4-1 主矢量和主矩在线视频

好,下面我们介绍

第一节，力系的主矢量与主矩

我们先介绍一下力系的主矢量

那么力系的主矢量是什么呢

是力系中各力的矢量之和

写出来就是

用R表示的话，R=∑F

也就是说

各个力F把它全部加起来

需要注意的是什么呢

就是：力的主矢量和合力是两个不同的概念

下面简单说一下

合力是

作用在同一点上的各个力的矢量之和

而主矢量

它作用点可以是不一样的

可以是不同的点的矢量之和

这是第一点

其次

主矢量有大小，有方向

但是没有作用点

而合力是有作用点的

另外，对于汇交力系

主矢量大小和方向

与合力的大小、方向相同

而对于一般力系

它可能不存在合力

但是主矢量总是存在的

其次我们要注意，就是说

力系的主矢量是等于外力的主矢量

因为如果有内力存在

内力是成对出现的，它会抵消掉

所以这个很关键，就是说

力系的主矢量等于外力的主矢量

那么

我们在分析力系的时候

可以利用力的多边形法则

就是说

如果有多个力相加

前面我们说，写公式是R=∑F

但是我们可以用几何方式把它算出来

比如说

把各个力首尾相连

然后把第一个力的起点

跟最后一个力的终点相连接

得到的结果就是原力系的主矢量

比如说我们看这个图

如果这个物体上受了很多力

F1到Fn

我们把F1、F2、F3一直这么首尾相连

那么最后的结果就是

把F1的起点到Fn的终点连起来

红色这个矢量

就是原力系的主矢量

好

那么这样一个方法

叫力的多边形法则

正好解释了为什么我们叫几何静力学

几何静力学就是说

如果你把这些力

按照大小比例画出来

你可以把最后结果用尺子一量

就知道什么结果

所以不需要计算，测量就可以量出来了

所以叫几何静力学

可以用几何方法把静力学解出来

好，前面我们介绍了主矢量的概念

那么我们需要注意的是

主矢量只有大小和方向

没有作用点

那么利用主矢量这个概念

可以把力系大为简化

比如说

我们这里有个刚体

上面作用有F1、F2一直到Fn

那么所有这些力

可以把它简化到，比如说

向中间（某点）简化之后，得到一个红色的R

它的主矢量

我们可以想象

原来有很多很多力

现在只有一个R

那当然大为简化了

就为后边的分析提供了方便

但是这个带来一个问题

因为主矢量只有大小和方向

没有作用点

那么这个力的主矢量作用在哪儿呢

你不能放这儿、放那儿

可能是不等效的呀

比如说我们看，划船

你在左边划和右边划

当然效果不一样了

所以就带来了一个问题

就是说

主矢量的作用点没有，那怎么考虑呢

还比如说：我们还可以看这样一个例子

比如说，在第一个图中

F1、F2它们大小相等，方向相反

但是是共线的

好，这个结果和第二个图中的F1、F2

它们虽然也是大小相等、方向相反

但是不共线

我们可以很容易看出来

两者的主矢量R都等于零

但效果是不一样的

第一个可以处于平衡

第二个它是会转起来

所以说

通过前面的几个例子表明

把力系简化为主矢量的时候

除了考虑主矢量

还要考虑力系对物体产生的一种旋转的

一种转动的效果

而这个就需要引出力矩

力对点之矩

力对轴之矩

以及力偶等等这些表征转动效果的概念

例如，我们在生活中有这样一个例子

比如一个螺丝，拧紧之后

我们直接用手拧可能拧不开了

这时候你用扳手

卡入之后，一拧可能就把它拧开了

那么在这个问题中，我们会注意到

我们手上的力

可能我们的力并没有明显变化

但是直接用手和用扳手效果不同

这就表明了

虽然我们的力量没有增加

但是我们与螺丝的距离变化了

因此

我们可以把力与距离的乘积

来表示拧螺丝的一个能力

那么在这个问题中是拧螺丝

但是在更一般的问题中就表示旋转的效果

这样我们来看这样一个问题

就是力与距离的乘积

反映了一种转动的效果

我们把这个效果称为“力矩”

那么问题是：力矩会是什么形式呢

比如说

如果仅仅根据前面叙述的话，我们可能会说

力矩会不会是F·r？

这是一种可能性

还有一种可能性

力矩等于F×r

但是也可能会说

会不会等于r×F呢

这三个形式都是它们乘积的形式

一个是点积两个是叉积

那么，我们来解释一下：为什么是某一种

而不是另外两种呢

比如说，我们以推门为例

一个门在这儿

我们知道用手一推立刻就把它推开了

这时候我们根据经验，我们知道

推门的时候

我们垂直于这个门用力，效果会比较好

根据这个事实，我们可以知道

F·r就不行

因为F·r，垂直时点积为零

而我们知道

这样推门效果是最好的

所以点积就不对了

那这时候剩下是两个叉积

到底是F×r还是r×F呢

那么这时候我们用我们的右手定则看一下

我们知道：我们推门的时候，看一下图

F是这个力，r是这个方向

（门）转动，绕（竖直）这个轴转起来之后

是（角速度朝上）这样一个方向转起来

那么我们用哪个公式才能表示

r、F和这整个方程式，满足右手定则呢

我们看出来

如果定义成F×r

我们一推门的时候，是（角速度朝下）这样转

正好和我们（实际看到的效果）相反

我们一推门的时候它是（角速度朝上）这样转的

所以

用r×F可以正好把这个全部串起来

所以我们最后定义什么呢

M=r×F

好，是这样来定义力矩的

所以通过这样的一个讨论

我们就知道一些事情的（来历）

它怎么定义以及为什么这样定义

那么下面我们具体来研究一下

力对点之矩

它是这样定义的

就是，这个力矩我们用M表示，Moment

它对于O点取矩，所以下标要加上O点

Mo=r×F

那么这个力矩

度量了力对物体作用的一个转动效果

它的大小

是和力乘距离有关系

比如我们看到这个图中

这个扳手，这个螺丝

那么，如果这个r是从

螺丝的中点到扳手的作用点位置

F是竖直向下

这时候 r×F

它整体的效果，它最后的大小是多少呢

是等于力乘以这个距离

就是说从O点到力的这个距离d

好，它的方向，用右手定则来定

它是垂直于r和F的

同时我们注意

说力对点之矩的时候

这个矩心一定要注明

比如说O点

我们把O点作为下标写在M下面

那么这个力矩可以给出几何解释

它是什么意思呢？你看

我们画个示意图

给出一个r、一个F、一个Mo

它的几何关系可以看成什么呢

它的大小是等于两倍的三角形

O A B（的面积）

它的方向是垂直于r和F

所以

出来之后，我们可以这样考虑，就是说

有r、有F之后，它构成一个三角形

然后

（力矩）它的大小是三角形两倍的面积

方向垂直于三角形

另外

根据这个矢量叉乘关系，我们可以知道

力沿着作用线滑移的时候是不影响结果的

比如说，我们看这个力AB

沿着AB这个作用线移动的时候

不管在什么位置，它叉乘的时候效果不变

所以从这个意义上说

在计算力矩的时候

力的作用线在哪儿很关键

但力的作用点在哪儿并不重要

好 下面我们介绍一下

力对轴之矩

那么前面介绍了力对点之矩

我们还要研究一下

力使物体上某个轴转动的时候

从我们力对点之矩我们看出来什么呢

比如对于O点 Mo=r×F

我们可以把这个公式，把它展开之后

比如说它沿着x、y、z方向有三个分量

分别是这样一个表达形式

好，我们以第三个量

z这个方向分量为例

它等于什么呢，xFy-yFx

那么这个（式子）是什么意思呢

是表示力对于z轴的力矩

因为它向三个方向分解了

因此，我们从这里可以看出来

力对轴之矩，它可以分别写成

Mx、My、Mz分别等于这样一个式子

我们以z轴写出来的式子

我们再看x轴等于什么呢

Mx=yFz-zFy等等，这样的例子

所以说，我们可以把力矩分解

力对O点的矩可以写成是

这个力对x轴的矩

加上力对y轴的矩

加上力对z轴的矩

当然它们分别是沿三个方向加起来的

好，那么从这里面我们可以看出

一般的公式就是

力对z轴之矩可以写成是

力对O点的矩

然后点乘以某一个单位向量就可以了

那么下面我们可以把它稍微扩展一下

就是，假设你要研究这个

力对任意某个轴的矩，该怎么做呢

根据前面的那个公式

我们很容易想到就是

假如我们对n轴取矩

就是说Mn等于什么呢

你先对这个点取矩

就是说你在n上面取个点

比如O点取矩，然后再点乘以这个

n的单位向量就可以了

可以变成：Mn=Mo·n

那么全部写出来等于什么呢

r叉乘以F再点乘以n

这样就可以求出力对任意轴的矩

好，第四点我们介绍力系的主矩

力系的主矩就是这样定的

把所有的力对某点矩

把它加在一起就可以了

所以就是Mo=∑r×F

好，全部加起来就可以了

那么下面我们介绍一下

力系对不同矩心的主矩之间的关系

假如说这个力系上有很多力

那么，其中第一个是对O点作用的矩

然后它对于P点也有矩

那么我们想看看它们什么关系

好，我们根据定义式

我们可以写出来

所有的力系对P点的力矩，可以写出来

Mp=∑rPA×F

那么利用一下运动学关系

这个rPA是等于rPO加上小ri

ri就是从O点到A点的矢径

我们把它展开之后，得到了两项

其中第一项

就是力对O点的矩 Mo

那么后面这一项

变成是rPO×∑F

好，那么∑F

又利用我们前面学的公式

就是力的主矢量

所以，最后得到什么结果呢

得出来 Mp=Mo+R×rop

也就是说

同一个力系对于不同的点

它们满足这样一个关系式

好

这就是力系对不同矩心的主矩之间的关系

好，今天就介绍到这里