4-5 考虑摩擦的平衡问题例题1-6在线视频

例1，一个物体放在一个粗糙的斜面上

它们之间的摩擦系数是μ，角度是α

好，我们进行受力分析

物体受一个重力、摩擦力和支撑力

那么，我们可以列出沿着斜面

和垂直斜面的平衡方程

很快把它列出来，列出之后

我们可以把它解一下，但是要注意

因为平衡的时候还要满足一个条件

就是摩擦力小于等于

摩擦系数乘以正压力

因此，考虑这个之后，我们把它求解一下

求出来 tanα小于等于μ

而μ等于tanθm

θm就是我们定义的摩擦角

那么从这公式，很快就得到

α角度是小于等于θm

也就是说，平衡的时候

（斜面）这个角度要小于摩擦角

或者是说，平衡时候的主动力P

要落在摩擦锥内

例2，一个长度为2l的均质杆AB

搁在一个圆球上面，半径为r

A点是光滑铰链

其它地方接触处的摩擦系数为μ

我们要求一下：平衡时候

杆和水平面的夹角θ角度

最大是多少

注意这是一个多点接触问题

因为D这一点和C这一点都是接触的

都是有摩擦的

所以是多点接触问题

我们来以圆柱为研究对象

把受力图画一下

然后，我们把力系向O点取矩

向这一点取矩有什么好处

可以让支撑力

C点支撑力和D点支撑力不出现

我们可以直接找出摩擦力的关系

得出来：D点和C点摩擦力相等

然后，我们再对A点取矩

A点取矩

可以得到一个什么结果

可以得到C点的压力是等于

重力加上D点压力

也就是说，C点压力

大于D点压力，这点很关键

好，我们同时考虑这两个结果

一个是摩擦力相等、一个是压力不等

因此我们可以说，如果要打滑

是D点先达到临界状态

也就说，我们在列方程时候

可以让D点先取等号

然后C点是小于等于

好，这样一来

我们再列个方程

向竖直方向列个方程，（力的）平衡方程

从这方程中，可以解出来

cosθ加上摩擦系数乘以sinθ等于1

那么这个方程解有两个

一个是等于零

一个是两倍的artanμ

也就说，在平衡的时候这个角度

最大值

可以是2倍的摩擦角

好，通过这个例题

我们可以理解下面的这个事实

NBA的队员他们通常

可以一个手抓住一个篮球

但是我们通常做不到这个

我们注意，不是我们力气不够

而是我们的手掌大小可能不合适

我们的手掌可能比较小一点

所以包住球的时候可能张角不够

其次，我们可以提个问题

假设你用筷子去夹乒乓球

或者花生米什么的

你能夹起多大的小球

同时

你的手是抓住筷子前端好

还是后端好?你可以分析一下

例3，图示电线杆工人往上爬

他脚上穿着这个一个装置

这个装置俯视图如图

假设我们知道尺寸

要求一下这个套钩不致于

下滑的时候，这个脚踩的位置

离中间的位置l是多少

那么，我们有不同的解法

我们看，解法一

先取套钩为研究对象

也就是把AB，把这个套钩

做研究对象，做受力分析

那么A点

受到一个支撑力、摩擦力

B点，支撑力、摩擦力

然后再加它受到的重力

这个系统在这几个力的作用下平衡

我们可以先用解析方法

可以根据水平方向力的平衡

竖直方向力的平衡以及

系统对A点力矩的平衡

可以列出三个方程来

好，我们把三个方程列出来

然后，补充方程，因为摩擦问题

都需要补充一下

摩擦力小于等于摩擦系数乘以正压力

补充这样两个方程之后

然后把它联立求解

当然这个问题解起来还是有点复杂的

通过一些处理之后可以解出来

l是大于等于b除以两倍的摩擦系数

那么这个l是什么

从这个电线杆的中线到你踩的位置

这种方法是解析方法

中间需要大量的一些分析计算

那么第二种方法

我们来看看，是几何方法

我们把A点的支撑力摩擦力合在一起

得到一个全反力RA

B点得到一个全反力RB

这样一来ABC这个套钩

在三个力作用下平衡

要满足三力汇交条件

同时对于摩擦问题

这个全反力应该落在摩擦角之内

根据这个一个条件

我们就可以得到一些

受力图如图，找到它那个交点

三力汇交的一点，C点

那么根据三角形ACD

A点、C点和D点

我们得到这样一个关系式

二分之一的AD，这个（AD）的一半

等于长度，AC的长度乘以tan这个角度

这个角度正好是摩擦角

根据这关系

很快就得出这个的一个结果

求出来：l的最少值是b除以2μ

这个结果跟前面结果是一样的

但是，这个结果分析起来更简洁一些

当然我们可以提个问题

这个结果中，l的这个距离

和工人的体重没关系

只和这个参数有关系

和这个距离d有关系

和摩擦系数有关系

和工人体重没关系

那么这个结果合不合理呢

大家思考一下

下面，我们讨论一下

我们说：C点是三力汇交的一点

为什么说：C点的右边是安全区

而左边不是呢

那么，我们就以这个图为例

我们假设这个人往前走一点点

更靠近这个杆子的中心点

这时候我们说是不安全的

那么为什么呢？我们来看一下

假设这个人站在这个位置

这时候你看：A点和B点的全反力

在摩擦锥里面，所以

满足了摩擦力反力在摩擦锥内的条件

但是不满足三力汇交条件

你看，RA和我们这个P力交于上一点

RB交于下一点，这两点

不是同一点

因此不满足三力汇交条件

而我们说：刚体三力平衡要满足

三力汇交才能平衡

而不满足就不平衡

有什么意思呢

如果人走到这儿就会落下来

掉下来，所以是不安全

有同学会说：我能不能这样画

我让它这个力位置变一下

交于这一点就不是三力汇交了吗

好，如果这样会有什么问题

的确三力汇交是满足了

但是你看：B点的摩擦全反力已经

超出了摩擦角

所以也是不平衡的

所以说，你不管交于这一点

还是交于下一点

总会有个条件不满足

三力汇交和摩擦力在摩擦锥内

总是有一个不满足

因此，人如果站在C点的左边

就是不安全的

好，站在右边就安全吗

假设我们往右靠一点点，站在这个位置

这时候有人会说：如果在这位置

也是不满足三力汇交

你看：RA、RB交于不同的点

为此我们说

当他往右边站的时候

他的受力状态好像发生了改变

我们看右边这个图

比如说，它可能会交于这一点

如果交于这一点

我们看到RA和RB全落在摩擦角内

因此没有矛盾：既满足三力汇交

又不超出摩擦角

所以在这样的情况下是安全的

但是我们要说明一点

三力汇交，交于哪一点？是这一点吗

还是别的点

我们说：根据我们静力学的知识

是不能确定的

我们只能说（交点）在这里面都是安全的

具体是哪一点，是这一点

还是偏上点、偏下点，我们不知道

所以说对于摩擦问题，解答是一个范围

我们只能说在这个范围之内是安全的

这也回答我们另外一个问题

为什么我们的摩擦问题通常是

求解在极限情况下的一个解

那时候是一个确定值

如果不是极限情况

它的解就是一个范围

例题4，例题四是一个

绳索和刚体的摩擦问题

我们假设知道摩擦系数、圆轮的半径

还有这个绳索和它之间的张角β

以及假设T1大于T2

问皮带不致于打滑的

T1和T2的比值是多少

大家注意，由于有绳索出现

所以我们受力分析跟前面是不太一样

我们要考虑皮带的平衡

而皮带本身是变形的

所以我们要考虑皮带的微元平衡

我们取出某一个微元来

皮带这一段，取出来

把它画出受力图

皮带（下面）这一端受张力T

（上面）这一端，由于有一个

距离变化之后，张力变成T+dT

支撑力、摩擦力

因为是微元

所以支撑力和摩擦力都是很微小的

下面我们来看一下，它的受力分析

好，下面我们继续受力分析

我们把坐标建立起来

竖直方向是x，水平方向是y

我们先看看x方向的受力平衡

可以得出来

dT=dF，那么这地方要稍微说明一下

在竖直方向看，dF是竖直方向

dT还有一个张角

这个张角是二分之一的dβ

所以，严格说应该是什么呢

应该是dF等于dT乘以cos（1/2dβ）

但是我们要注意

因为我们现在分析的是微元

这个是微元

所以这个张角是微小的

因此cos（1/2dβ）等于1

所以要说明一下

那么再对y方向进行受力分析

可以列出来：dN等于T乘以dβ

这地方严格说是什么呢

dN等于T乘以sindβ

sindβ在微元情况下是小量

这样sindβ约等于dβ

好了，我们再补充个方程

在极限情况下，因为临界情况

还满足摩擦力等于压力乘以摩擦系数

那么对于微元也是满足这个条件

好了，有这三个条件之后

我们稍微处理一下之后就得到了

dT等于μ乘以T乘以dβ

那么，我们把它进行分析

分离变量之后，进行积分，可以得到一个结果

自然对数下面的T1除以T2，等于μ乘以β

那么这个解把它再处理一下之后

就可以得到T1等于T2乘以e的μβ次方

也就是说，T1和T2之间存在一个指数关系

好，把它移下项之后得到

T1比T2等于e的μβ次方

那么注意这个极限情况

它可以小，但是最大就是这个值

我们来讨论一下刚才那个结果

比如说，假如这是个树干，然后

用个绳子绕两圈之后

这边用T1，这边T2来拉它

那么我们想看一下

绳子不打滑时候T1的范围

假如T2的力是500牛，T1取多少呢

我们来看一下，根据我们刚才分析

T1和T2的比值，如果按T1大是取（右）这边

T1小的话取（左）这边

好，因此它是个范围

那么我们具体代入T2和μ的比值

算一下看看，绕两圈这个张角是4π

好，具体代入之后发现T1比T2就在

535分之一到535之间

所以是个很大的范围

那么下面

我给大家看一下，如果绳子绕一圈

它要动的话，力是多少倍呢

是23倍，也就是说你要大于23倍

它才能拉动起来

如果是在23倍之下，它就会平衡

如果绕两圈是535倍

绕3圈、4圈、5圈，后面就是天个数字

通过这个例子你就知道，如果拔河的时候

有一方作弊，把绳子

比如说绕在某个树上一圈

那对方是没法赢的，当然你也赢不了对方

好，例五

为什么推动物体的时候，直接这样推很费力

但是只要下面加些滚轮就比较省力呢

或者直接推个圆形的物体

圆柱形的物体就比较省力呢

我们来分析一下

同时我们可以顺带回答这个问题

为什么骑自行车的时候

自行车车胎如果气比较足好骑

如果气不足就不好骑，这是为什么

这些问题都是相关的，我们来看一下

我们先看，假设一个球在一个水平面上

我们用个力去推它，用T这个力去推它

这个时候球会怎么样运动呢

我们进行受力分析看一下

我们画出受力图，一个推力、水平推力

一个重力，然后地面支撑力和摩擦力

好了，画完图之后，我们把整个系统

对A点取矩，会是什么结果

我们会发现：整个力矩会等于

推力乘以半径，T乘以r，那是大于零的

这什么意思呢

也就是说，如果按照我们这个受力图

只要有一个微微的小推力T

这个球就会动起来，因为它不平衡

就会动起来，换句话

这意味着不管推力多大，球都不能平衡

这个好像和我们的经验不符合

比如说，我们把个铅球放地上

我们推它

可能需要稍微大的力才能推起来

那么问题在什么地方呢

在实际中，我们需要考虑

接触点的变形，假设这是个铅球

这是地面，那么接触的时候

地面明显会有些变形

那么我们画出新的受力图

我们把这个变形的位置稍微把它夸大一下

等于说它有一个局域的接触

那么根据我们的受力分析

这个接触地方每点都有接触力

力还很复杂，但不管怎么复杂

它都会等效为一个主矢量和主矩

我们把主矢量分解为两个方向

竖直方向就是支撑力

水平方向就是摩擦力

然后根据力系简化的进一步结果

可以这样把摩擦力放着不动

但是把支撑力移动一个位置

移完之后可以使这个主矩

Mf不出现，等价的

好，这样一来

我们就有一个移动位置δ

这个δ就称为滚动摩阻系数

它的单位是[米]，移动多少米

那么最大滚动摩阻

这个M和正压力成正比

就有这个一个关系式

Mfmax等于δ乘以N

那么对于实际问题

δ除以r是远小于μ的

在实际问题中，通常摩擦系数

一般在0.3左右，0.3左右

而δ除以r

可能只有百分之一，或者千分之一

这样一个量值

所以，我们知道滚动摩阻就很小

摩擦会比较大

所以物体滚动时候远比使其滑动省力

最后，我们给大家几个思考题

因为我们把关于摩擦的问题已经讲完了

那么有三个思考题

一个是

有的人在系鞋带时候，容易散开

你知道这是什么原因？

如果你是设计师，你会考虑怎么设计鞋带

第二个问题是

自行车的气如果不足

骑着就会比较费力

那么你怎么解释一下

第三个有点挑战性

你能否设计一个装置

它可以挂在绳子上面自锁

但是呢，把这装置倒过来之后，就不会自锁

所以我们要求这装置做完之后

越轻越好，你该如何设计

好，请大家思考一下