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例题2 圆轮滚动在线视频

下一节:1-3 自然坐标描述法

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例题2 圆轮滚动课程教案、知识点、字幕

例题2

半径为R的圆轮沿直线轨道做纯滚动

设圆轮保持在同一竖直平面内运动

且轮心的速度u为已知值

试分析圆轮边缘某一点P点的运动

首先我们建立坐标系Oxy

其中O是P点在最低位置时候和地面的接触点

x水平,y竖直

当圆轮转动角度φ之后

x等于OC的长度减掉oP的水平分量

等于OC减掉oP乘以sinφ

利用纯滚动关系,OC的长度等于PC的弧长,等于R乘以φ

因此x等于R(φ-sinφ)

y方向等于oC的高度减掉oP在竖直方向上的分量

应该等于R(1-cosφ)

那么我们得到了P点的运动方程

如果能够消掉φ,就能求出P点的轨迹

但是在这个问题中φ不好消掉

所以我们可以留着,作为参数

实际上,这就是旋轮线的参数方程

下面我们看一下旋轮线方程是什么样子

下面进行速度分析

速度等于x和y方向上的2个分量

x、y我们前面已经有了

代入之后就得到了速度的表达式

这里面含有φ一点

那么φ一点怎么求呢

可以通过圆心的速度求出来

u等于xo的导数

x等于弧长,因此等于R乘以φ

对时间求导,R不变,因此(求导)等于R乘以φ一点

把这个式子一头一尾结合在一起

我们就求出了φ一点等于u除以R

注意这个关系式总成立,所以我们进一步求导

就可以得到φ两点等于a除以R

这两个公式是圆盘在平面上做纯滚动时的基本结论

(以后)可以直接用

下面我们讨论速度的方向

速度因为有两项,所以方向还比较复杂

我们看看在特殊情况下

比如说当P点和地面接触时,即φ等于2kπ时

我们代入之后可以得到速度等于0

P点在最低位置的时候(和地面接触时)

速度是为0的

这是为什么呢

(目前)我们只能说:我们算出了这样的结果

但是它的物理解释还不是太清楚

当P点位于最高位置时,即φ=(2k+1)π时

可以算出来速度等于2倍的R乘以φ一点,方向水平

这个(结论)的物理解释我们也可以思考一下

下面我们看看在一般的情况下,P点的速度方向怎么样呢

我们可以把OP、OC以及PC的矢量写出来

然后把速度和这些矢量进行点积、叉积

结果发现:速度和rCP点积等于0

也就是说,速度是垂直于CP这个矢量的

它的物理解释又是什么呢

下面我们看看P点的加速度

加速度等于速度的导数

速度我们前面已经求出来了

因此我们代入之后,可以求出很复杂的一串式子

我们也试着讨论一下,当P点接触地面时

φ等于2kπ时

我们可以算出加速度,大小是等于u的平方除以R

方向是竖直向上的

大家注意加速度不等于0

我们注意到前面曾经说过:当P点在最低位置的时候

速度是等于0的

现在我们又说(在这一位置)加速度不等于0

那这又是为什么呢?请大家思考一下

理论力学课程列表:

绪论

-绪论

--绪论

第一章 点的运动学

-1-1 矢量描述法

--第一章运动的描述

--1-1 矢量描述法

--矢量及其运算

-1-2 直角坐标描述法

--1-2直角坐标描述法

--例题1 椭圆规

--例题2 圆轮滚动

-1-3 自然坐标描述法

--1-3 自然坐标描述法

--例题3 单摆

-1-4 极坐标描述法

--1-4 极坐标描述法

--例题4 演员

--讨论题 多种方法求解

-扩展内容

--a 点的运动学扩展

--b 观察与思考

--c 时间与方向

--d 仰望星空

--e 兔子追击问题

-第一章 点的运动学--作业

第二章 刚体运动学

-2-1 刚体的定义与运动形式

--2-1 刚体的定义与刚体的运动形式

-2-2 刚体的矢量-矩阵描述

--2-2 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-0 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-1 刚体的运动方程

--2-2-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-2刚体的矢量-矩阵描述例题1-2

-2-3 刚体平面运动

--2-3 刚体平面运动

--2-3-1 平面运动的运动方程

--2-3-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-3-3 速度分析 基点法

--2-3-3 速度分析 瞬心法

--2-3-3 速度分析 速度投影定理

--2-3-3速度分析 刚体平面运动的瞬心轨迹

--2-3-4 刚体平面运动的加速度分析

--2-3-3速度分析例题1-4

--2-3-4加速度分析例题1-4

-2-4 刚体定点运动

--2-4-1 刚体定点运动几何分析

--2-4-2 刚体定点运动的解析描述

-扩展内容

--2-扩展-a加速度是否存在投影定理

--2-扩展-b图形放大器

--2-扩展-c连弩射击

--2-扩展-d关于刚体的转动

--2-扩展-e欧拉角探秘

-第二章 刚体运动学--作业

第三章 复合运动

-3-1 点的复合运动

--3-1 点的复合运动

--3-1-1 运动方程

--3-1-2 矢量的绝对导数与相对导数

--3-1-3 速度合成定理

--3-1-4 加速度合成定理

-3-2 刚体复合运动

--3-2 刚体复合运动

-例题

--3-1-1 运动方程例题1 工件轨迹

--3-1-3 速度合成定理例题1-3

--3-1-4 加速度合成定理例题1-4

--3-2-1 角速度合成例题1-3

--3-2-2 刚体定点运动例题1-2

-扩展内容

--钟表的设计

--寻找四叶草

--差动齿轮

--指南车

--逆行风车

-第三章 复合运动--作业

第四章 几何静力学

-4-0 静力学公理序言

--4-0 静力学公理序言

-4-1 主矢量和主矩

--4-1 主矢量和主矩

-4-2 力系的等效与简化

--4-2 力系的等效与简化

-4-3 受力分析与刚体平衡

--4-3 受力分析与刚体平衡

-4-4 平面力系的平衡方程

--4-4平面力系的平衡方程

-4-5 考虑摩擦的平衡问题

--4-5考虑摩擦的平衡问题

-4-6 刚体系的平衡

--4-6-1 组合结构

--4-6-2 桁架

--4-6-3 机构

-例题

--4-1 主矢量和主矩例题1-3

--4-2 力系的等效与简化例题1-3

--4-3 受力分析与刚体平衡例题1-3

--4-4 平面力系的平衡方程例题1-2

--4-5 考虑摩擦的平衡问题例题1-6

--4-6-1 刚体系的平衡例题1-3

--4-6-2 桁架例题1-4

-扩展内容

--4-扩展-a纸桥过车

--气球的平衡

--平衡大师

--4-扩展-d动物爬绳

--4-扩展-e力学与考古

-第四章 几何静力学--作业

第五章 分析静力学

-5-1 约束及其分类

--约束及其分类

-5-2 虚位移

--虚位移

-5-3 虚功原理

--虚功原理

-5-4 广义坐标和广义力

--广义坐标和广义力

-5-5 势力场中的平衡

--势力场中的平衡方程

-例题

--5-3 虚位移原理例题

--5-4 广义坐标和广义力例题

--5-5 势力场中的平衡方程例题

-扩展内容

--关于投影

--不倒翁

--5-扩展-c欹器

--冈布茨

-第五章 分析静力学--作业

第六章 质点动力学

-6-1 质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程例题

-6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2质点在非惯性系中的运动例题1

-6-3 相对地球的运动

--6-3 相对地球的运动

-扩展内容

--宇航员的问题

--6-扩展-b在小行星上打台球

--失重现象及模拟失重

--非线性方程的近似解

--落体问题在惯性系中解释

-第六章 质点动力学--作业

第七章 质点系动力学

-7-1 质点系动量定理

--7-1 质点系动量定理

-7-2 质点系动量矩定理

--7-2-1 质点系的动量矩

--7-2-2 质点系动量矩定量

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程

--7-2-4 刚体平面运动微分方程

-7-3 质点系动能定理

--7-3 质点系的动能定理

-7-4 质系普遍定理的综合应用

--7-4 质系普遍定理的综合应用

-7-5 碰撞

--7-5 碰撞

-例题

--7-1 质点系动量定理1-4

--7-2-1 质点系动量矩例题1

--7-2-2 质点系动量矩定理例题1-2

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程例题1-2

--7-3 质点系动能定理例题1-2

--7-4 质系普遍定理的综合应用例题1-2

--7-5 碰撞例题1-4

-扩展内容

--7-拓展-a跳高

--7-扩展-b跳水

--7-拓展-c手机吊冰箱

--7-扩展-d小鸭下山

--7-扩展-e飞针穿玻璃

--第七章 质点系动力学--作业

第八章 分析动力学

-8-1 达朗贝尔原理

--8-1达朗贝尔原理

-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理

--8-2达朗贝尔-拉格朗日原理

-8-3 第二类拉格朗日方程

--8-3第二类拉格朗日方程

-8-4 拉格朗日方程首次积分

--8-4拉格朗日方程首次积分

-例题

--达朗贝尔原理例题

--8-2达朗贝尔原理-拉格朗日

--8-3第二类拉格朗日方程

--8-4拉格朗日方程首次积分

-扩展内容

--广义动量守恒

--广义能量守恒

--非定常约束

--无轮小车

-第八章 分析动力学--作业

例题2 圆轮滚动笔记与讨论

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