当前课程知识点：理论力学 > 第七章 质点系动力学 > 例题 > 7-4 质系普遍定理的综合应用例题1-2
例一 长度为l
质量为m的均质细杆AB
静止的立在光滑的水平面上
当杆受到微小扰动而倒下时
求杆子刚刚到达地面时
的角速度和地面的约束力
那么 这个题目的话呢
有很多种方法求解
第一种方法的话呢 我们看一下
根据 质心运动定理
因为是光滑的面
所以的话呢 杆子在倒下过程中
其质心的话呢 一直是沿着竖直下落
这样一来的话呢
我们看 C点是竖直下落
A点的话在地面上水平运动
因此在它到达水平的状态时候下
我们可以看出A点是速度瞬心
我们看看
如何求解杆子
刚刚到达地面上的角速度
好 A点是速度瞬心
那么 我们可以求出来
速度的话 满足什么呢
就是以A点为瞬心的速度是
满足Vc等于二分之一的lω
那么 杆子的话
动能的话表达式应该是什么呢
它是包括两部分组成
一部分是二分之一的质量乘以速度平方
这个速度是质心的速度
再加上二分之一的转动惯量
乘以角速度平方
那么代入Jc等于十二分之一ml2
就会得到
动能等于六分之一的ml2ω2
我们利用一下 动能定理的有限形式
就是从竖直位置
到这个位置时候
动能的变化应该等于重力做的功
好 那么开始的时候静止
所以的话是等于
六分之一的ml2ω2减掉零
等于重力做的功
二分之一mgl
那么通过这个式子
就会求出角速度等于
根号里面3g除以l
下面我们求一下
杆儿到达地面之后的地面约束力
这时候 地面就只有A处有约束力
也就说 这一端的话呢
接近于地面而没有挨着地面 这一瞬时
由刚体的平面运动微分方程
可以得到这样的方程
质量乘以加速度 竖直方向加速度
等于竖直方向外力
重力减掉A处的支撑力
然后再列一个相对质心的动量矩定理
那么这是两个方程 三个未知数
ac ε和N是未知数
所以再补充一个方程
我们可以补充一个 关于加速度的方程
就是 以A为起点
来分析C点加速度
有这样一个公式
那么 我们可以把这个公式
向铅垂方向投影
得到这样一个表达式
ac等于
二分之一的l乘以ε
这样的话 我们多了一个方程
和上面两个方程联立之后
就可以解出支撑力
下面 我们用其他方法进行求解
这些方法的话呢 供我们参考
一种是动静法求解
我们前面已经分析了 C点加速度
我们把它写出来
有加速度之后的话呢
我们可以把惯性力加上
同时的话呢 加上惯性的力矩
也就是说
这个物体在主动力 约束力
和惯性力作用下
变成一个平衡力系
然后的话呢 可以用
静力学方法进行处理
比如说对A点取矩可以得到
角加速度的大小
以及根据y方向的 力的平衡
可以求出N的大小
用这种方法的话呢
就变成一个静力学问题
可以对任意的点取矩 都可以
好 我们看解法三
直接对A点的动量矩定律
这里考虑的是绝对运动的动量矩定理
我们用的是这个公式
注意这里面 要注意 因为A点是动点
所以的话 有个附加项在里
那么我们看一下
绝对运动对A点的动量矩
等于相对运动对A点的动量矩
加一个附加项
然后呢 我们把它求导之后
会出来很多的项
那么这些项里面 很多处为零的
我们对具体问题来说
比如说A点速度为零
rAC和A点加速度平行
以及 A点速度为零
所以的话呢 就可以得到这样一个式子
JA的话 是三分之一的ml2角加速度
等于重力的力矩
这边只有重力才有力矩
这个式子就会求出来
角加速度的大小
然后呢 我们再对质心
列一个动量矩定理
这时候 角加速度是已知的
因此可以求出N的大小
那么利用这两种方法
我们可以直接的快速得到
角加速度和力的大小
当然这个方法的话呢
不是我们基本要求 因为出现了附加项
而且的话呢 有附加项的话呢
很容易和相对运动搞混
那么我们可以直接看看
下面我们用相对运动直接看
好 那么我们看看
直接用相对运动
对A点动量矩怎么做呢
利用这个公式
大家注意这个公式跟前面公式很像
但是不一样
那么 我们可以列出来它的表达式
这里面有一项是为零的
因为这个是平行关系
所以的话呢 我们就可以直接得到
这样一个表达式
从这里面直接求出角加速度
然后呢 再根据质心的运动定理
求出A处的作用力
好 这个方法的话呢
也是 避免了求C点的加速度
所以的话 比较快速的出现
同学们一定要注意
方法三和方法四的话呢
是很接近但是不一样的公式
一定不要搞混了
这两个方法供我们参考
不是我们的基本要求
例二
已知质量为m1的均质细杆AB
铰链在这个地方
然后呢 质量为m2的小车
可在水平面上运动
初始时候 系统静止
杆子处于铅垂位置
求杆与水平面成θ角度时
它的角速度
我们以x和θ
作为系统的广义坐标
x的话呢 描述了水平的运动
θ的话 描述的杆的相对的转动
首先的话呢
在水平方向列一个
动量守恒的公式
可以列出来
小车的和AB杆的
可以很快写出来 是什么呢
是这样一个方程 就表示系统的动量水平
是水平上的动量水平
然后的话呢 我们利用一下动量定理
用有限形式 可以得到这样一个公式
那么在做的时候的话呢
需要考虑小车平动动能有一项
然后这个杆子的话呢
是平面运动 应该由两项组成
一项是二分之一的质量乘以质心的速度平方
另外加上二分之一的转动惯量
乘以角速度平方
所以质心速度的话要注意
它又包括几部分组成
一部分是牵连运动 一部分是相对运动
式子比较长
放在右边的话就是
系统做的功 这里面的话就有重力做的功
利用这两个式子的话呢 联立一下
就可以求出 角速度的表达式
这个式子的话 比较长
大家注意 就是求的时候
细心点就可以了
-绪论
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-7-2 质点系动量矩定理
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--第七章 质点系动力学--作业
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-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理
-8-3 第二类拉格朗日方程
-8-4 拉格朗日方程首次积分
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--达朗贝尔原理例题
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-第八章 分析动力学--作业
