7-2-2 质点系动量矩定量在线视频

大家好 今天我们讲新的一节

质系动量矩定理

我们以前讲动量的时候

说过有动量定义之后介绍一个动量定理

那么今天的话呢

我们讲动量矩之后也讲动量矩定理

所谓动量矩定理是什么意思呢

就是动量矩的变化和力

或者和力矩的关系 下面我们来看看

因为我们前面介绍了 这个动量矩啊

在计算的时候啊 可以分两种情况

一种是算绝对运动对某点的动量距

一种算相对运动的动量矩

所以话呢 动量矩定理呀

也要这样分一下

好 我们先研究绝对运动的动量矩定理

首先看看绝对运动

好首先的话呢 我们看一下

绝对运动的动量矩定理

先看看绝对运动是这样定义的

就是说LA=n∑di×mivi

这是绝对运动对A点的动量矩

那么这个LA对时间变化等于多少呢

我们把公式带进来之后两边都来进行求导

对时间求导 出来有这样一个式子

那么这个式子的话呢我们可以注意下

就是首先的话呢 把它展开之后分两部分

我们注意下就是说miXai的话呢

就是说质量乘以加速度啊

根据我们前面说的动量定理知识的话

等于什么呢内力加外力

好 然后呢我们再利用一下A点

到这个质点是矢径是di的话呢

这个di对时间的导数

是等于什么呢

是di对时间变化

等于vi减掉va

好我们把它带进去之后啊

就得到这样的一个式子就是说

绝对运动对A点动量矩的导数

等于负的∑里面

va叉乘以mivi加上

∑里面di叉乘以Fi

但是当然这是外力

因为内力抵消掉了

然后呢把它稍微合并一下之后

就得到这样一个式子就是说

绝对运动对A点的动量矩它的导数

等于什么呢等于所有的外力对

a点的力矩加上

总质量乘以Vc叉乘以VA

得到这样的式子表达什么呢

就是说系统的绝对运动

对a点的动量矩的时间变化

和外力矩的关系

当然要注意一个附加项

附加项是mvc叉乘以va

所以这是一般情况的公式

那么需要说明的是什么呢

这质系动量矩的变化

仅仅取决于外力系的主矢量

那么内力的话

是不能改变质系的动量矩的

好下面的话呢我们再来看看

这个相对运动对A点的动量矩

它也可以来对时间求导数

那么它是怎么样的呢

首先我们看看相对运动

对A点的动量矩怎么写呢

就是LAr等于∑里面

di叉乘以mivir

那么我们把vir的话呢换一下

变成什么呢vi减掉VA

好 这样一来呢

我们得到一个这样的式子

把这个式子两边对时间求导数

得到什么呢

得到这样很长的一个式子啊

我们再次利用下 质量乘以加速度

等于力 力的话分解为内力和外力

以及这个di这个矢径 对求的导数

就等于vi减掉vA等于viR 好 我们把

把这两个关系带进去之后

可以得到这样一个式子

得到下面这行式子

那么这个式子的话呢

把它再稍微的处理一下

就得到什么呢

就得到这样一个式子

就是说系统的相对运动

对A点的动量矩

对时间的导数等于所有的外力对A点矩

然后减掉rAC叉乘以mA点的加速度

好 这就是相对运动得到的公式

那么注意这个公式的话呢

我们的教课书上没有

所以说的话呢给大家

供大家参考就是我们会比较一下看看

绝对运动 相对运动动量矩的公式

那么下面的话呢我们给个小结

因为这一章节的话呢公式比较多

我们给了很多公式

可以把框架公式记住好 比如说

绝对运动对A点动量矩的变化

看到一个式子 特别是注意

它里面有两项 一项是

所有的外力对于A点的矩

以及一个附加项

总质量乘以vc再叉乘以vA

好这是绝对运动的公式

那么如果A是一个固定点的话

那么vA为零

可以退化成这样一个式子说

绝对运动对A动量矩的变化

等于所有的外力对A点的矩

如果A点不是固定点

但是速度瞬心的话呢

那vA也是等于零的所以它也可以

把它简化成这样的公式

如果A点是可以动的

但是它是一个质心的话呢就变成了

附加项里面呢就变换成了

VC叉乘以VC可以为零

所以呢也可以把它简化 这是我们关于

这个绝对运动的表达式

那么相对运动的话也有一串表达式

但是这串的表达式的话呢

可以参考的记一下就是说

它也会有一个附加项

这个附加项的话呢

是减掉rAC叉乘以ma的加速度

那么它也可以退化 如果A点是固定点

它也可以退化出一个结果

如果A点是瞬心也退化一个结果

特别我们注意

如果A点是质心的话

相对运动的动量矩公式

也会比较简单所以的话呢

我们可以把最后两个公式

合并成一个公式

就是什么呢 绝对运动对于

质心的动量矩的定理

和相对运动对质心运动的

动量矩定理是一样的

好 利用这个关系式呢

可以把很多问题简化

好了 我们这么多公式话呢

框起来的公式话呢可以把它记一下

其他颜色的话呢就是比较一下就可以呢

那么下面我们介绍

质系动量矩守恒定理我们这样的话呢

比如说以绝对运动为例的话呢

绝对运动对A点的动量矩的话呢

对时间导数等于所有的外力对A点的矩

如果这个外点的矩等于零的话呢

我们可以得到一个守恒的公式

把积分积出来就是说

LA等于C就是说系统

对于A点的动量矩等于一个常数

那表示什么呢

当外力系对某定点的主矩

等于零的时候

那么质系对该点的动量矩

保持不变 好 那么这个还个

还可以有退化情况 如果 比如说

这个外力的主矢量对某个轴

等于零的时候对某个轴的

主矩等于零的时候

它可以退化出什么呢 退化成这个

沿着这个轴的动量矩分量等于常数

这也可以

好我们看一下特殊的情况

比如说这是一个

很有名的一个例子就是说

如果一个人坐在一个转盘上面

转起来 手里拿着一个哑铃

一开始的时候

他就是说把它张开的话速度会比较小

那么他一收拢的话呢

转速就会比较加快 那么类似的话呢

那么滑冰运动员也是这样

他可以先让自己可以转起来

张开手 然后的话

把手这么一合拢的之后的话呢

他会转的特别快速

所以很多滑冰运动员就会

按照这样的方式收尾

好 这是关于动量矩守恒的一些例子

好 那么我们看看就是说

如果A点换成C点的话呢换成质心的话呢

也有类似的公式 那么如果

这个系统的所有外力

对于C点的力矩等于零的话

那么可以得出什么呢

就得出系统对于质心的动量矩

等于常数 那么也就是说外力系

对质心的主矩等于零的时候

系统对于质心的动量矩保持不变

那么这个的话呢也可以举个例子

我们下面看一下

那么这个图啊是一个人造卫星

我们知道的话人造卫星的话呢

它可能出于某些目的啊需要旋转

然后有的时候也还要消旋

那么这个的话呢

叫人造卫星的YO-YO消旋系统

它怎么做的呢 开始的时候

如果是转速比较高啊

它可以甩出两个小球用绳子连得甩出去

你可以想象的话一甩出去之后的话呢

转动惯量增加了

因此的话呢它就会转速减慢

好 甩得越远的话呢

转速就越低了 当它转到一定时候

如果是达到要求的时候

它可以通过它的装置啊把那个绳子剪断它

剪断之后呢 两个小球飞跑了 那个卫星的话呢

转速就降下来了

所以利用这一的方式的话呢

就可以实现卫星的消旋

当然这是比较早期的卫星消旋哈

这是一种方式利用了动量矩守恒定理