关于投影在线视频

我们学的很多知识

但是我更希望大家

从这些知识中得到启发

学到一些智慧

好 下面我们看看

从投影的话

我们可以学到的一些东西

首先的话呢

投影的话是一种变换

而变换的话

是数学中最常用的一种处理方法

那么 下面给大家介绍一个故事

很有意思

是人类有记载的最早利用投影的故事

希腊哲学家泰勒斯

他很早

在公元前624年到公元前547年

他呢 像孔子一样到各处游学

到了埃及

埃及很多金字塔

他不用登上金字塔就知道有多高

令当地的人对他十分的敬畏

他的方法的话 特别简单

他立一根标尺

然后呢 以标尺立的地方为圆心画个圆

让它的半径等于标尺的长度

那么 早上的时候

太阳升起来了

影子的话呢 超出了这个圆

中午的时候的话 影子最短

在圆里面

那么 根据数学中的连续性定理

或者 不用数学原理

根据生活中的经验 你也知道

一定存在某一时刻

影子正好在那个圆的边界上面

这一时刻是几点几分并不重要

它有这样的时刻就可以了

好了 在这一时刻的话呢

影子的长度等于物体的高度

利用这一事实

他只需要在金字塔旁边

立这样一个标尺

画好圆

什么时候影子到了他指定的圆

我们知道埃及的阳光也比较强烈

所以影子比较清楚

当它到了指定圆的时候

他把金字塔顶端的影子刻下来

然后慢慢去量影子的长度就可以了

所以的话 利用这种方式

就把金字塔的高度

变成了一个水平的距离测量

那样就很容易实现了

所以我们要学会

如何利用我们的知识去巧妙解决问题

那么 关于投影的话呢

还有另外一个解释

投影的另外一个物理解释是什么呢

是把物体的维数减少

或者说在一个方向上进行压缩

这个图片的话呢

是一本书《从一到无穷大》中

这本书中的一个图片

它说左边的那个图的话呢

是我们从字面上理解 把一个物体压缩

比如说 把一匹马压缩

当然这是残忍的

但是我们只是说从字面上理解

右边那个图的话呢

就是说一束光过来

让这个物体留下了影子

这个是我们理解的压缩

右边这个图是真正的理解

好 这是在

现实社会中的压缩是这么理解的

那么 我们可以看到

在有些情况下的话呢

直接用光投影的话呢可能不行

比如说 一个地球

如果光过来之后的话呢

各个大陆呢 在那边会叠在一起

就没法看了

所以说呢 这时候就不能像前面那样投影

这怎么办呢

可以把光放在地球的中间

点个日光灯

然后呢 在它周边搞个圆柱

这时候它投影之后的话呢

就把一个球面投影到一个圆柱面上了

当然 你要知道 这样投影的会变形

特别是南北两极的话呢 变形很严重

一个点变成一条线了

所以 越往南北两极的话呢

变形越严重

但是 不管怎么说

它可以把一个球变成一个平面了

好 前面说的话呢

是真实物理世界中的投影

我们可以把它很容易推广到一般的情况

比如说 我们左上边的那幅图的话呢

也是这本书里

《从一到无穷大》这本书里的

它说 假设有一种人生活在一个纸张之中

是个二维世界中的人

他看到一个来自三维世界中的投影

我们叫这个人的话呢

用一个三维世界中的立方体

投在这个之后的话呢

在纸面之上变成这样一个情况了

就是说 他会很激昂的看着

来自三维世界的一个立方体的投影

然后 当我们在笑话这个纸面上的

平面人的时候的话呢

也许在这个宇宙中还有一个

更高空间的宇宙生物在笑我们呢

因为他把他世界里边的立方体

投到我们世界来了之后

就会像这个样子的

这会让我们很惊讶

噢 这个东西是更高维世界的立方体

好 当然这是个笑话

就是告诉我们

我们的思维

不要仅仅局限于我们的现实社会

也可以想的更开阔一些

好了 刚才的话呢

是从物理上说 回到我们力学上来

在力学中的话呢

投影表现为矢量的点乘

而点乘的特点是什么呢

相互垂直的量 点乘为零

利用这一特点的话呢可以消除一些未知数

或者使方程解耦

比如说在这个图中

这个红色的话呢假如是未知量

那我们解这两个未知量的话呢

我们可以水平方向 竖直方向

列方程来投影进行求解

这样解的话呢它会耦合在一起

还有一种方式的话呢

我们可以向它的某个方向垂直进行投影

这样的话呢一次解一个未知数

所以 利用投影的话呢

可以使我们解方程的时候会简单一点

但是 这种方法的话呢

如果未知数超过两个的话呢

这样直接投影的话呢就不行

不管你怎么投 它会都耦合在一起

所以说呢 直接投影是不行的

但是 这种利用投影消除未知数的思想

是很重要的

所以我们要把这种思想加以放大

那么 回到我们的曾经讲过的理论力学

我们有公式 牛顿第二定律

就是质量×加速度=力

这个力分解为它受的力和约束力

主动力和约束力

那么把这个公式元移项之后

我们如何消除这个未知力呢

这个未知力要注意 它可能还不止一个

因为下标i的话呢 可能有很多个

好 这时我们注意

把这个式子点乘一下δri

也就是说 达朗贝尔原理

然后利用理想约束条件∑里面

n点乘以δri的话等于零

这就是理想约束条件

利用这条件之后的话呢

可以让很多未知的n呢不出现

所以 利用理想约束条件的话呢

可以使问题简化

那么 这个理想约束是不是普遍存在呢

还是说很特殊呢

我们发现啊

对于我们遇到的大部分约束都是理想约束

比如说 如果是光滑曲面约束

它满足约束力和那个δr垂直

就是虚位移和它垂直 所以它点乘为零

如果是有摩擦

就是说如果是纯滚动的话

也满足这个关系

就是n点乘以δrc也是为零

那么 如果对于不可伸长绳子的话呢

它两端的速度可以是任意

但是它满足什么呢

满足托尼定理

因为它不可伸长

所以这时候还是满足这个关系

加在一起等于零

因此的话 我们看出来

在理论分析的时候

理想约束还是比较普遍存在的

所以的话呢

我们利用达朗贝尔原理加上理想约束条件

我们就可以得到一个动力学普遍方程

大家注意 在这个方程中的话呢

n没了

这个n是很多个可能是很多个约束力没了

所以的话呢 利用这样一种方式

就消除了未知数

所以在这一推导中的话呢

通过理想约束消除了约束反力

也可以这样理解

把系统中的所有的力向虚维方向投影

就可以消除一些未知的反力

那么 我们更广义的说

就是把系统中的某些量

向另外一些量投影就有可能使问题简化

当然 怎么投影 怎么做还需要琢磨琢磨

但是 至少这种处理问题的方法和思路

值得我们考虑

好 希望大家从这个投影定理中

从投影中得到启发

谢谢大家