这就是静不平衡

那这时候怎么处理呢

你可以通过调节它的那个重心位置

把它比如说挖下一块

或者另为一边加上一块都可以

还有一种的话呢就是说

你放的时候啊它的那个

重心位置啊是在那个轴上面

但是你装偏了

这时候转起来之后的话呢

也会震动起来

就是说这叫动不平衡

它的质心虽然在那个轴上面

但是它转的时候由于两边的话呢

是倾斜了 会有额外的惯性力产生

因此会产生一个动反力

这个动反力的话呢

会使你的轴承磨损的比较厉害

所以的话呢你需要调整

调整的方式的话呢

你可以在它某个地方挖掉一块

也可以在另外一边的话呢

加上就是焊上一块也可以 都可以

那么我们的汽车轮胎在出厂之前的话呢

都要经过动平衡和静平衡

这样的话呢才开起来的话呢比较舒适

否则的话呢如果是有

静不平衡或者动不平衡的话呢

你的车子开起来就会晃晃悠悠的

而且的话呢轴承呢容易磨损

好所以这是利用了

刚体定轴转动的知识的话呢

可以来解决一些问题