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7-4 质系普遍定理的综合应用例题1-2在线视频

7-4 质系普遍定理的综合应用例题1-2

下一节:7-5 碰撞例题1-4

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7-4 质系普遍定理的综合应用例题1-2课程教案、知识点、字幕

例一 长度为l

质量为m的均质细杆AB

静止的立在光滑的水平面上

当杆受到微小扰动而倒下时

求杆子刚刚到达地面时

的角速度和地面的约束力

那么 这个题目的话呢

有很多种方法求解

第一种方法的话呢 我们看一下

根据 质心运动定理

因为是光滑的面

所以的话呢 杆子在倒下过程中

其质心的话呢 一直是沿着竖直下落

这样一来的话呢

我们看 C点是竖直下落

A点的话在地面上水平运动

因此在它到达水平的状态时候下

我们可以看出A点是速度瞬心

我们看看

如何求解杆子

刚刚到达地面上的角速度

好 A点是速度瞬心

那么 我们可以求出来

速度的话 满足什么呢

就是以A点为瞬心的速度是

满足Vc等于二分之一的lω

那么 杆子的话

动能的话表达式应该是什么呢

它是包括两部分组成

一部分是二分之一的质量乘以速度平方

这个速度是质心的速度

再加上二分之一的转动惯量

乘以角速度平方

那么代入Jc等于十二分之一ml2

就会得到

动能等于六分之一的ml2ω2

我们利用一下 动能定理的有限形式

就是从竖直位置

到这个位置时候

动能的变化应该等于重力做的功

好 那么开始的时候静止

所以的话是等于

六分之一的ml2ω2减掉零

等于重力做的功

二分之一mgl

那么通过这个式子

就会求出角速度等于

根号里面3g除以l

下面我们求一下

杆儿到达地面之后的地面约束力

这时候 地面就只有A处有约束力

也就说 这一端的话呢

接近于地面而没有挨着地面 这一瞬时

由刚体的平面运动微分方程

可以得到这样的方程

质量乘以加速度 竖直方向加速度

等于竖直方向外力

重力减掉A处的支撑力

然后再列一个相对质心的动量矩定理

那么这是两个方程 三个未知数

ac ε和N是未知数

所以再补充一个方程

我们可以补充一个 关于加速度的方程

就是 以A为起点

来分析C点加速度

有这样一个公式

那么 我们可以把这个公式

向铅垂方向投影

得到这样一个表达式

ac等于

二分之一的l乘以ε

这样的话 我们多了一个方程

和上面两个方程联立之后

就可以解出支撑力

下面 我们用其他方法进行求解

这些方法的话呢 供我们参考

一种是动静法求解

我们前面已经分析了 C点加速度

我们把它写出来

有加速度之后的话呢

我们可以把惯性力加上

同时的话呢 加上惯性的力矩

也就是说

这个物体在主动力 约束力

和惯性力作用下

变成一个平衡力系

然后的话呢 可以用

静力学方法进行处理

比如说对A点取矩可以得到

角加速度的大小

以及根据y方向的 力的平衡

可以求出N的大小

用这种方法的话呢

就变成一个静力学问题

可以对任意的点取矩 都可以

好 我们看解法三

直接对A点的动量矩定律

这里考虑的是绝对运动的动量矩定理

我们用的是这个公式

注意这里面 要注意 因为A点是动点

所以的话 有个附加项在里

那么我们看一下

绝对运动对A点的动量矩

等于相对运动对A点的动量矩

加一个附加项

然后呢 我们把它求导之后

会出来很多的项

那么这些项里面 很多处为零的

我们对具体问题来说

比如说A点速度为零

rAC和A点加速度平行

以及 A点速度为零

所以的话呢 就可以得到这样一个式子

JA的话 是三分之一的ml2角加速度

等于重力的力矩

这边只有重力才有力矩

这个式子就会求出来

角加速度的大小

然后呢 我们再对质心

列一个动量矩定理

这时候 角加速度是已知的

因此可以求出N的大小

那么利用这两种方法

我们可以直接的快速得到

角加速度和力的大小

当然这个方法的话呢

不是我们基本要求 因为出现了附加项

而且的话呢 有附加项的话呢

很容易和相对运动搞混

那么我们可以直接看看

下面我们用相对运动直接看

好 那么我们看看

直接用相对运动

对A点动量矩怎么做呢

利用这个公式

大家注意这个公式跟前面公式很像

但是不一样

那么 我们可以列出来它的表达式

这里面有一项是为零的

因为这个是平行关系

所以的话呢 我们就可以直接得到

这样一个表达式

从这里面直接求出角加速度

然后呢 再根据质心的运动定理

求出A处的作用力

好 这个方法的话呢

也是 避免了求C点的加速度

所以的话 比较快速的出现

同学们一定要注意

方法三和方法四的话呢

是很接近但是不一样的公式

一定不要搞混了

这两个方法供我们参考

不是我们的基本要求

例二

已知质量为m1的均质细杆AB

铰链在这个地方

然后呢 质量为m2的小车

可在水平面上运动

初始时候 系统静止

杆子处于铅垂位置

求杆与水平面成θ角度时

它的角速度

我们以x和θ

作为系统的广义坐标

x的话呢 描述了水平的运动

θ的话 描述的杆的相对的转动

首先的话呢

在水平方向列一个

动量守恒的公式

可以列出来

小车的和AB杆的

可以很快写出来 是什么呢

是这样一个方程 就表示系统的动量水平

是水平上的动量水平

然后的话呢 我们利用一下动量定理

用有限形式 可以得到这样一个公式

那么在做的时候的话呢

需要考虑小车平动动能有一项

然后这个杆子的话呢

是平面运动 应该由两项组成

一项是二分之一的质量乘以质心的速度平方

另外加上二分之一的转动惯量

乘以角速度平方

所以质心速度的话要注意

它又包括几部分组成

一部分是牵连运动 一部分是相对运动

式子比较长

放在右边的话就是

系统做的功 这里面的话就有重力做的功

利用这两个式子的话呢 联立一下

就可以求出 角速度的表达式

这个式子的话 比较长

大家注意 就是求的时候

细心点就可以了

理论力学课程列表:

绪论

-绪论

--绪论

第一章 点的运动学

-1-1 矢量描述法

--第一章运动的描述

--1-1 矢量描述法

--矢量及其运算

-1-2 直角坐标描述法

--1-2直角坐标描述法

--例题1 椭圆规

--例题2 圆轮滚动

-1-3 自然坐标描述法

--1-3 自然坐标描述法

--例题3 单摆

-1-4 极坐标描述法

--1-4 极坐标描述法

--例题4 演员

--讨论题 多种方法求解

-扩展内容

--a 点的运动学扩展

--b 观察与思考

--c 时间与方向

--d 仰望星空

--e 兔子追击问题

-第一章 点的运动学--作业

第二章 刚体运动学

-2-1 刚体的定义与运动形式

--2-1 刚体的定义与刚体的运动形式

-2-2 刚体的矢量-矩阵描述

--2-2 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-0 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-1 刚体的运动方程

--2-2-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-2刚体的矢量-矩阵描述例题1-2

-2-3 刚体平面运动

--2-3 刚体平面运动

--2-3-1 平面运动的运动方程

--2-3-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-3-3 速度分析 基点法

--2-3-3 速度分析 瞬心法

--2-3-3 速度分析 速度投影定理

--2-3-3速度分析 刚体平面运动的瞬心轨迹

--2-3-4 刚体平面运动的加速度分析

--2-3-3速度分析例题1-4

--2-3-4加速度分析例题1-4

-2-4 刚体定点运动

--2-4-1 刚体定点运动几何分析

--2-4-2 刚体定点运动的解析描述

-扩展内容

--2-扩展-a加速度是否存在投影定理

--2-扩展-b图形放大器

--2-扩展-c连弩射击

--2-扩展-d关于刚体的转动

--2-扩展-e欧拉角探秘

-第二章 刚体运动学--作业

第三章 复合运动

-3-1 点的复合运动

--3-1 点的复合运动

--3-1-1 运动方程

--3-1-2 矢量的绝对导数与相对导数

--3-1-3 速度合成定理

--3-1-4 加速度合成定理

-3-2 刚体复合运动

--3-2 刚体复合运动

-例题

--3-1-1 运动方程例题1 工件轨迹

--3-1-3 速度合成定理例题1-3

--3-1-4 加速度合成定理例题1-4

--3-2-1 角速度合成例题1-3

--3-2-2 刚体定点运动例题1-2

-扩展内容

--钟表的设计

--寻找四叶草

--差动齿轮

--指南车

--逆行风车

-第三章 复合运动--作业

第四章 几何静力学

-4-0 静力学公理序言

--4-0 静力学公理序言

-4-1 主矢量和主矩

--4-1 主矢量和主矩

-4-2 力系的等效与简化

--4-2 力系的等效与简化

-4-3 受力分析与刚体平衡

--4-3 受力分析与刚体平衡

-4-4 平面力系的平衡方程

--4-4平面力系的平衡方程

-4-5 考虑摩擦的平衡问题

--4-5考虑摩擦的平衡问题

-4-6 刚体系的平衡

--4-6-1 组合结构

--4-6-2 桁架

--4-6-3 机构

-例题

--4-1 主矢量和主矩例题1-3

--4-2 力系的等效与简化例题1-3

--4-3 受力分析与刚体平衡例题1-3

--4-4 平面力系的平衡方程例题1-2

--4-5 考虑摩擦的平衡问题例题1-6

--4-6-1 刚体系的平衡例题1-3

--4-6-2 桁架例题1-4

-扩展内容

--4-扩展-a纸桥过车

--气球的平衡

--平衡大师

--4-扩展-d动物爬绳

--4-扩展-e力学与考古

-第四章 几何静力学--作业

第五章 分析静力学

-5-1 约束及其分类

--约束及其分类

-5-2 虚位移

--虚位移

-5-3 虚功原理

--虚功原理

-5-4 广义坐标和广义力

--广义坐标和广义力

-5-5 势力场中的平衡

--势力场中的平衡方程

-例题

--5-3 虚位移原理例题

--5-4 广义坐标和广义力例题

--5-5 势力场中的平衡方程例题

-扩展内容

--关于投影

--不倒翁

--5-扩展-c欹器

--冈布茨

-第五章 分析静力学--作业

第六章 质点动力学

-6-1 质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程例题

-6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2质点在非惯性系中的运动例题1

-6-3 相对地球的运动

--6-3 相对地球的运动

-扩展内容

--宇航员的问题

--6-扩展-b在小行星上打台球

--失重现象及模拟失重

--非线性方程的近似解

--落体问题在惯性系中解释

-第六章 质点动力学--作业

第七章 质点系动力学

-7-1 质点系动量定理

--7-1 质点系动量定理

-7-2 质点系动量矩定理

--7-2-1 质点系的动量矩

--7-2-2 质点系动量矩定量

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程

--7-2-4 刚体平面运动微分方程

-7-3 质点系动能定理

--7-3 质点系的动能定理

-7-4 质系普遍定理的综合应用

--7-4 质系普遍定理的综合应用

-7-5 碰撞

--7-5 碰撞

-例题

--7-1 质点系动量定理1-4

--7-2-1 质点系动量矩例题1

--7-2-2 质点系动量矩定理例题1-2

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程例题1-2

--7-3 质点系动能定理例题1-2

--7-4 质系普遍定理的综合应用例题1-2

--7-5 碰撞例题1-4

-扩展内容

--7-拓展-a跳高

--7-扩展-b跳水

--7-拓展-c手机吊冰箱

--7-扩展-d小鸭下山

--7-扩展-e飞针穿玻璃

--第七章 质点系动力学--作业

第八章 分析动力学

-8-1 达朗贝尔原理

--8-1达朗贝尔原理

-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理

--8-2达朗贝尔-拉格朗日原理

-8-3 第二类拉格朗日方程

--8-3第二类拉格朗日方程

-8-4 拉格朗日方程首次积分

--8-4拉格朗日方程首次积分

-例题

--达朗贝尔原理例题

--8-2达朗贝尔原理-拉格朗日

--8-3第二类拉格朗日方程

--8-4拉格朗日方程首次积分

-扩展内容

--广义动量守恒

--广义能量守恒

--非定常约束

--无轮小车

-第八章 分析动力学--作业

7-4 质系普遍定理的综合应用例题1-2笔记与讨论

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