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3-1-2 矢量的绝对导数与相对导数

下一节:3-1-3 速度合成定理

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3-1-2 矢量的绝对导数与相对导数课程教案、知识点、字幕

好 大家好 下面我们介绍第二节

就是矢量的绝对导数和相对导数

为了研究这个动点运动的时候

它的速度、加速度

我们首先要研究一下

这个动点在不同坐标系中的导数关系

比如说它的绝对导数和相对导数

首先,我们看一下

动系oxy相对于定系

可以运动起来

同时,有个点

它在某一时刻在这个位置

我们看,在t时刻

这个点,在方框的这个位置

我们为了方便假设有个方框

那么所谓的绝对运动是什么运动呢

第一方面

这个点沿着方框在运动

同时方框本身在旋转

我们看,在t时刻

这个点在方框的某个位置

在t加△t时刻它已经移到了它的顶点上

为了方便我们假设移到顶点上面

这样一来

我们看看它的所谓绝对增量是什么呢

我们把它的t时刻

和t加△t时刻的两个矢量放在一起

它有一个增量

这个△r就是它的增量

那么什么是相对的运动呢

相对运动就是,我们这时候暂时不考虑

这个方框本身的运动

这个动系的运动暂时不考虑

这时候我们看的

它的相对运动就是从水平的运动

它从某一点移到它的顶点

那么这个运动

我们叫△r加个波浪号

这是表示它的相对的一个变化

那么所谓的绝对导数是什么呢

就是把△r除以时间△t

然后取个极限之后它的变化

就叫绝对导数

而相对导数是什么呢

就是把△r加个波浪号

再除个时间t

也是让△t趋于0

因此,我们看出来

从图上我们直观可以看出来

这两个量的确是不一样的

一个方向,比如说

△r方向是朝斜上方的

而△r加个波浪号是水平的

所以它们的确不一样

方向不一样,大小可能也会不一样

所以从图上直观看出来

那么这几个什么关系呢,我们来看一下

刚才我们看到

r的绝对导数和相对导数

直观上看就不等

那么它们到底有什么关系呢

我们来看一下

我们假设r等于它的大小乘以方向

也就是说白体的r乘以e它的方向

那么我们把这式子

两边对时间求导数

就是dr/dt,这(左边)是矢量

右边分解为

de括号里面小r乘以e

我们注意到

这个两个函数

r和e都可能会变化

因此

用数学中的分步求导

就是dr/dt加上r乘以de/dt

首先我们注意到

e是个单位向量

它求导的话

我们前面已经讲过了

它是说de等于

de/dt等于什么呢

ω×e

这是前面讲过的

因此我们把这公式带进来之后

就得到什么结果呢

就得到dr/dt等于这个

左边的是矢量等于右边的dr/dt

这个r是一个白体的时候

它的大小乘以e方向

加上r不变e的求导

e的求导就是ω×r

所以这样一来,就得到什么结果呢

就是说r对时间的绝对导数

等于r对时间的相对导数

加上ω×r

因为在这个公式中

dr/dt 这个白体的r

它相当于是在动系不变的情况下

才能求导

所以我们把这一项

叫做dr/dt波浪号

所以我们得到

绝对量的导数等于相对量的导数

再加上一个ω叉乘这个量本身

得到这样一个公式

所以我们看出来

因为后面这个ω×r

通常是不为0的

因此

这个绝对导数和相对导数

通常是不等的

那么下面我们讨论一下这公式

这个公式表示的是

矢量的绝对导数等于它的相对导数

加上动系的角速度叉乘以这个量本身

需要注意的是什么呢

这个公式虽然是从r导出来的

是从矢径导出来的

但是它没有利用到矢径的一般的性质

可以换成一般的矢量

所以可以把矢径r换成一般的矢量

比如说用p表示

所以我们得到更一般的公式

就是dp/dt等于dp/dt的相对导数

加上ω×p

在这里面p可以是个一般的矢量

所以这是个一般的公式

同时我们注意到

如果这个r这个矢量

它的长度如果不变

就退化成这样一个公式

就是dr/dt等于ω×r

而这个公式

正好是我们以前讲过的

做定轴转动时候的速度

所以我们发现

我们今天讲到的这个关系式

可以退回到以前的公式中去

同时

我们接着来看一下

回忆一下我们以前曾经学过极坐标

当时我们说

在极坐标中

它的速度表达式

是可以写成

速度等于r一点

r 变化的时候既有大小又有方向变化

所以

它可以写成是r的大小的变化乘以e ρ

加上r乘以φ一点乘以eφ

当时我们说这个公式

是从数学中导出来的

它的物理含义

当时没有特别的解释

那么现在

如果用我们现在的知识

我们可以很容易看出来

它的表达式是什么意思呢

原来它可以知道是

第一项r的导数是表示绝对导数

它可以分解为一个相对的变化

加上一个牵连的运动

那么相对运动是什么呢

就是r的大小的变化乘以e ρ

也就是说假设这个不转动的情况下

它的变化是多少呢

就是它的r的大小

变化是沿着这个径向方向的

所以,我们知道

从这个意义上说

原来我们学得比较复杂的运动

它的只是从数学上导出来的话

现在它有新的含义了

它是原来第一项是相对导数

第二项是因为动系运动所导致的

理论力学课程列表:

绪论

-绪论

--绪论

第一章 点的运动学

-1-1 矢量描述法

--第一章运动的描述

--1-1 矢量描述法

--矢量及其运算

-1-2 直角坐标描述法

--1-2直角坐标描述法

--例题1 椭圆规

--例题2 圆轮滚动

-1-3 自然坐标描述法

--1-3 自然坐标描述法

--例题3 单摆

-1-4 极坐标描述法

--1-4 极坐标描述法

--例题4 演员

--讨论题 多种方法求解

-扩展内容

--a 点的运动学扩展

--b 观察与思考

--c 时间与方向

--d 仰望星空

--e 兔子追击问题

-第一章 点的运动学--作业

第二章 刚体运动学

-2-1 刚体的定义与运动形式

--2-1 刚体的定义与刚体的运动形式

-2-2 刚体的矢量-矩阵描述

--2-2 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-0 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-1 刚体的运动方程

--2-2-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-2刚体的矢量-矩阵描述例题1-2

-2-3 刚体平面运动

--2-3 刚体平面运动

--2-3-1 平面运动的运动方程

--2-3-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-3-3 速度分析 基点法

--2-3-3 速度分析 瞬心法

--2-3-3 速度分析 速度投影定理

--2-3-3速度分析 刚体平面运动的瞬心轨迹

--2-3-4 刚体平面运动的加速度分析

--2-3-3速度分析例题1-4

--2-3-4加速度分析例题1-4

-2-4 刚体定点运动

--2-4-1 刚体定点运动几何分析

--2-4-2 刚体定点运动的解析描述

-扩展内容

--2-扩展-a加速度是否存在投影定理

--2-扩展-b图形放大器

--2-扩展-c连弩射击

--2-扩展-d关于刚体的转动

--2-扩展-e欧拉角探秘

-第二章 刚体运动学--作业

第三章 复合运动

-3-1 点的复合运动

--3-1 点的复合运动

--3-1-1 运动方程

--3-1-2 矢量的绝对导数与相对导数

--3-1-3 速度合成定理

--3-1-4 加速度合成定理

-3-2 刚体复合运动

--3-2 刚体复合运动

-例题

--3-1-1 运动方程例题1 工件轨迹

--3-1-3 速度合成定理例题1-3

--3-1-4 加速度合成定理例题1-4

--3-2-1 角速度合成例题1-3

--3-2-2 刚体定点运动例题1-2

-扩展内容

--钟表的设计

--寻找四叶草

--差动齿轮

--指南车

--逆行风车

-第三章 复合运动--作业

第四章 几何静力学

-4-0 静力学公理序言

--4-0 静力学公理序言

-4-1 主矢量和主矩

--4-1 主矢量和主矩

-4-2 力系的等效与简化

--4-2 力系的等效与简化

-4-3 受力分析与刚体平衡

--4-3 受力分析与刚体平衡

-4-4 平面力系的平衡方程

--4-4平面力系的平衡方程

-4-5 考虑摩擦的平衡问题

--4-5考虑摩擦的平衡问题

-4-6 刚体系的平衡

--4-6-1 组合结构

--4-6-2 桁架

--4-6-3 机构

-例题

--4-1 主矢量和主矩例题1-3

--4-2 力系的等效与简化例题1-3

--4-3 受力分析与刚体平衡例题1-3

--4-4 平面力系的平衡方程例题1-2

--4-5 考虑摩擦的平衡问题例题1-6

--4-6-1 刚体系的平衡例题1-3

--4-6-2 桁架例题1-4

-扩展内容

--4-扩展-a纸桥过车

--气球的平衡

--平衡大师

--4-扩展-d动物爬绳

--4-扩展-e力学与考古

-第四章 几何静力学--作业

第五章 分析静力学

-5-1 约束及其分类

--约束及其分类

-5-2 虚位移

--虚位移

-5-3 虚功原理

--虚功原理

-5-4 广义坐标和广义力

--广义坐标和广义力

-5-5 势力场中的平衡

--势力场中的平衡方程

-例题

--5-3 虚位移原理例题

--5-4 广义坐标和广义力例题

--5-5 势力场中的平衡方程例题

-扩展内容

--关于投影

--不倒翁

--5-扩展-c欹器

--冈布茨

-第五章 分析静力学--作业

第六章 质点动力学

-6-1 质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程例题

-6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2质点在非惯性系中的运动例题1

-6-3 相对地球的运动

--6-3 相对地球的运动

-扩展内容

--宇航员的问题

--6-扩展-b在小行星上打台球

--失重现象及模拟失重

--非线性方程的近似解

--落体问题在惯性系中解释

-第六章 质点动力学--作业

第七章 质点系动力学

-7-1 质点系动量定理

--7-1 质点系动量定理

-7-2 质点系动量矩定理

--7-2-1 质点系的动量矩

--7-2-2 质点系动量矩定量

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程

--7-2-4 刚体平面运动微分方程

-7-3 质点系动能定理

--7-3 质点系的动能定理

-7-4 质系普遍定理的综合应用

--7-4 质系普遍定理的综合应用

-7-5 碰撞

--7-5 碰撞

-例题

--7-1 质点系动量定理1-4

--7-2-1 质点系动量矩例题1

--7-2-2 质点系动量矩定理例题1-2

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程例题1-2

--7-3 质点系动能定理例题1-2

--7-4 质系普遍定理的综合应用例题1-2

--7-5 碰撞例题1-4

-扩展内容

--7-拓展-a跳高

--7-扩展-b跳水

--7-拓展-c手机吊冰箱

--7-扩展-d小鸭下山

--7-扩展-e飞针穿玻璃

--第七章 质点系动力学--作业

第八章 分析动力学

-8-1 达朗贝尔原理

--8-1达朗贝尔原理

-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理

--8-2达朗贝尔-拉格朗日原理

-8-3 第二类拉格朗日方程

--8-3第二类拉格朗日方程

-8-4 拉格朗日方程首次积分

--8-4拉格朗日方程首次积分

-例题

--达朗贝尔原理例题

--8-2达朗贝尔原理-拉格朗日

--8-3第二类拉格朗日方程

--8-4拉格朗日方程首次积分

-扩展内容

--广义动量守恒

--广义能量守恒

--非定常约束

--无轮小车

-第八章 分析动力学--作业

3-1-2 矢量的绝对导数与相对导数笔记与讨论

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