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7-2-1 质点系的动量矩

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7-2-1 质点系的动量矩课程教案、知识点、字幕

好 大家好

那么今天我们讲第七章的第二节

质系动量矩定理

首先的话我们介绍一下

动量矩质系动量矩怎么定义

就是质系的话呢各个质点

它具有动量Pi

然后的话呢对某个点O它的矩的矢量和

称为什么呢

称为质系对点O的动量矩

那么在物理中的话呢

动量矩也称为叫角动量

在力学中的话通常叫动量矩

好我们看啊 动量矩是这样

我们看看这个坐标

如果建立之后有个质点

它具有一个动量mi乘以vi

然后的话呢这个点的话呢

具有O点的话有个矢径ri

好 从公式上的话呢

我们写出来就是说

Lo=∑ri×mivi

也就是说把每个质点的动量

对于O点取矩

那么需要注意的是什么呢

质系的动量矩啊

是度量质系整体运动的一个基本的特征

动量矩和动量实际上是类似的

它能够反应系统的一个整体的运动

需要注意的是什么呢

就是说动量矩是一个矢量

它是和矩心O点的选择有关系的

选择O点不同的话呢

那么它的动量矩就不一样

所以这点跟动量是不一样的

那么 下面我们就研究一下

就是质系对任意两个点的

动量矩之间有什么关系

比如说我们这个系统某一点的话呢

它的动量是mivi

它对O点的话呢有个矢径ri

对A点的话有个矢径roa

然后A点到那个质点之间的话呢

它的距离的话叫di

好 那么在这种情况下 我们可以把

动量矩把它写出来

对O点的话直接按照原始定义式写就是

Lo=∑ri×mivi

而对于A点的话呢是

La=∑di×mivi

下面我们找Lo和La什么关系

那么在找之前的话呢

我们先可以类比一下

我们还记不记得在讲

就是说受力分析的时候

曾经讲过力对点之矩

然后的话呢也讲过

力对不同的点之矩的关系

那么你可以想象的话呢

在那个时候讲过的那些知识啊

从数学上来说的话呢

它们是完全可以类比的

因此的话呢 我们的动量矩和力矩之间

也有类似的关系

那么下面我们看一下

好我们注意到的话呢

就是ri和roa的话呢

总是满足这样的关系式

就是加上一个di这种关系式

因此的话呢 我们把ri的话呢

带入到Lo的计算中去 就得到什么呢

∑(roa+di)×mivi

然后把这个括号展开之后出现两项

好我们得到新的式子

其中的话呢 第一项的话呢

就是系统的动量对于A点的矩

那么第二项的话呢 我们把它

因为roa的话 每点都有 把它提出来

提出来之后的话呢

后面的∑mivi的话用一下动量定理

因此可把它简化

因此得到什么式子呢

就是系统对O点的动量矩

等于系统对A点的动量矩

再加上roa×系统的总质量

乘以质系的速度

哎 这个式子就表明了

A点和O点的动量矩的关系

那么如果把这个A点的话呢

换成一个特殊的点 比如换成质心的话呢

那么就可以有这样的公式 就是说

任意一点O点和质心的关系是什么呢

就是Lo=Lc+roc×mvc

是这样一个关系式

好 那么这个关系式的话呢在后面

分析某些问题的时候啊

用上它就会比较方便

好下面我们来看一下

下面我们介绍第二点就是说

绝对运动和相对运动的动量矩

那么我们看一个刚体

它上面有不同的点

我们把质心C还有A点先标出来

然后我们研究某个质点mi的运动

好根据我们前面定义的话呢

质系对于A点的动量矩的话是

∑di×mivi

那么它的相对运动的话

对A点动量矩等于什么呢

等于∑di×mivir 就是说相对运动

好了下面我们看它们之间什么关系啊

根据我们以前学过的运动学知识

就是第i个质点所具有的速度

等于以A为基点的速度加上相对速度

所以的话呢 vi=va+vir

好 这是基点法的基本公式

然后我们把它带进去看看

这里面相当于是以A为基点

建立一个平动坐标系

好 带进去之后的话呢

就有一个新的公式

就是=∑di×mi(va+vir)

把它展开 展开出来两部分

其中的话呢

第二部分的话呢就是出来的

系统的相对运动对A点的运动公式

然后还有第一部分

第一部分的话呢我们注意到

va是公共量可以提出来

然后前面的式子的话呢

我们用一下关于质心运动的这个公式

系统的质心的公式的话

得到什么呢 就会得到

La=mrac×va+Lar

好 这就意味着什么呢

这就意味着在一般情况下

质系的绝对运动对A点的动量矩

和相对运动对A点的动量矩是不等的

但是呢 我们可以看出来

如果把这个A点换成质心的话呢是相等

为什么换成质心相等呢

你看看 因为这里面 它有个附加项是

mrac×va

rac的话如果A点换成C点的话

将变成rcc C点到C点自己为0

所以的话呢对于质心来说

绝对运动和相对运动的动量矩都是相等的

但是如果A点是一般点的话是不成立的

那么下面的话我们看看

如果相对运动对A点的动量矩啊

该怎么算呢 好我们来看看

根据定义式的话呢

质系对于A点的相对运动的话等于

∑di×mivir 相对运动的速度

大家注意这个公式的话

是对任意的系统都成立的

这是原始定义式

然后我们看看它在有些特殊情况下

它可以退化 比如说

在刚体情况下的话呢 vir

因为我们刚刚说到

是以A点为基点建立一个平动坐标系

因此在这个情况下的话呢

vir等于什么呢

等于刚体的角速度×di

所以这是在刚体的情况下成立

那么我们可以再看看

在什么情况下它可以再简化呢

如果这个是刚体做平面运动的情况下

这个ω和di的话是垂直关系的话呢

它可以进一步简化

就变成什么呢

变成∑midi2ω

而ω的话呢可以是个公共量可以提出来

因此的话呢它可以变成什么呢

变成是质系对A点的相对运动的动量矩

等于转动惯量乘以角速度

这里面的话Ja的话呢

就是刚体对A轴的转动惯量

因此我们看出来什么呢

我们为什么要计算相对运动

对某个点的动量矩呢

那是因为在刚体做平面运动的时候

它的相对运动动量矩啊很好算

它等于转动惯量乘以角速度很好算

而绝对运动的话呢不好算

绝对运动的话每点速度大小方向都不一样

算起来就很麻烦

所以这就是也是说我们为什么

要算相对运动的动量矩

好 我们小结一下

这里有很多公式你看第一个就是说

质系对于O点的动量矩

这是我们第一行的话是原始定义

大家看出来

然后质系对A点的动量矩

还有质系相对运动对A点的动量矩等等

以及质系对质心的动量矩

和质系相对运动的动量矩等等

我们下面框起来的公式的话呢

大家可以把它记一下

这个以后我们经常会用到

就是系统对A点的动量矩

和对O点的动量矩它们之间的关系

以及系统对质心的动量矩

和对O点动量矩的关系

好 那么 特别是

就是说系统对于质心的绝对运动

和对质心相对运动的动量矩都是相等的

这个公式的话呢是很好的

我们以后可能会经常用到

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绪论

-绪论

--绪论

第一章 点的运动学

-1-1 矢量描述法

--第一章运动的描述

--1-1 矢量描述法

--矢量及其运算

-1-2 直角坐标描述法

--1-2直角坐标描述法

--例题1 椭圆规

--例题2 圆轮滚动

-1-3 自然坐标描述法

--1-3 自然坐标描述法

--例题3 单摆

-1-4 极坐标描述法

--1-4 极坐标描述法

--例题4 演员

--讨论题 多种方法求解

-扩展内容

--a 点的运动学扩展

--b 观察与思考

--c 时间与方向

--d 仰望星空

--e 兔子追击问题

-第一章 点的运动学--作业

第二章 刚体运动学

-2-1 刚体的定义与运动形式

--2-1 刚体的定义与刚体的运动形式

-2-2 刚体的矢量-矩阵描述

--2-2 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-0 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-1 刚体的运动方程

--2-2-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-2刚体的矢量-矩阵描述例题1-2

-2-3 刚体平面运动

--2-3 刚体平面运动

--2-3-1 平面运动的运动方程

--2-3-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-3-3 速度分析 基点法

--2-3-3 速度分析 瞬心法

--2-3-3 速度分析 速度投影定理

--2-3-3速度分析 刚体平面运动的瞬心轨迹

--2-3-4 刚体平面运动的加速度分析

--2-3-3速度分析例题1-4

--2-3-4加速度分析例题1-4

-2-4 刚体定点运动

--2-4-1 刚体定点运动几何分析

--2-4-2 刚体定点运动的解析描述

-扩展内容

--2-扩展-a加速度是否存在投影定理

--2-扩展-b图形放大器

--2-扩展-c连弩射击

--2-扩展-d关于刚体的转动

--2-扩展-e欧拉角探秘

-第二章 刚体运动学--作业

第三章 复合运动

-3-1 点的复合运动

--3-1 点的复合运动

--3-1-1 运动方程

--3-1-2 矢量的绝对导数与相对导数

--3-1-3 速度合成定理

--3-1-4 加速度合成定理

-3-2 刚体复合运动

--3-2 刚体复合运动

-例题

--3-1-1 运动方程例题1 工件轨迹

--3-1-3 速度合成定理例题1-3

--3-1-4 加速度合成定理例题1-4

--3-2-1 角速度合成例题1-3

--3-2-2 刚体定点运动例题1-2

-扩展内容

--钟表的设计

--寻找四叶草

--差动齿轮

--指南车

--逆行风车

-第三章 复合运动--作业

第四章 几何静力学

-4-0 静力学公理序言

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-4-1 主矢量和主矩

--4-1 主矢量和主矩

-4-2 力系的等效与简化

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-4-3 受力分析与刚体平衡

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-4-4 平面力系的平衡方程

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-4-5 考虑摩擦的平衡问题

--4-5考虑摩擦的平衡问题

-4-6 刚体系的平衡

--4-6-1 组合结构

--4-6-2 桁架

--4-6-3 机构

-例题

--4-1 主矢量和主矩例题1-3

--4-2 力系的等效与简化例题1-3

--4-3 受力分析与刚体平衡例题1-3

--4-4 平面力系的平衡方程例题1-2

--4-5 考虑摩擦的平衡问题例题1-6

--4-6-1 刚体系的平衡例题1-3

--4-6-2 桁架例题1-4

-扩展内容

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--4-扩展-d动物爬绳

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-第四章 几何静力学--作业

第五章 分析静力学

-5-1 约束及其分类

--约束及其分类

-5-2 虚位移

--虚位移

-5-3 虚功原理

--虚功原理

-5-4 广义坐标和广义力

--广义坐标和广义力

-5-5 势力场中的平衡

--势力场中的平衡方程

-例题

--5-3 虚位移原理例题

--5-4 广义坐标和广义力例题

--5-5 势力场中的平衡方程例题

-扩展内容

--关于投影

--不倒翁

--5-扩展-c欹器

--冈布茨

-第五章 分析静力学--作业

第六章 质点动力学

-6-1 质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程例题

-6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2质点在非惯性系中的运动例题1

-6-3 相对地球的运动

--6-3 相对地球的运动

-扩展内容

--宇航员的问题

--6-扩展-b在小行星上打台球

--失重现象及模拟失重

--非线性方程的近似解

--落体问题在惯性系中解释

-第六章 质点动力学--作业

第七章 质点系动力学

-7-1 质点系动量定理

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-7-2 质点系动量矩定理

--7-2-1 质点系的动量矩

--7-2-2 质点系动量矩定量

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程

--7-2-4 刚体平面运动微分方程

-7-3 质点系动能定理

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-7-4 质系普遍定理的综合应用

--7-4 质系普遍定理的综合应用

-7-5 碰撞

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-例题

--7-1 质点系动量定理1-4

--7-2-1 质点系动量矩例题1

--7-2-2 质点系动量矩定理例题1-2

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程例题1-2

--7-3 质点系动能定理例题1-2

--7-4 质系普遍定理的综合应用例题1-2

--7-5 碰撞例题1-4

-扩展内容

--7-拓展-a跳高

--7-扩展-b跳水

--7-拓展-c手机吊冰箱

--7-扩展-d小鸭下山

--7-扩展-e飞针穿玻璃

--第七章 质点系动力学--作业

第八章 分析动力学

-8-1 达朗贝尔原理

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-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理

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-8-3 第二类拉格朗日方程

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-8-4 拉格朗日方程首次积分

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-例题

--达朗贝尔原理例题

--8-2达朗贝尔原理-拉格朗日

--8-3第二类拉格朗日方程

--8-4拉格朗日方程首次积分

-扩展内容

--广义动量守恒

--广义能量守恒

--非定常约束

--无轮小车

-第八章 分析动力学--作业

7-2-1 质点系的动量矩笔记与讨论

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