落体问题在惯性系中解释在线视频

好 大家好

那么今天的话呢 我们讨论一个话题是

落体偏东问题

就是考虑地球自转之后 物体下落的时候

它的相关的一些问题

那么今天的话呢 我们要把定性分析

和定量分析合在一起

看看如何来讨论一些问题

首先的话呢 我们提这样一个问题

就是如果考虑地球自转的话呢

在北半球 物体落的时候啊

有落体偏东这样一个结论

这个结论的话大家前面已经知道了

那么现在的话呢 我们把这问题稍微改一下

就是假设一个人把一个物体啊往上仍

那么它开始竖直向上

过一会的话它就会下落

那么我们想问一下 它上升阶段

和下落阶段 它分别会向什么地方偏呢

特别是它会不会落回到原处呢

就问这样一个问题

那么在正式解释之前的话呢

我们看看能不能根据我们的

相关的一些知识啊

能大概推算一下会怎么样

比如说 根据落体偏东 我们可以推测

它上升的时候啊 就应该往西偏

然后呢 我们就可以得到这样的一个结论

就是说落体 就是说质点在上升的时候

向西偏 比如说向西偏

下落时候又往东偏 因此的话呢

我们可以估计 虽然不是很肯定啊

但估计它可能会落回到原点

因为它上升的时候往西 下落时往东

那会不会按这个曲线的话呢

会不会落回原点呢 这是我们的一个猜测

那这样的一个猜测 合不合理呢

那应该是怎么样的 好 我们来判断一下

就是 前面的推测啊 看上去是有道理的

但实际上是错误的 至于为什么的话呢

我们来看一下 它的正确的轨迹啊

应该是类似这个图所示

就是说上升的时候

和下降时候都是向西偏

大家可能会奇怪 那前面你不是说过

落体偏东么 它怎么都往西偏呢

好 我们下面来仔细的分析一下

首先 我们要记住我们说的落体偏东啊

是有一个前提的 就是说它自由落体偏东

开始的时候速度初速度为0

往下落的时候物体偏东

好 因此我们看出来 往上的时候的话呢

好 往西偏 这个没有问题 但是要注意

假设它运动到最高点A点的时候

这时候它已经具有了向西的一个速度

它位置是向西偏的 同时还有个向西的速度

然后呢 从A点往下落的时候

它的确可以有一部分是往东偏

但是它向西的速度啊 是在接着往西走

所以的话呢 会出现什么呢

会出现接着往西走的一个情况

因为这时候它不再是自由落体

所以说我们说落体偏东

它实际上是有个前提 是自由落体

落的时候往东偏 而我们这个问题的话呢

它往下落的时候 它不是自由落体

它已经有了一个向西的速度

所以它还是往西偏

所以没有矛盾 因此的话

通过这个例题我们知道

我们有的时候思维啊 有个惯性

以为落体偏东 结果上去往西下来往东

落回原处 这样想法是错误的

真实的结果是这样的结果 就是说

上升往西偏 下降还是往西偏

而且有心的同学不妨在仔细分析一下

上升时候偏的距离和下降时候偏的距离

你可以看看它们两个是不是相等的

很有意思 你可以分析一下

好 那么第二个问题的话呢

我们来这样看看啊 就是说

我们已经知道的 假如说静止释放时候

落体偏东 在北半球是这样一个结论

我们想把这个结果啊

在不同的坐标系中来分析一下

我们刚才说 落体偏东是你站在地球上

站在这个动系上来看这样一个结果

可以利用非惯性中的一些结果来进行分析

那比如说物体自由下落时

由于地球自转的话呢

落体并不是沿着垂线下落

而是有一个科氏加速度

科氏加速度你可以分析啊 是向西的

因此的话呢 科氏惯性力向东

使得物体向东偏 那么这个解释的话呢

是在非惯性系中给出的解释

同时的话呢 由于有向东的运动

都会引起向南偏 所以在非惯性系中可以

同时解释两个现象 一个是向东

一个是向南 它的轨迹大概是这样的

也就是说 比如说往下落的时候 物体向东偏

比如说偏东一个距离

然后向南偏 那向南的那个量又小

向南偏又会向西偏 因此它会旋转的运动

但是 每转一圈的话呢 它是收缩的

快速收缩 所以的话呢

它落体运动啊 实际上很复杂

是往下走 同时往东往南往西往北

但是它整个结果就是往东偏往南偏

那么下面我们把这问题啊 换一个角度看

能否在惯性系中解释物体会往东偏

往南偏呢 好 下面我们来看一下

首先的话呢 我们可以理解啊

在释放之前的话呢 比如说A点

相对地面是静止的

那么在惯性系空间看的话 会有什么结果呢

在惯性空间看 A点有一个速度

因为它的绕地球沿着圆周运动有个速度

它落得对应的点的话 B点也有个速度

你可以看出来 A点速度比B点速度要大

因为我们从图上看的话

因为都绕着地球轴转动的话呢

A点的那个距离更远

所以的话呢A点速度大于B点速度

因此 物体从A点往下落的时候的话呢

它是往东偏的 因为地球是自西往东转

所以有个往东的力在走

同时的话呢 地球上对应的B点的话呢

也在往东偏 但是呢 因为A点速度大

它偏得距离更多一点

所以总的来说 落体还是偏东的

所以的话呢 在惯性系中也能解释

落体偏东

但是 在惯性系中解

怎么解释落体还要偏南呢

这个就要稍微考虑一下了

那么我们可以来这样说

从这个观察者看来 他在惯性系中看到话呢

假设他从AB连线方向看的话呢

一开始A点和B点它们都有一个速度

但是你要注意 A点的速度的话呢是

沿着它的切线方向

而B点速度的话呢 它也是沿切线方向

但是它转 地球转起来之后的话呢

B点走的什么轨迹呢

这个B点的话呢怎么走的呢

B点是沿着地球的这个表面在走

所以它是做的圆周运动

而A点的话呢 它一但释放之后啊

它是做一个自由落体运动

这时候的话呢 它是沿着它切线走

所以的话呢 过一会 当物体落地之后的话呢

B运动到B'点 而A点落到哪呢

A点是沿着它的切线方向走 落在A'点

在这个圆上面 就是说不偏南不偏北

往圆里面走是偏北 往圆外面走是偏南

你现在看的话呢

A点是沿着切线方向走的话呢 是偏南

所以的话呢 我们解释了 物体也还会偏南

这个是解释是在惯性系中解释

所以我们解释了偏东和偏南

所以这个定性解释是很完美的

但是呢 如果我们来个定量说明的话呢

可能就问题就来了

那么我们知道在非惯性中的话呢有

mr=mg-mac 那么在一阶近似的情况下

物体偏东 我们可以根据公式分析出来

是多少呢 1/3gωt³cosφ

而在二阶近似下呢 物体还有偏南

偏南的话是多少呢 1/12gω²t4sin2φ

那么具体它怎么来的

可以参见我们的教科书201页

好 也就是说我们有一个定量的一个表达式

偏东和偏南的表达式

记住 因为我们的ω是小量

所以的话呢 偏东是ω的一次方 是一阶小量

偏南的话呢是ω的平方是二阶小量

那么同样这个问题 在惯性系中看

会有什么结果呢 我们再来分析一下

好 比如说这个观察者看到

B点速度是等于Rωcosφ

因为B点在绕着竖直轴做一个转动

A点的话呢 因为有个高度

所以的话呢 是变成什么呢 （R+h）ωcosφ

好 我们看看 落体时间的话呢是t=√2h/g

这就是一阶近似的结果

好了 我们把这个公式啊

代进去看看偏东的偏差是多少呢

我们看偏 向东的偏差是多少呢

可以算出来Δ=（va-vb）t 乘完之后是等于

hω √2h/g·cosφ

好了这个结果啊 和非惯性结果一对照

发现大部分是一样的

但是它们前面系数不一样

在非惯性系中的话 前面有个2/3

而在惯性系中解释的话没有2/3

所以的话呢 这出了问题了 相差1/3倍的

那么类似的话呢

你把向南的偏差也可以分析一下

发现也对不上 那么这个问题

你在惯性系中解的结果

和非惯性系中解的结果 定性上是一样的

但是定量上差了个倍数 那是什么问题呢

来请大家思考一下

那么我们可以给个提示

就是向东的偏差我们给一这样的表达式

那么我们可能来这样问

A点和B点的速度 是否总在一个平面内

其次A点的水平速度是否总是个常速

第三一点 在惯性系中看 落体做什么运动

也就是说 你为了回答前面的问题

你需要把这三点稍微考虑一下

那么希望大家有兴趣的话呢

考虑下之后看看能不能从惯性系中

给出它的定量定性解释

而且跟前面的非惯性系完全一致

因为我们现在目前的解释是不一致的

希望你们能把这个问题解决