当前课程知识点：理论力学 > 第八章 分析动力学 > 扩展内容 > 非定常约束
好 大家好 今天的话呢
我们讨论一个问题 就是在分析力学中
有些问题中它约束可能需要解除
那么我们先来看一下
我们知道的话呢 在几何静力学中的话呢
如果存在约束 我们可以解除约束
加上约束力 从而求解问题
那么在分析静力学中的话呢
通常我们是不需要解除约束的
我们是整体进行分析的
但是呢 如果你关心某些约束
关心特定的某个约束的大小的话呢
那你就把约束解除 然后呢加上约束力
然后再来进行分析 这也是有的
好了
那么在我们现在讲的分析动力学中的话呢
或者是拉式方程中的话呢
可能有的时候也会有类似的问题
好 下面我们来看一下
比如说 我们有这样一个题目
假设的话 这个圆环绕竖直轴以
某个角速度ω转动起来了
注意 它是以匀角速转动起来的
然后呢 有个质点m的话呢
在圆环里面可以动起来
我们假设是 比如说是在里面可以运动
我们以θ角来描述这个
m点相对它的圆环运动
那么假设告诉你相关的参数
比如说质量 转动惯量等等 都告诉你
我们想问一下
为了使得它能够以匀速运动起来
同时质点在里面运动的话呢
这个圆环需要加的力偶矩M是多少
是这样一个问题
好 这个问题看上去就 很简单
但是如果你仔细思考的话呢 会有一些问题
我们来看一下
第一个 就是这个系统有几个自由度
通常的话呢 我们说有几个自由度
就是说你需要几个参数
来描述它的运动的状态
运动的位置 那么需要几个参数呢
你一看的话呢 θ角是要描述的
然后这个绕竖直轴转动的话呢
是不需要的 因为它已经
告诉你做匀速运动了
所以的话呢 只要一个自由度
那么这个系统约束有什么特点呢
它是一个自由度
但是呢 这个竖直轴的话呢
转动的话是随着时间变化的
所以是个非定常约束
好了 那么我们下面接着问
对这样的问题 你在处理的时候
你准备采用哪个方程呢
因为我们知道拉式方程的话呢
它可以有不同的形式
比如说 我们可以采用第一个形式
就是力学动能来进行代入公式之后啊
右边的话用的是广义力
好 这是一种形式
还有另外一种形式的话呢
得到一个拉氏函数 右边的话为0
因此我们现在需要考虑的是
你使用哪个方程 你可以考虑一下
然后 我们接着说
不管你考虑用哪个方程
这个力偶M会在哪里出现呢
比如说 如果你用第一个方程
它会在哪出现
如果用第二个方程 在哪出现
当然了 还可能会出现 M不出现怎么办
因为你会发现不管用哪个方程
M是不会出现的
那为什么会出现这样的情况呢
你考虑考虑是怎么回事情
当然最后 就是说你现在想求M
但是M在方程中不出现 那怎么办呢
所以我们要借鉴我们以前的方法
就是说以前在分析静力学中
或者以前在几何静力学中的话呢
因此我要关心的量不出现
解除约束让约束力暴露出来
那么在我们这的话 约束是什么呢
你记住 在分析力学的话呢
约束是事先给出的限制
它匀速转动 本身就是个约束
所以的话呢
我们可以先解除
这个匀速转动的这个限制
让它不一定匀速转动 让它转动起来
好了 所以的话呢 我们要学会借鉴
因此我们解除它一个约束
就是让它竖直方向转动的话 不再是匀速的
而代之于一个让它
比如说我们用φ表示它的转动
这样一来的话呢 这个问题就变了
就变成什么呢 变成具有两个自由度
一个是m点相对运动的话θ
然后这个大圆环绕竖直轴转动的话呢
用φ表示 变成两个自由度
但是呢变成的是定常约束问题
好了 这样一来的话呢
这个问题就变的比较简单了
变成一个通常问题了
你可以把它的系统的动能 势能写出来
拉氏函数写出来 这都很减量
比如我们写出来了
L这个表达式写出来了
然后呢 我们可以把广义力写出来
需要说明的是 广义力是什么呢
是广义坐标对应的 它可以通过什么呢
通过广义 你可以给个系统的虚位移
然后呢 求出它的虚功来
然后把这个虚功对广义坐标求偏导
形式上的话是相当它除过来了
就得出来 所以的话呢
我们让这个系统绕着竖直轴有一个
比较微小的位移δφ
那么M的话就要做功 它的虚功是多少呢
虚功就是M乘以δφ
好 这是它做的功
然后把这功的话呢 除以它的对应的
广义变分δφ 得到什么呢
得到广义力 所以的话呢
这样一算 算出来的是φ所对应的广义力
就是M 好了 这时候代入公式
很容易把它算一下
好 代入公式之后的话呢 我们看看
比如说拉氏函数对φ求偏导等于0
你一看 它不显含φ=0
然后拉氏函数对于φ的话呢
很容易把它算出来 然后再代入公式中去
就是d dt ∂L ∂φ把它代入公式
把它求导得到这个式子
然后的话 最后代入拉格朗日方程的话
就可以算出来M的表达式 这一串就出来了
好 下面注意
我们这样算出来M的表达式是什么呢
就是说竖直轴绕转的时候
它是按照某一个φ变化的 转的
这时候φ的话是任意的
但是如果我们要求是绕着匀速运动的话呢
我们还是要把φ加以限制
也就是说φ的导数 φ要等于ω
因此的话呢 我们再把这个φ=ω
以及φ=0 代入这个上式
就能求出来一个新的M值
这个M值就是新的要加那个力矩
就是使圆环做匀速运动的时候
所需要的力矩 等于多少呢
等于 M=2mR²×θ×ωsinθcosθ
这个值就是说 你要使得这个系统
匀速运动所需要的力矩值
所以通过这个题目 我们知道
就是在某些问题中
可能你要所关心这个力矩 或者力
你直接分析得不出来 这时候的话呢
你要解除它的约束 这个约束的话呢
可以是一种事先给它的一种限制
解除约束之后
来把这些结果得出它的表达式
然后的话 再把你的约束代进去
通过这样的一种形式可以把问题解决
好 今天的问题就到这
-绪论
--绪论
-1-1 矢量描述法
--第一章运动的描述
--矢量及其运算
-1-2 直角坐标描述法
--例题1 椭圆规
--例题2 圆轮滚动
-1-3 自然坐标描述法
--例题3 单摆
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--例题4 演员
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--c 时间与方向
--d 仰望星空
--e 兔子追击问题
-第一章 点的运动学--作业
-2-1 刚体的定义与运动形式
-2-2 刚体的矢量-矩阵描述
-2-3 刚体平面运动
-2-4 刚体定点运动
-扩展内容
-第二章 刚体运动学--作业
-3-1 点的复合运动
-3-2 刚体复合运动
-例题
-扩展内容
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--寻找四叶草
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-第三章 复合运动--作业
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-4-1 主矢量和主矩
-4-2 力系的等效与简化
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-4-5 考虑摩擦的平衡问题
-4-6 刚体系的平衡
--4-6-2 桁架
--4-6-3 机构
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-第四章 几何静力学--作业
-5-1 约束及其分类
--约束及其分类
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--虚位移
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--虚功原理
-5-4 广义坐标和广义力
--广义坐标和广义力
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-第五章 分析静力学--作业
-6-1 质点运动微分方程
-6-2 质点在非惯性系中的运动
-6-3 相对地球的运动
-扩展内容
--宇航员的问题
-第六章 质点动力学--作业
-7-1 质点系动量定理
-7-2 质点系动量矩定理
-7-3 质点系动能定理
-7-4 质系普遍定理的综合应用
-7-5 碰撞
--7-5 碰撞
-例题
-扩展内容
--7-拓展-a跳高
--7-扩展-b跳水
--第七章 质点系动力学--作业
-8-1 达朗贝尔原理
-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理
-8-3 第二类拉格朗日方程
-8-4 拉格朗日方程首次积分
-例题
--达朗贝尔原理例题
-扩展内容
--广义动量守恒
--广义能量守恒
--非定常约束
--无轮小车
-第八章 分析动力学--作业
