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广义动量守恒

下一节:广义能量守恒

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广义动量守恒课程教案、知识点、字幕

好 今天的话我们讨论一个关于

广义动量的问题

我们知道的话呢 拉格朗日方程啊

不但告诉我们如何列写方程

还告诉我们如何求它的广义积分

那么我们看看 在这个里面

比如说循环积分怎么求

我们稍微回顾下

就是说如果系统中

主动力是有势的

并且的话呢 拉格朗日函数L

是不显含某个广义坐标qj的话

那么 明显 因为不显含所以∂L ∂qj等于0

然后我们把这个结果代入拉格朗日方程

就得到什么呢 就得到

∂L ∂qj一点它的倒数等于0

因此得出什么呢 得出∂L ∂qj一点等于常数

那么这个就叫循环积分

那么这个循环积分是什么含义呢

我们知道的话呢 这个L的话呢

我们把它稍微改写下

把它变成∂L ∂qj一点

可以写成是∂T ∂qj一点

T的话是动能

那么从广义说的话呢

动能对于广义速度求偏导的话呢

那出来就是动量

因为是广义速度所以出来就叫广义动量

所以的话呢 它的结果就叫广义动量积分

所以循环积分的通常意思是说广义积分

因此今天我们的问题是什么呢

我们就说

如果一个系统存在着广义动量积分

或者叫广义动量守恒的话

它和它的动量守恒有什么关系吗

我们讨论这样一个问题

那么 我们来看一个例题

就是假设的话呢 一个小车

它有两个轮子 在水平面上运动起来

水平面的话有一定摩擦

所以小轮的话做纯滚动

那么车上的话有个物块跟弹簧连接

好 也就是说这是典型的一个例题了

那么我们想分析下

对于这样一个问题

这个拉格朗日函数的首次积分

是什么 以及它是什么含义

好 我们来看一下

xr表示这个m2物块相对小车的运动

那么 我们很容易把

它相关的动能势能都写出来

比如说把拉式函数写出来

这个很快可以写出来

那么 势能的话呢

因为在这里面高度都不变

只有弹性力的势能 也很快把它写出来

因此我们得到拉式函数

好 我们看这个框子的拉式函数

我们一看的话呢

看看它 是不是满足一些条件

比如说主动力是不是有势的

重力和弹簧力都是有势的

首先它不显含时间T

就可以看出来了

因此存在一个广义能量积分

然后由于因为是定常约束

所以机械能守恒

我们可以把它写出来

好 我们着重

今天看 着重看第二个 就是

它不显含广义坐标x

因此存在一个循环积分

我们具体把它写出来的话就是说

∂T ∂x一点等于表达式

这个表达式的话是等于3m1x+m2(x+xr)

这个积分等于常数

我们下面着重看看

这个是什么含义呢

它的含义的话呢就是说

广义动量守恒

但是我们注意到这个物体中啊

因为地面是有摩擦的

所以它动量是不守恒的

所以我们向 找找看

广义动量守恒 但是动量不守恒

那它们间有什么联系呢

我们下面来看一下

好 我们先把它的广义动量写出来

3m1x+m2(x+xr)=C

那么 我们再可以把这个问题啊

用以前的方法来处理下 就是

用牛顿力学方法来处理一下

这个 比如说小车车轮

在水平面上运动 受到一个摩擦力

动量是不守恒的

但我们可以列出一个表达式

来看一下 我们可以列出系统的

水平方向动量定理我们可以把它列出来

我们看 小车

车轮的话质量是m1

两个车轮所以是2m1

它是按着x轴方向这样轨迹运动

所以加速度是x两点

所以2m1乘以x两点

上面mr这质量的话呢

一方面跟随着车运动

一方面还相对运动所以是

m2(x+xr)

也就是说根据质心运动定理的话呢

质量乘以质心加速度应该等于

所说的合外力 合外力是-2f

因为车轮上

每个车轮上受一个f所以是-2f

负方向是因为和x正方向相反

好 这是根据动量定理列出的式子

水平方向动量定理列出来了

同时的话呢 我们对车轮再单独列个式子

这车轮的话呢 受到力之后转起来了

我们很容易对它车轮的

轮心列出一个相对的动量矩定理

就是转动惯量乘以角加速度

等于外力对轮心的距

那么转动惯量就是1/2m1r的平方

加速度的话就是θ两点

那么外力定向距的话呢

就支撑力的话呢通过这个轮心不出现

那么只有摩擦力对它有距

就是fr

好了 下面我们注意

这个车轮是做纯滚动

在做纯滚动情况下呢会有

rθ=x

就是它走过的距离和滚过的幅度相等

把这个导出来

因此的话呢

把这个关系式代入车轮中的

动量矩定理 得到什么呢 得到

m1x=2f

好 也就是说 把两边都乘以一个两倍

然后把削掉它之后得到这样一个式子

好了 下面我们把动量定理

跟动量矩定理加在一起

这样之后 看得到什么结果

得到正好是我们的广义积分

就是广义动量定理

所以的话呢 通过这样一个分析

也就知道在我们这例题中

是什么意思呢

在我们这个问题中

广义动量就是动量和动量矩的某种组合

所以我们说 为什么叫广义动量呢

就说 在某些情况下

广义动量就是动量

在某些情况下的话可能是动量矩

在某些情况下的话是动量矩

和动量的某种组合

当然还会有更复杂的情况

但是呢 所以它叫广义动量

好 通过这个例题的话呢

让我们了解到

这个系统的广义动量跟动量之间

它们是可以有关系也可以是没任何关系

理论力学课程列表:

绪论

-绪论

--绪论

第一章 点的运动学

-1-1 矢量描述法

--第一章运动的描述

--1-1 矢量描述法

--矢量及其运算

-1-2 直角坐标描述法

--1-2直角坐标描述法

--例题1 椭圆规

--例题2 圆轮滚动

-1-3 自然坐标描述法

--1-3 自然坐标描述法

--例题3 单摆

-1-4 极坐标描述法

--1-4 极坐标描述法

--例题4 演员

--讨论题 多种方法求解

-扩展内容

--a 点的运动学扩展

--b 观察与思考

--c 时间与方向

--d 仰望星空

--e 兔子追击问题

-第一章 点的运动学--作业

第二章 刚体运动学

-2-1 刚体的定义与运动形式

--2-1 刚体的定义与刚体的运动形式

-2-2 刚体的矢量-矩阵描述

--2-2 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-0 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-1 刚体的运动方程

--2-2-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-2刚体的矢量-矩阵描述例题1-2

-2-3 刚体平面运动

--2-3 刚体平面运动

--2-3-1 平面运动的运动方程

--2-3-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-3-3 速度分析 基点法

--2-3-3 速度分析 瞬心法

--2-3-3 速度分析 速度投影定理

--2-3-3速度分析 刚体平面运动的瞬心轨迹

--2-3-4 刚体平面运动的加速度分析

--2-3-3速度分析例题1-4

--2-3-4加速度分析例题1-4

-2-4 刚体定点运动

--2-4-1 刚体定点运动几何分析

--2-4-2 刚体定点运动的解析描述

-扩展内容

--2-扩展-a加速度是否存在投影定理

--2-扩展-b图形放大器

--2-扩展-c连弩射击

--2-扩展-d关于刚体的转动

--2-扩展-e欧拉角探秘

-第二章 刚体运动学--作业

第三章 复合运动

-3-1 点的复合运动

--3-1 点的复合运动

--3-1-1 运动方程

--3-1-2 矢量的绝对导数与相对导数

--3-1-3 速度合成定理

--3-1-4 加速度合成定理

-3-2 刚体复合运动

--3-2 刚体复合运动

-例题

--3-1-1 运动方程例题1 工件轨迹

--3-1-3 速度合成定理例题1-3

--3-1-4 加速度合成定理例题1-4

--3-2-1 角速度合成例题1-3

--3-2-2 刚体定点运动例题1-2

-扩展内容

--钟表的设计

--寻找四叶草

--差动齿轮

--指南车

--逆行风车

-第三章 复合运动--作业

第四章 几何静力学

-4-0 静力学公理序言

--4-0 静力学公理序言

-4-1 主矢量和主矩

--4-1 主矢量和主矩

-4-2 力系的等效与简化

--4-2 力系的等效与简化

-4-3 受力分析与刚体平衡

--4-3 受力分析与刚体平衡

-4-4 平面力系的平衡方程

--4-4平面力系的平衡方程

-4-5 考虑摩擦的平衡问题

--4-5考虑摩擦的平衡问题

-4-6 刚体系的平衡

--4-6-1 组合结构

--4-6-2 桁架

--4-6-3 机构

-例题

--4-1 主矢量和主矩例题1-3

--4-2 力系的等效与简化例题1-3

--4-3 受力分析与刚体平衡例题1-3

--4-4 平面力系的平衡方程例题1-2

--4-5 考虑摩擦的平衡问题例题1-6

--4-6-1 刚体系的平衡例题1-3

--4-6-2 桁架例题1-4

-扩展内容

--4-扩展-a纸桥过车

--气球的平衡

--平衡大师

--4-扩展-d动物爬绳

--4-扩展-e力学与考古

-第四章 几何静力学--作业

第五章 分析静力学

-5-1 约束及其分类

--约束及其分类

-5-2 虚位移

--虚位移

-5-3 虚功原理

--虚功原理

-5-4 广义坐标和广义力

--广义坐标和广义力

-5-5 势力场中的平衡

--势力场中的平衡方程

-例题

--5-3 虚位移原理例题

--5-4 广义坐标和广义力例题

--5-5 势力场中的平衡方程例题

-扩展内容

--关于投影

--不倒翁

--5-扩展-c欹器

--冈布茨

-第五章 分析静力学--作业

第六章 质点动力学

-6-1 质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程例题

-6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2质点在非惯性系中的运动例题1

-6-3 相对地球的运动

--6-3 相对地球的运动

-扩展内容

--宇航员的问题

--6-扩展-b在小行星上打台球

--失重现象及模拟失重

--非线性方程的近似解

--落体问题在惯性系中解释

-第六章 质点动力学--作业

第七章 质点系动力学

-7-1 质点系动量定理

--7-1 质点系动量定理

-7-2 质点系动量矩定理

--7-2-1 质点系的动量矩

--7-2-2 质点系动量矩定量

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程

--7-2-4 刚体平面运动微分方程

-7-3 质点系动能定理

--7-3 质点系的动能定理

-7-4 质系普遍定理的综合应用

--7-4 质系普遍定理的综合应用

-7-5 碰撞

--7-5 碰撞

-例题

--7-1 质点系动量定理1-4

--7-2-1 质点系动量矩例题1

--7-2-2 质点系动量矩定理例题1-2

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程例题1-2

--7-3 质点系动能定理例题1-2

--7-4 质系普遍定理的综合应用例题1-2

--7-5 碰撞例题1-4

-扩展内容

--7-拓展-a跳高

--7-扩展-b跳水

--7-拓展-c手机吊冰箱

--7-扩展-d小鸭下山

--7-扩展-e飞针穿玻璃

--第七章 质点系动力学--作业

第八章 分析动力学

-8-1 达朗贝尔原理

--8-1达朗贝尔原理

-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理

--8-2达朗贝尔-拉格朗日原理

-8-3 第二类拉格朗日方程

--8-3第二类拉格朗日方程

-8-4 拉格朗日方程首次积分

--8-4拉格朗日方程首次积分

-例题

--达朗贝尔原理例题

--8-2达朗贝尔原理-拉格朗日

--8-3第二类拉格朗日方程

--8-4拉格朗日方程首次积分

-扩展内容

--广义动量守恒

--广义能量守恒

--非定常约束

--无轮小车

-第八章 分析动力学--作业

广义动量守恒笔记与讨论

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