4-6-2 桁架例题1-4在线视频

例1，已知图示

结构的尺寸载荷

来求一下各杆的内力

首先

我们考虑整体平衡

画出受力图

那么A这地方

A有两个力

水平和竖直

B一个竖直力

我们可以考虑

整体对A取距

列出一个式子

然后X方向力的平衡

和Y方向力的平衡

可以求出相关的一些力来

这地方

因为比较简单，所以我们可以很快地得出来

比如说B点的力

及A点的水平的力

可以直接看出来为0

和A点的竖直方向的力

然后

我们再考虑用节点法来求各杆内力

同时

在考虑的时候还有考虑节点的顺序

而不是说

全部截开，马上就来列方程

那样就要联立方程

我们可以考虑这样一个顺序

比如说：A点先求

然后求E点、C点

F点、E点、H点

这样做的目的是什么呢

每次都只有2个未知数

那么

我们比如说以A点为例来看

当我们把整体平衡

求出来之后

A点这边的力

就是已知的力了

这样我们看A点受力图

水平S1未知

斜的S2未知，红色是未知的

那么列方程的时候

可以通过

Y方向平衡直接把S2求出来

然后在X方向平衡求出S1

求出这个之后

我们再看比如说对D点来说

这个时候D点受力

有S1

S3、和S4

但是S1

在前面已经求出来了，是已知的

所以还是有2个未知数

那么也是通过列式子

Y方向平衡求S3

X方向平衡求出S4

好，利用这样的方式

按照这样的顺序

可以逐步地把每个杆内力给求出来

其中我们特别说明一下

如果某个力

求出来为0

我们把这根杆称为“零杆”

最后

当我们求得B点时候

可以利用B点来进行一下校核

也就是说把

12杆、13杆

通过前面方法求出来之后

单独对B点进行校核

如果满足

就说明我们前面计算没有问题

如果对这个杆进行校核的时候

有问题

就说明你前面肯定某一步地方错了

例2

题目跟刚才是一样的

只是

我们现在只关心求

4、5、6杆内力

比如说关心4、5、6杆内力，其它杆我们假设不关心

那么对于这样的问题，我们看看怎么做

我们可以先根据整体平衡

求出A、B处的约束反力

然后再做这样一个截面

I截面

然后考虑某一部分平衡

比如说考虑左半部分，或者是

右半部分都可以

比如说我们考虑左半部分平衡

在这个图中

未知的力是S4

S5和S6

因为我们是这么截开的，正好

把我们所关心的力暴露出来了

然后其它的

A点的力，支撑力

以及P1、P2都是已知的

那么对于这种

ABC所构成的

构件，是个刚体

刚体的平面平衡可以列3个方程

正好可以求3个未知数

直接可以把它求出来

在具体求解的时候

可以考虑这样一个顺序

比如说

我们先对C点取矩

对C点取矩的时候

S6和S5不出现

我们直接把S4求出来

然后再对E点取矩

对E点取矩的时候

S4、S5通过E点也不出现

这样把S6求出来

然后再利用

水平方向力的平衡把S5求出来

所以

考虑这些顺序之后，每次

一个方程解一个未知数

就比较方便

例3

在图示平面桁架中

已经知道尺寸a

载荷

P1和2P

不考虑摩擦和自重

求一下AB杆

AD杆

和AC杆之间的内力

我们假设

好，我们进行受力分析

我们可以考虑

如果直接截开我们所关心的杆

比如说，就这么截开

会暴露出来

1、2、3、4个杆的内力

而我们这个平面问题

只能列3个方程

所以不可能把它们全部求出来

有的时候甚至一个都求不出来

所以

我们就觉得这样解未知数太多

我们可以这样考虑

我们能不能把这个系统中的零杆先找出来

然后

看看对于简化之后的系统

再进行考虑怎么解决

好，我们来找零杆

首先

这两个杆是零杆，因为满足

两个是

垂直相交的，而且没有其它的外力作用

这两个杆是零杆之后

再看这两个杆也是符合条件

所以我们把它都标上零杆

那么很容易看出来

当这个杆是零杆之后

对这个节点来说，这个也是零杆

好，类似的，这个也是零杆

那么下面

我们把零杆可以去掉它，大家注意

这些零杆是在这个载荷作用下是零杆

真正载荷

可能会变化，所以零杆可能会变化，所以

我们先把

在这种载荷下的零杆去掉

我们画出它的示意图

就是这样一种情况

然后再考虑如何进行受力分析

同时

我们刚才已经看出来了

这个杆是零杆，AC杆

所以这就是我们的一个答案

AC内力是为零的

好,下面我们接着分析下两个内力

当简化之后

如果我们考虑再这么去截

它截开之后是1、2、3根杆

所以就可以求解了

三个未知数、三个方程

那么我们看看截开之后

我们把未知数画上

好，下面我们怎么求呢

比如说，我们以竖直方向受力平衡

就直接可以把AD杆求出

所以把AD杆就求出来了

AD杆的内力为根号二倍的P

然后再考虑对D点取矩

D点取矩

我们可以直接把AB杆的内力求出

好，我们把AB杆求出来，是负的2倍的P

负号表示

受压，同时与图示的方向相反

至此

我们就把所关心的

AB、AD、和AC杆内力都求出来

第4

在图示平面桁架中

注意这个对角线

都是用钢索拉着的

钢索只能承受拉力

已经知道这里P和Q的载荷大小

及相关的尺寸

要求一下

BF和CG杆的内力

但这个实际上不是杆子，它们是钢索

我们来求一下钢索的内力

好，我们来进行分析

首先我们看看

节点数

有八个：1、2、3、4、5、6、7、8

这样可以列出

16个方程

每个节点列2个方程

但是有几个未知数呢

我们一数有16个杆

同时A和D还有三个未知数

所以方程个数不够

但是我们根据

钢索特点是知道

图中对角线是钢索

比如说这个钢索结构

它在变形的时候

会微微变形

会使得（对角线）一根变长一根变短

而变长是受拉

就是说

（受拉是）它是等效为刚性杆，是可以的

而变短就是不受力了

因此这里面有一根（钢索）是不受力的

所以去掉这样

1、2、3个框中的

三个（不受力的）杆之后

这个系统就是静定的

但问题是

哪3根绳子是不受力的

我们现在不知道，所以我们赶快来分析一下

那么首先

我们对整体进行分析

A点受一个约束力

D点受2个约束力

我们对D点取矩

可以求出A点的力来

这个比较简单，我们直接把它求出来了

然后我们做个截面

把这个平面截断它

我们考虑

左半部分

我们画出受力图

我们一看，有4个未知数

红色的都是未知数

这个A点是已知的

那么根据我们一般的说法

截开之后这是个整体

刚体可以列3个方程

但是有4个未知数，所以

理论上说是解不出来的

但是这个题目有点特殊性

是什么呢

我们来看一下

我们对Y方向

那个平衡方程可以求出一个表达式来

然后得出什么呢

得出BF和SG的力的关系是这样一个关系式

然后我们把式子移下项之后

得出这样一个式子

我们注意

是五分之三倍的SBF等于

五分之三倍的SCG

减掉三分之四十

好了，通常得出这公式

我们来判断这里面

也就是说

对角线里面有一个力是为零的

看哪个力是为零

那么

如果我们不知道哪个力为零，我们不妨假设

我们假设CG是为零

如果CG这个为零

你看出来，左边小于零

这样一来就和我们说的

钢索不能受压矛盾

因为我们刚才分析说

一个为零，另外一个是受拉的

因此我们前面假设错误

所以只能是BF等于零

好了，如果BF等于零

我们就把CG求出来了

那么CG就这样一个表达式

所以利用这样的方式

就是通过假设某一个杆为零

然后看看是不是矛盾

可以推出来

确定某根杆是不是为零

例5

如何寻找特殊截面法

来求杆1的内力

比如说图示系统

我们如果只关心杆1

比如说AE这根杆，它的内力

我们能不能有什么好的办法来解决呢

我们来看一下

或者说有这样一个系统

我们想关心的是1的内力

我们看怎么处理呢

好，首先我们看第一个例子

我们如何能求出1杆的内力

如果我们直接这样考虑，这样截，你看

这样一截，

会暴露出三根杆的内力

而这三个内力都通过A点的

A点只能列2个方程，所以求不出来

因此可以考虑这样一种方式

就是用一个圆圈的方式

把这个中间整个挖出来

挖出来之后我们看受力图

那么注意

挖出来之后这个部分相当于刚体了

刚体可以列三个方程

它这里有3个未知数

所以我们可以把S1求出来

特别的，如果我们只关心S1

我们可以对这点取矩

对这点取矩

S2、S3不出现

会直接把S1求出来了

那么在这个题目中

我们可以看出来

一取矩的话

S1是等于零的

好，再看这个例子

这个例子

如果我们只关心

1杆的力

我们假设我们竖直面去截

一截开之后

会有4个未知数

我们说截开之后随便

取哪部分呢，一个整体

只能列3个方程

所以

直接这么截

是不可能求出我们所关心的量

那么

这个题目有什么特殊的地方呢

我们可以这样来处理

我们先整体进行分析

把整体里面

分析之后把A和B

支座反力求出来

然后

再通过适当的截面

比如说这样去截

这个拐弯抹角去截

它不是直接解

这么截完之后

我们看受力图

注意

A这个地方约束力是已知的

好了，我们看受力图也是有

4个未知的，S1是未知

S4未知，以及2个竖直方向是未知的

前面曾经说过

现在可以看作是一个整体

一个刚体可以3个平衡方式

但是有4个未知数

所以

理论上也是解不出来的

但是这个题目有它特殊性

就是什么呢？S5、S6

它是共线的

共线在某种意义上说

两个力可以合成一个力

从这个意义上说

我们就可以把S1

S4以及S5、S6的合力求出来

同时我们只关心S1

我们可以对E点取矩

对E点取矩

这些所不关心的未知数就不出现

例4

已知正方体ABCD

EFGH的边长为a

这个ABC的板

重量为W

由6根杆支撑

号码是1到6

杆的重量不计

在薄板内有力偶M

是这个方向，M

我们要求一下各杆的内力

但是这个题目有一个特殊要求

是要求

所有方程中各杆内力

出现且只出现一次

我们假设受拉为正

好，这个条件我们需要考虑一下

下面我们看一下

如何求1杆内力S1

1杆内力也是（沿1杆）这个方向

我们得考虑一个方程

让别的力都不出现

因此我们可以这样考虑

对FH这个轴取距

比如说，底面的对角线

取这个轴

我们可以看出来

2、3、4杆

都过F点，取矩的话不出现

5、6杆过H点也不出现

因此只有1杆的力能够出现

其次，我们看一下

重力它也过这个轴

所以也不出现

再看看M的力矩

这个力矩是竖直向上的，如图一样

那么它在

水平上的投影也为零

因此我们有这样一个表达式

就是S1乘以距离

比如说这个杆到这个距离

等于零

重力没有分量

力偶矩也没有分量

那么如果求2杆内力呢

沿着AF方向

我们要考虑让其它力都不出现

我们可以列这样一个方程

比如说x这个方向

我们在水平方向列个方程

你注意到1、6、5都在竖直平面内

3、4也是竖直平面，所以

列X为零

可以把2杆的力求出来

这时候你注意

重力对它有没有影响呢

好，我们得到一个式子，这是第二个杆

那么

下面是一个难点

如何求出第三杆的内力

这个杆，BF杆

同时要求其它杆都不出现

大家可以思考一下

那么我们有个小小技巧

我们要这样考虑一下

我们把HE延长

然后

把A点做45°之后，交于I这一点

也就是说，这个斜线

是和CF平行的

好，这样做完之后又什么好处呢

我们来看，它有这样一个式子

我们对AI这个轴取距

它有这样一个表达式

出现S3，然后

重力有分量，力矩有分量，但其它力没有

下面我们解释一下为什么其它力没有呢

首先你看

我们对AI这个轴取距

1、6都通过A点

所以不出现

5是延长线经过AI，所以也不出现

其次

4和这个AI平行,也不出现

2过A点，也不出现

因此只有3杆

取矩出现

重力对它有贡献

M也有贡献，所以是这样一个情况

那么 我们现在求一个

如何让第4杆力出现

其它力都不出现呢

我们思考怎么取方程

我们可以这样试

选对AE这轴取距

AE是竖直的

好，我们解释一下为什么这样取矩

其它力不出现，首先你看

刚好这样取的时候，1过A点，6过A点

然后5和AE是平行的

好，所以1、6、5不出现

然后3和AE是平行的

2过A点，所以只出现了

S4

然后重力

也是和我们平行，不出现，但是

M有贡献

所以我们通过这个式子把S4求出来了

我们再看S5

S5是DH这个方向

我们可以考虑对AF取矩

AF是这样斜的

好了我们看这样取矩

1、6杆通过它

2也通过它，1、2、6不出现

3、4也不出现，所以只有5出现

写出来是这样的

最后看第6根杆，S6

我们可以取

对BF这个轴

也就是对竖直杆

在取完矩之后

2、3、4都不出现

1和它平行不出现

5和它平行也不出现，所以只有6出现

有这样一个表达式

因此

通过这个题目

我们给大家展示的是什么呢

在某些问题中

可以一个方程求一个未知数

当然这个不是说

所有问题都这样，但是

的确有某些问题可以使它简化

这样做的好处是什么呢

因为我们是每个方程求一个未知数

即使你把前面的

某几个数求错了，你后面也不会错

但是如果你是

联立方程，你错一个，后面都会跟着错

所以这就是这个方法的好处