当前课程知识点：理论力学 > 第八章 分析动力学 > 扩展内容 > 广义动量守恒
好 今天的话我们讨论一个关于
广义动量的问题
我们知道的话呢 拉格朗日方程啊
不但告诉我们如何列写方程
还告诉我们如何求它的广义积分
那么我们看看 在这个里面
比如说循环积分怎么求
我们稍微回顾下
就是说如果系统中
主动力是有势的
并且的话呢 拉格朗日函数L
是不显含某个广义坐标qj的话
那么 明显 因为不显含所以∂L ∂qj等于0
然后我们把这个结果代入拉格朗日方程
就得到什么呢 就得到
∂L ∂qj一点它的倒数等于0
因此得出什么呢 得出∂L ∂qj一点等于常数
那么这个就叫循环积分
那么这个循环积分是什么含义呢
我们知道的话呢 这个L的话呢
我们把它稍微改写下
把它变成∂L ∂qj一点
可以写成是∂T ∂qj一点
T的话是动能
那么从广义说的话呢
动能对于广义速度求偏导的话呢
那出来就是动量
因为是广义速度所以出来就叫广义动量
所以的话呢 它的结果就叫广义动量积分
所以循环积分的通常意思是说广义积分
因此今天我们的问题是什么呢
我们就说
如果一个系统存在着广义动量积分
或者叫广义动量守恒的话
它和它的动量守恒有什么关系吗
我们讨论这样一个问题
那么 我们来看一个例题
就是假设的话呢 一个小车
它有两个轮子 在水平面上运动起来
水平面的话有一定摩擦
所以小轮的话做纯滚动
那么车上的话有个物块跟弹簧连接
好 也就是说这是典型的一个例题了
那么我们想分析下
对于这样一个问题
这个拉格朗日函数的首次积分
是什么 以及它是什么含义
好 我们来看一下
xr表示这个m2物块相对小车的运动
那么 我们很容易把
它相关的动能势能都写出来
比如说把拉式函数写出来
这个很快可以写出来
那么 势能的话呢
因为在这里面高度都不变
只有弹性力的势能 也很快把它写出来
因此我们得到拉式函数
好 我们看这个框子的拉式函数
我们一看的话呢
看看它 是不是满足一些条件
比如说主动力是不是有势的
重力和弹簧力都是有势的
首先它不显含时间T
就可以看出来了
因此存在一个广义能量积分
然后由于因为是定常约束
所以机械能守恒
我们可以把它写出来
好 我们着重
今天看 着重看第二个 就是
它不显含广义坐标x
因此存在一个循环积分
我们具体把它写出来的话就是说
∂T ∂x一点等于表达式
这个表达式的话是等于3m1x+m2（x+xr）
这个积分等于常数
我们下面着重看看
这个是什么含义呢
它的含义的话呢就是说
广义动量守恒
但是我们注意到这个物体中啊
因为地面是有摩擦的
所以它动量是不守恒的
所以我们向 找找看
广义动量守恒 但是动量不守恒
那它们间有什么联系呢
我们下面来看一下
好 我们先把它的广义动量写出来
3m1x+m2（x+xr）=C
那么 我们再可以把这个问题啊
用以前的方法来处理下 就是
用牛顿力学方法来处理一下
这个 比如说小车车轮
在水平面上运动 受到一个摩擦力
动量是不守恒的
但我们可以列出一个表达式
来看一下 我们可以列出系统的
水平方向动量定理我们可以把它列出来
我们看 小车
车轮的话质量是m1
两个车轮所以是2m1
它是按着x轴方向这样轨迹运动
所以加速度是x两点
所以2m1乘以x两点
上面mr这质量的话呢
一方面跟随着车运动
一方面还相对运动所以是
m2（x+xr）
也就是说根据质心运动定理的话呢
质量乘以质心加速度应该等于
所说的合外力 合外力是-2f
因为车轮上
每个车轮上受一个f所以是-2f
负方向是因为和x正方向相反
好 这是根据动量定理列出的式子
水平方向动量定理列出来了
同时的话呢 我们对车轮再单独列个式子
这车轮的话呢 受到力之后转起来了
我们很容易对它车轮的
轮心列出一个相对的动量矩定理
就是转动惯量乘以角加速度
等于外力对轮心的距
那么转动惯量就是1/2m1r的平方
加速度的话就是θ两点
那么外力定向距的话呢
就支撑力的话呢通过这个轮心不出现
那么只有摩擦力对它有距
就是fr
好了 下面我们注意
这个车轮是做纯滚动
在做纯滚动情况下呢会有
rθ=x
就是它走过的距离和滚过的幅度相等
把这个导出来
因此的话呢
把这个关系式代入车轮中的
动量矩定理 得到什么呢 得到
m1x=2f
好 也就是说 把两边都乘以一个两倍
然后把削掉它之后得到这样一个式子
好了 下面我们把动量定理
跟动量矩定理加在一起
这样之后 看得到什么结果
得到正好是我们的广义积分
就是广义动量定理
所以的话呢 通过这样一个分析
也就知道在我们这例题中
是什么意思呢
在我们这个问题中
广义动量就是动量和动量矩的某种组合
所以我们说 为什么叫广义动量呢
就说 在某些情况下
广义动量就是动量
在某些情况下的话可能是动量矩
在某些情况下的话是动量矩
和动量的某种组合
当然还会有更复杂的情况
但是呢 所以它叫广义动量
好 通过这个例题的话呢
让我们了解到
这个系统的广义动量跟动量之间
它们是可以有关系也可以是没任何关系
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--第七章 质点系动力学--作业
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-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理
-8-3 第二类拉格朗日方程
-8-4 拉格朗日方程首次积分
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-第八章 分析动力学--作业
