2-2刚体的矢量-矩阵描述例题1-2在线视频

好，下面我们来看一下

受约束的定点运动

这是个圆锥，正圆锥

它的顶点O是固定点

它在水平面上做纯滚动

圆锥的底面中心点，C点

水平方向的速度是48厘米每秒

然后我们知道圆锥的高度h是4厘米

底面半径r是3厘米

我们来求一下

圆锥体的角速度和角加速度

以及C点和A点的加速度

这个圆锥体作定点运动，以O为定点运动

这个圆锥体和水平面的交线OA是转动轴

是这一瞬时的转动轴

因此角速度是沿着转动轴方向

那具体是什么方向呢？我们用右手定则来比划

可以知道是沿着坐标的（向右）这个方向

沿着X轴的负方向

那么根据公式

C点速度等于ω叉乘roc

因此，我们代入具体的公式

代入具体的数值，我们可以求出来

把它带进来，等于这样一个值

那么这个值可以求出来什么呢

角速度等于负的20倍的i弧度每秒

那么它大小是20

方向是沿着坐标的负方向

是沿着x的负方向

这就把角速度求出来了

也就是说，在这一瞬时

C点可以认为是绕OA这个轴做一个转动

所以用这个公式

Vc等于ω叉乘roc，来求出ω来

下面我们求角加速度

我们前面已经分析了

角速度是绕Z轴做定轴转动

在这一瞬时角速度是（水平）这个方向

下一时刻角速度转到别的方向去了

那么这个角速度ω转动的快慢是多少呢

快慢我们用ω'表示

那么它写出来是

ω'等于C点速度除以C点到（z）这个轴的距离

我们现在可以来这样理解

角速度这个量，我们看做一个矢量

这个矢量绕着Z轴在转动

以ω'这样的角速度转动

那么矢量的末端就有个速度

这个速度是什么呢？就是角加速度

因为我们可以按照矢量端图的几何解释

角加速度就是角速度端图的速度

因此我们再回到这个地方来，看出来

角加速度等于多少呢

就等于ω一点，它等于ω'叉乘以ω

这两个结果叉乘之后，就是角加速度

因此，（角加速度）本来是画在这个位置

画在（角速度）末端这个位置

但是（角加速度）它可以平移，因为是刚体，可以移过来

所以，角加速度最后等于

15倍的k叉乘以负的20倍的i

等于负的300倍的j弧度每秒方

负号表示方向沿着y轴的反方向

也就是，我们的角加速度

是利用了矢量端图的几何解释，把它做出来的

有了角速度和角加速度之后

我们可以来求C点和A点的加速度

首先我们看公式

C点加速度，因为这是定点运动

所以可以等于什么呢

角加速度叉乘以roc，加上角速度叉乘以Vc

具体我们前面已经分析了结果

我们把它代入进来

就可以求出来

C点加速度等于负的7.2倍的i，米每秒方

那么画在图上是什么呢

是（向右）这样一个方向，沿着坐标的x轴的负方向

其次我们来分析A点加速度

在分析之前，你可以想象一下

A点是接触点 它加速度会是什么方向呢

你估计一下，然后我们再算算看看

好，按照公式是这样一个表达式

我们带入具体的值之后

可以得到，等于15倍的k，米每秒方

也就是说，A点（加速度）方向是竖直向上的

这个结果是不是出乎你的预料呢

好啦，我们小结一下

刚体做定点运动时的解题的思路和方法

首先根据刚体的约束条件

判断刚体是否作定点运动

其次找出作定点运动刚体上两点速度为零的点

这两点可以确定瞬时转动轴

其次根据已知条件计算角速度

然后根据角速度的变化规律，分析角加速度

我们利用了这样一个公式

角加速度等于角速度的导数

它可以等于

角速度绕着另外一个轴，以ω'转的时候

那么这个时候角加速度等于什么呢

ω'叉乘角速度

当然这里面要注意

这个（结论）是不是有什么条件？大家思考一下

然后

我们可以计算刚体上任一点的速度和加速度

好，下面我们看第二个例题

半径为r的车轮沿圆弧运动，做纯滚动

如图所示

这个车轮，一方面绕着这个OE轴转动

而OE轴绕竖直轴转动

假设已经知道轮心的速度u，等于常数

知道这个半径，圆心的这个半径是R

我们想求一下

圆轮上最高点B点的速度和加速度

首先我们注意到车轮的轮心做一个圆周运动

如果看俯视图的话呢

这个（车轮）圆心是作一个这样的轨迹运动

O是圆心

我们可以把O点看作整个车轮延拓部分的一点

这样一来

我们就认为车轮绕着O点作一个定点运动

也就是说，O点是不动的

从这个图上（看），O点是不动的

由于轮子作纯滚动

车轮与地面接触点，C点，也是速度为零的点

因此根据前面的知识，我们就知道

瞬时轴就是要过速度为0的两个点

因此过O点和C点

因此OC是它的瞬时转动轴

也就是说刚体在这一瞬时绕着OC运动

因此角速度是沿着OC的这个方向

一判断，是沿着这个方向，向（右下）这个方向

那么我们写出来，E点速度等于

我们已经知道是u乘以τ方向

它是等于ω叉乘以rOE

那么具体带入，等于ω乘以Rsinατ

α是(瞬时轴与水平线)这个角度

从这个公式中我们可以求出来

ω就等于u除以R，再除以sinα

方向是沿着OC方向

那么再看B点

是等于ω叉乘以rOB

前面角速度已经求出来了

rOB的几何关系很容易得到

因此算一下之后就得出来

B点速度等于两倍的E点速度

这个也不奇怪

因为在这一瞬时，这个刚体绕OC轴做定轴转动

E点和B点的关系正好是两倍的关系

所以它们的速度也是两倍关系

这个题目还有另外一种解法

我们可以以C为基点来分析B点的运动

那么写出公式就是

B点速度等于基点C点速度

加上动系的角速度叉乘以rCB

那么这公式把它带进来之后

就会得到

B点等于ω叉乘rCB

因为C点速度是为0的，C点是接触点

因此这样一来，可以很快得出来

B点速度等于两倍的E点速度

这个可以直接看出来是两倍关系

同时我们注意轮子角速度的大小，它是一个常数

但是它的方向是随OC不断地变化的

因此，它绕着（竖直轴）转动的时候的快慢是ω'

我们可以写出来，ω'是等于u除以R

根据我们前面的解释

角加速度可以认为是角速度矢量端图的速度

因此它等于ω'叉乘以ω

把它带入具体式子就等于ω'ω乘以cosα

在τ方向上面

那么具体就是

等于速度平方除以R再除以r，τ方向

有这个之后，我们求加速度

B点加速度等于

角加速度叉乘以rOB，加上角速度叉乘以B点速度

那么，具体地分析

就可以得出来

它包括两部分

一部分是指向这个转轴的，一部分是和它垂直的

其中和它垂直是等于角加速度乘以rOB

算出来之后是等于速度的平方除以R再除以sinα

而这个向轴的加速度

是等于两倍的u平方除以R再除以sinα