当前课程知识点：理论力学 > 第三章 复合运动 > 3-1 点的复合运动 > 3-1-2 矢量的绝对导数与相对导数
好 大家好 下面我们介绍第二节
就是矢量的绝对导数和相对导数
为了研究这个动点运动的时候
它的速度、加速度
我们首先要研究一下
这个动点在不同坐标系中的导数关系
比如说它的绝对导数和相对导数
首先，我们看一下
动系oxy相对于定系
可以运动起来
同时，有个点
它在某一时刻在这个位置
我们看，在t时刻
这个点，在方框的这个位置
我们为了方便假设有个方框
那么所谓的绝对运动是什么运动呢
第一方面
这个点沿着方框在运动
同时方框本身在旋转
我们看，在t时刻
这个点在方框的某个位置
在t加△t时刻它已经移到了它的顶点上
为了方便我们假设移到顶点上面
这样一来
我们看看它的所谓绝对增量是什么呢
我们把它的t时刻
和t加△t时刻的两个矢量放在一起
它有一个增量
这个△r就是它的增量
那么什么是相对的运动呢
相对运动就是，我们这时候暂时不考虑
这个方框本身的运动
这个动系的运动暂时不考虑
这时候我们看的
它的相对运动就是从水平的运动
它从某一点移到它的顶点
那么这个运动
我们叫△r加个波浪号
这是表示它的相对的一个变化
那么所谓的绝对导数是什么呢
就是把△r除以时间△t
然后取个极限之后它的变化
就叫绝对导数
而相对导数是什么呢
就是把△r加个波浪号
再除个时间t
也是让△t趋于0
因此，我们看出来
从图上我们直观可以看出来
这两个量的确是不一样的
一个方向，比如说
△r方向是朝斜上方的
而△r加个波浪号是水平的
所以它们的确不一样
方向不一样，大小可能也会不一样
所以从图上直观看出来
那么这几个什么关系呢，我们来看一下
刚才我们看到
r的绝对导数和相对导数
直观上看就不等
那么它们到底有什么关系呢
我们来看一下
我们假设r等于它的大小乘以方向
也就是说白体的r乘以e它的方向
那么我们把这式子
两边对时间求导数
就是dr/dt，这（左边）是矢量
右边分解为
de括号里面小r乘以e
我们注意到
这个两个函数
r和e都可能会变化
因此
用数学中的分步求导
就是dr/dt加上r乘以de/dt
首先我们注意到
e是个单位向量
它求导的话
我们前面已经讲过了
它是说de等于
de/dt等于什么呢
ω×e
这是前面讲过的
因此我们把这公式带进来之后
就得到什么结果呢
就得到dr/dt等于这个
左边的是矢量等于右边的dr/dt
这个r是一个白体的时候
它的大小乘以e方向
加上r不变e的求导
e的求导就是ω×r
所以这样一来，就得到什么结果呢
就是说r对时间的绝对导数
等于r对时间的相对导数
加上ω×r
因为在这个公式中
dr/dt 这个白体的r
它相当于是在动系不变的情况下
才能求导
所以我们把这一项
叫做dr/dt波浪号
所以我们得到
绝对量的导数等于相对量的导数
再加上一个ω叉乘这个量本身
得到这样一个公式
所以我们看出来
因为后面这个ω×r
通常是不为0的
因此
这个绝对导数和相对导数
通常是不等的
那么下面我们讨论一下这公式
这个公式表示的是
矢量的绝对导数等于它的相对导数
加上动系的角速度叉乘以这个量本身
需要注意的是什么呢
这个公式虽然是从r导出来的
是从矢径导出来的
但是它没有利用到矢径的一般的性质
可以换成一般的矢量
所以可以把矢径r换成一般的矢量
比如说用p表示
所以我们得到更一般的公式
就是dp/dt等于dp/dt的相对导数
加上ω×p
在这里面p可以是个一般的矢量
所以这是个一般的公式
同时我们注意到
如果这个r这个矢量
它的长度如果不变
就退化成这样一个公式
就是dr/dt等于ω×r
而这个公式
正好是我们以前讲过的
做定轴转动时候的速度
所以我们发现
我们今天讲到的这个关系式
可以退回到以前的公式中去
同时
我们接着来看一下
回忆一下我们以前曾经学过极坐标
当时我们说
在极坐标中
它的速度表达式
是可以写成
速度等于r一点
r 变化的时候既有大小又有方向变化
所以
它可以写成是r的大小的变化乘以e ρ
加上r乘以φ一点乘以eφ
当时我们说这个公式
是从数学中导出来的
它的物理含义
当时没有特别的解释
那么现在
如果用我们现在的知识
我们可以很容易看出来
它的表达式是什么意思呢
原来它可以知道是
第一项r的导数是表示绝对导数
它可以分解为一个相对的变化
加上一个牵连的运动
那么相对运动是什么呢
就是r的大小的变化乘以e ρ
也就是说假设这个不转动的情况下
它的变化是多少呢
就是它的r的大小
变化是沿着这个径向方向的
所以，我们知道
从这个意义上说
原来我们学得比较复杂的运动
它的只是从数学上导出来的话
现在它有新的含义了
它是原来第一项是相对导数
第二项是因为动系运动所导致的
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-第五章 分析静力学--作业
-6-1 质点运动微分方程
-6-2 质点在非惯性系中的运动
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-第六章 质点动力学--作业
-7-1 质点系动量定理
-7-2 质点系动量矩定理
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-7-4 质系普遍定理的综合应用
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--7-扩展-b跳水
--第七章 质点系动力学--作业
-8-1 达朗贝尔原理
-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理
-8-3 第二类拉格朗日方程
-8-4 拉格朗日方程首次积分
-例题
--达朗贝尔原理例题
-扩展内容
--广义动量守恒
--广义能量守恒
--非定常约束
--无轮小车
-第八章 分析动力学--作业
