虚位移在线视频

好，大家好

今天我们介绍第二节，虚位移

虚位移

是分析力学中很重要的概念

所以我们今天来着重介绍一下

大家可能会觉得奇怪

为什么会说虚位移呢

为了让大家很好理解

我们先从真实的位移说起

那么真实的位移

我们暂时称为叫实位移

就是实际的位移

我们注意到实际的位移

就是质系实际发生的位移

它要同时满足很多条件

比如说，满足动力学方程

比如说满足牛顿定律

要满足初始条件、还满足约束条件

也就是说，比如说我将东西扔出去

我扔的时候是往上走

还是平抛、还是自由落体

和初始条件有关系

然后飞出去之后

是由牛顿定律来决定它怎么运动的

当它碰到墙的时候会弹回来等等

也就是说真实的运动

要满足所有条件

就是动力学条件、初始条件和约束条件

那比如说，如果水平面上

有一个台球

你这样杆一打它

它就会动起来

在真实的世界中

这样一打它怎么动呢

它就应该往前跑了

这是真实世界发生的事情

那么，对这件事情

如果我们从数学角度来看

它又满足什么条件呢

好，我们知道在某个时刻t

它要满足约束

好，我们前面说了约束

可以写成一个方程式，一个函数

那么在这写的是f

它是：第一它既是位置的函数

它又是时间的函数

可以写成这样一个表达式

f，括号里r、t，等于零

那么它动起来之后

在t加dt时刻

它到了新的位置

大家注意这时候它还要满足约束

所以我们可以把它

写成另外一个函数，就是f

就是说位置变成r加dr

而时间变成t加dt

它还等于零

所以这是真实世界所满足的约束方程

那么，真实的位移有什么性质呢

好，我们来看一下

那么刚才我们已经把它表达式写出来了

就是f，它的新的位置

和新的时刻，然后等于零

那么我们把这个方程把它展开

利用泰勒级数展开

我们把它展开，在原来的位置

原来的时刻，在r和t展开

那么后面就会多附加项出来

好了，我们利用什么条件呢

就是说，这个物体在t时刻

r位置，以及在t加dt时刻

和r加dr位置，都要满足约束

因此（约束方程）两个都为零

我们把它代入到原来的方程中去

注意得到什么呢？得到这样一个形式

就是，将两个相减

得到df等于∑里面偏f偏r

点乘以dr加上，偏f偏t，dt，等于零

那么这个式子，就是真实的位移

所要满足的条件

那它什么含义呢

可能看上去比较复杂

我们把它退化看一下

就是对于定常约束

也就是说，如果这个f函数

是不显含时间t的话

那么后一项，偏f偏t等于零

因此我们可以把它简化一下

就变成了df等于∑里面

偏f偏r，dr等于零

那么这什么意思呢

我们注意到，一个量点乘以dr等于零

我们知道矢量中两个相点积等于零表示垂直

所以这实际上意味着什么呢

这意味着，在定常约束情况下

真实位移它是垂直于系统约束的法向方向

所以我们从这个特殊情况中

能看出来，真实位移的一些属性

这是真实位移所满足的条件

我们等下可以把这个条件

跟虚位移进行比较一下

好，下面我们着重介绍虚位移

大家注意，我们说虚位移（的定义）

它给了很多的条件限制

你看：在给定的瞬时

质系为约束所允许的

可能发生的无限小的位移

这样的位移叫虚位移

我们通常用δr表示

这时候要注意，不是dr表示

dr一般我们讲是真实的位移

δr是虚位移

所以你看它有很多限制

大家注意，这些限制都是有用的

我们以后在相关地方都会介绍这点

它会用的上的

好，那么我们把它写成它的表达形式

就是说，在某个时刻t

它满足：f括号里面r、t，等于零

好，这是约束所允许的

现在根据定义

有了虚位移之后

这时候它满足什么条件呢

你注意，对虚位移来说

它是要给定瞬时，所以时间没有变化

但是位移有了变化

变成r加上δr

好，也就变成函数：f里面r+δr

和时间的关系，在同一时刻，等于零

这两个相减之后变成δf

等于∑往里面，偏f偏r

点乘以δr，等于零

特别需要强调的是

根据虚位移定义

这个虚位移的发生是不需要时间的

这也是说明它为什么叫“虚位移”

而不是真实位移，它是不需要时间的

这是特别要强调的一点

那么，未来让大家对

真实的位移和虚位移有个了解

或者我们更一般说，为了让大家

对δ这个变分符号

和d这个微分符号有所了解

我们把它稍微放在一起来比较一下

好，假设我们画一个坐标系之后

有个函数，这个y是x的函数

然后再有一个

y波浪号，也是另外一个函数

好，下面我们看一下

这个变分和微分

它有什么区别呢

我们假设对一个函数y=y（x）

当自变量x

有了变化的时候，x有个小变化dx

它对应的在y方向上也有变化

那么，这对应的变化叫dy

这样叫做微分

就是由于自变量发生一个变化之后

发生微小变化，y方向

就是函数本身有个变化

这个变化叫做微分

那么什么叫变分呢

就是对这个函数

y=y（x）

在它附近有另外一个函数

比如加了波浪号，y波浪号

那么这两个函数在x这地方

本身就有一个小差距

这个差距我们把它写成叫δy

那么这个δy

我们把它称为叫变分

这两个函数之间的差

那么变分和微分的运算法则

基本上是相同的

同时变分的思想

跟我们以往讲的牛顿力学的思想

是不太一样的

它是怎么呢？它是对可能的运动

进行比较，然后找出真实的运动

它是这样一种思想

那么如果画个示意图

就是说在一个一般的问题中

有个位形空间

它比如说，有q1、q2...到qn

它就表示它的那些参数

那么,如果一个系统从A这个状态

到B的状态

它可能有不同的路径过去

然后真实路径

在所有可能运动之中

根据某种原理,找出真实运动

它是这样一种思想

所以变分的思想

跟牛顿力学的思想,还不太完全一样

那么,我们特别强调一下

在我们这个章节讲的变分

是属于叫“等时变分”

就是说时间不变化

那么我们来看

如果有这个约束方程f

括号里面r和t，它等于零

我们对它进行，如果进行微分

它就分为两项

一个是r的变化导致的

一个是时间t的变化导致的

所以这是微分出现的两项

而变分它是一个等时变分

就是不考虑时间的变化

所以它只会出现一项

因此更简洁一些

也就是说，等时变分的运算

跟微分运算是类似的

只是要考虑什么呢

只是考虑把δt取为零就可以了

将矢量进行等时变分就得到虚位移

那么如果把几何约束方程进行变分

就能得到虚位移之间的关系

所以利用这样的一个结论

我们可以把以前运动学的知识

把它移过来就可以了

那么这个等时变分怎么算呢

因为大家可能不熟悉

所以我们举个例子给大家看看

你们看完之后就会觉得特别简单

好，比如说，我们有个单摆

它用刚性杆连接

这个A点只能在圆弧上运动

那么我们很容易写出来

A点的约束方程就是

x平方加y平方减l平方等于零

这是一个圆弧的运动，移项之后的一个结果

那么，把它进行变分，怎么变呢

你看，x平方进行变分之后就变成2倍的x

然后乘以δx

然后

y平方变分之后变成什么呢

2倍的y乘以δy

然后l平方，因为l是个常数

变分之后就没有了，所以它就变成

变分之后得到什么结果？就是

2倍的x乘以δx，加2倍的y乘以δy，等于零

所以你看，这个结果

和你把上面式子直接进行微分

结果是一样的

好，通过这个例子说明

在等时变分的情况下

微分运算和变分运算是一样的

好，下面我们来研究一下虚位移的方向

我们知道约束方程，可以把它写成是

f，它里面是x、y、z，等于零

我们暂时考虑的是

假设不考虑时间变化的定常约束

那么，我们看看虚位移

我们知道可以写作是δr

它可以分解为δx，在i方向

δy在j方向和δz在k方向

那么下面我们注意

虚位移满足什么条件呢

是要满足：偏f偏r，再点乘以δr，等于零

满足这样一个条件

那么我们具体的看看会是什么结果呢

我们假设

M点在某个曲线上运动

这个曲线就是它的一个限制方程

就是f等于零的一个约束

好了，当它有了一个微小位移之后

有δr之后运动到M1去了

结果我们看，就是要注意

当它运动到M1

它还要满足约束方程

所以在M1点

我们把它也写出来，它的约束方程

就变成是：f里面，这函数里面

它的位置变成是x加δx

y加δy、和z加δz

它还等于零

好，然后呢，我们把这个式子

把它在x、y、z方向

进行泰勒展开

好，就得到了一个新的式子

把这式子把它稍微处理一下

我们注意到

其中我们把，偏f偏x点和δx相乘

后面这三项，把它拆开成两部分

拆成是，变成这样一个式子

那么这式子就表明什么呢

就表明虚位移

是垂直于我们约束面的法向方向

大家注意这个结果

跟我们前面讲的真实位移

是有对应关系的

好，大家注意

虚位移是垂直于约束面的法向方向

好了，下面我们把虚位移的一些结果

我们来具体来分析一些题目

我们通过分析题目加深印象

那么比如说，一个小球

可以在一个平面上运动

我们试着指出它的虚位移是什么样的

一个小球在平面上运动

好，那么，我们记住

虚位移是为约束所允许的

可能的微小位移

比如说它可以水平运动，这是可以的

那可以在这面上稍微往斜上方一点

也是可以的

往（左边）这边也是可以的

因此从这个意义上来说

这个小球的虚位移有无数个

它只要满足在这个平面上

往各个方向都是可以的

所以虚位移有无穷个

我们再看，在定常约束情况下

我们真实位移

是这样写的：偏f偏r点乘以dr等于零

而虚位移是：偏f偏r点乘δr等于零

从数学上看这两个式子是一样的

因此它们的表现形式应该也是一样的

所以说，在定常约束情况下

实际位移是无数个虚位移中的一个

因此表现形式是一样的

你记住，真实位移

要满足各种条件，它只有一个

而虚位移满足条件可以有无数个

所以在定常情况下

真实位移是虚位移中的一个

好，这是第一个结论

如果我们看示意图

比如说，一个物体在斜面上滑下来

真实位移可能由于重力就往下滑

但虚位移

那就不一定，它只要在斜面上

它可以往下斜着，甚至往上都可以

所以你从这里看出来

真实位移是虚位移中的一个

但是在非定常情况下

情况就不一样了

首先我们从公式上来看

实际位移满足方程是有两项

一个是偏f偏r点乘以dr

后面还有一项是偏f偏t乘以dt

但是虚位移它还只有一项

所以从公式上看，它们俩就不一样了

所以这表明什么呢

在非定常约束情况下

实际位移不一定是无数虚位移中的一个

不一定

那么，关于这个结论

我们再举个例子来看一下

比如说，假设一个质点M

在一个平面上运动

但是这个平面本身

又在以某个速度，比如说上升

对于这样一个问题，我们来比较一下

这个质点M的实际位移和虚位移

通过这个例题你可以很好理解

实际位移和虚位移在非定常情况下是不同的

我们来看一下

首先我们看一下

对于约束方程，它可以写成什么呢

f等于z减掉ut等于零

这个平面在慢慢以u的速度上升

好，这就是它的约束方程

那么对于实际位移是怎么样的呢

实际位移是，比如在t时刻

在这个位置

在t加dt时刻，它往上升了一点

好，因此我们看

它变成这样一个结果，这平面上升了

同时这个点在平面上还动起来了

好，因此实际位移

是把t时刻和t加d时刻的

两个位置首尾相连

这个红色的dr

就是这个M点的实际的位移

比如说相当是（约束）从一层跑到二层去了

同时（M点）在面里还动了一下

好，这是实际位移

那么虚位移

我们记住虚位移它是这样定义的

是在给定瞬时

也就是说，我们不用考虑这个电梯的上升

假设我们把这个平面看成电梯

因此它就变成是δz等于零

因此，它在t时刻的这个面内

往左往右都可以

好，所以你看从这个例子中

我们可以看出来，真实的位移

不是虚位移中的一个

虚位移虽然有无穷个

但真实位移不是这无穷中的一个

所以通过这个例子，很好地表明

在非定常约束的情况下

实际位移和虚位移的关系

所以我们注意，就是说

质系虚位移的发生

跟时间没有关系的

因此可以认为是δt让它恒等于零

它的意思就是什么呢

就是约束被冻结住了

本来这个约束可能是随时间运动的

但是你让它冻结住，让它不动

因此质系在这个瞬时

为约束所允许的无限小位移是虚位移

从这个意义上说，虚位移的计算

或者分析，比实际位移更简单

因为它不用考虑约束的变化

约束被冻住了

好，所以通过这两个例子

希望大家对于约束、对于虚位移

有一个更好的认识

好，我们最后小结一下

就是虚位移是只满足约束方程

而实位移除了满足约束方程之外

还满足动力学方程、还满足初始条件

其次，非自由质点的虚位移

是垂直于约束面在该点的法线方向

所以虚位移总是

位于约束面的切平面内

这是很重要的一点

在定常约束的情况下

实位移是无数的虚位移中的一个

而在非定常情况下

实位移不一定是无数虚位移中的一个

通常可以不是的

那么虚位移怎么求呢

有两种方法求，一种按几何方法

就类似于

以前运动学中讲的速度分析

还一种是解析法

就是写出约束方程之后，进行变分

而变分的方法就类似于微分方法

只是注意，dt把它换成δt之后取零就可以了

好了，这是关于虚位移的所有的内容