当前课程知识点:理论力学 > 第七章 质点系动力学 > 7-2 质点系动量矩定理 > 7-2-1 质点系的动量矩
好 大家好
那么今天我们讲第七章的第二节
质系动量矩定理
首先的话我们介绍一下
动量矩质系动量矩怎么定义
就是质系的话呢各个质点
它具有动量Pi
然后的话呢对某个点O它的矩的矢量和
称为什么呢
称为质系对点O的动量矩
那么在物理中的话呢
动量矩也称为叫角动量
在力学中的话通常叫动量矩
好我们看啊 动量矩是这样
我们看看这个坐标
如果建立之后有个质点
它具有一个动量mi乘以vi
然后的话呢这个点的话呢
具有O点的话有个矢径ri
好 从公式上的话呢
我们写出来就是说
Lo=∑ri×mivi
也就是说把每个质点的动量
对于O点取矩
那么需要注意的是什么呢
质系的动量矩啊
是度量质系整体运动的一个基本的特征
动量矩和动量实际上是类似的
它能够反应系统的一个整体的运动
需要注意的是什么呢
就是说动量矩是一个矢量
它是和矩心O点的选择有关系的
选择O点不同的话呢
那么它的动量矩就不一样
所以这点跟动量是不一样的
那么 下面我们就研究一下
就是质系对任意两个点的
动量矩之间有什么关系
比如说我们这个系统某一点的话呢
它的动量是mivi
它对O点的话呢有个矢径ri
对A点的话有个矢径roa
然后A点到那个质点之间的话呢
它的距离的话叫di
好 那么在这种情况下 我们可以把
动量矩把它写出来
对O点的话直接按照原始定义式写就是
Lo=∑ri×mivi
而对于A点的话呢是
La=∑di×mivi
下面我们找Lo和La什么关系
那么在找之前的话呢
我们先可以类比一下
我们还记不记得在讲
就是说受力分析的时候
曾经讲过力对点之矩
然后的话呢也讲过
力对不同的点之矩的关系
那么你可以想象的话呢
在那个时候讲过的那些知识啊
从数学上来说的话呢
它们是完全可以类比的
因此的话呢 我们的动量矩和力矩之间
也有类似的关系
那么下面我们看一下
好我们注意到的话呢
就是ri和roa的话呢
总是满足这样的关系式
就是加上一个di这种关系式
因此的话呢 我们把ri的话呢
带入到Lo的计算中去 就得到什么呢
∑(roa+di)×mivi
然后把这个括号展开之后出现两项
好我们得到新的式子
其中的话呢 第一项的话呢
就是系统的动量对于A点的矩
那么第二项的话呢 我们把它
因为roa的话 每点都有 把它提出来
提出来之后的话呢
后面的∑mivi的话用一下动量定理
因此可把它简化
因此得到什么式子呢
就是系统对O点的动量矩
等于系统对A点的动量矩
再加上roa×系统的总质量
乘以质系的速度
哎 这个式子就表明了
A点和O点的动量矩的关系
那么如果把这个A点的话呢
换成一个特殊的点 比如换成质心的话呢
那么就可以有这样的公式 就是说
任意一点O点和质心的关系是什么呢
就是Lo=Lc+roc×mvc
是这样一个关系式
好 那么这个关系式的话呢在后面
分析某些问题的时候啊
用上它就会比较方便
好下面我们来看一下
下面我们介绍第二点就是说
绝对运动和相对运动的动量矩
那么我们看一个刚体
它上面有不同的点
我们把质心C还有A点先标出来
然后我们研究某个质点mi的运动
好根据我们前面定义的话呢
质系对于A点的动量矩的话是
∑di×mivi
那么它的相对运动的话
对A点动量矩等于什么呢
等于∑di×mivir 就是说相对运动
好了下面我们看它们之间什么关系啊
根据我们以前学过的运动学知识
就是第i个质点所具有的速度
等于以A为基点的速度加上相对速度
所以的话呢 vi=va+vir
好 这是基点法的基本公式
然后我们把它带进去看看
这里面相当于是以A为基点
建立一个平动坐标系
好 带进去之后的话呢
就有一个新的公式
就是=∑di×mi(va+vir)
把它展开 展开出来两部分
其中的话呢
第二部分的话呢就是出来的
系统的相对运动对A点的运动公式
然后还有第一部分
第一部分的话呢我们注意到
va是公共量可以提出来
然后前面的式子的话呢
我们用一下关于质心运动的这个公式
系统的质心的公式的话
得到什么呢 就会得到
La=mrac×va+Lar
好 这就意味着什么呢
这就意味着在一般情况下
质系的绝对运动对A点的动量矩
和相对运动对A点的动量矩是不等的
但是呢 我们可以看出来
如果把这个A点换成质心的话呢是相等
为什么换成质心相等呢
你看看 因为这里面 它有个附加项是
mrac×va
rac的话如果A点换成C点的话
将变成rcc C点到C点自己为0
所以的话呢对于质心来说
绝对运动和相对运动的动量矩都是相等的
但是如果A点是一般点的话是不成立的
那么下面的话我们看看
如果相对运动对A点的动量矩啊
该怎么算呢 好我们来看看
根据定义式的话呢
质系对于A点的相对运动的话等于
∑di×mivir 相对运动的速度
大家注意这个公式的话
是对任意的系统都成立的
这是原始定义式
然后我们看看它在有些特殊情况下
它可以退化 比如说
在刚体情况下的话呢 vir
因为我们刚刚说到
是以A点为基点建立一个平动坐标系
因此在这个情况下的话呢
vir等于什么呢
等于刚体的角速度×di
所以这是在刚体的情况下成立
那么我们可以再看看
在什么情况下它可以再简化呢
如果这个是刚体做平面运动的情况下
这个ω和di的话是垂直关系的话呢
它可以进一步简化
就变成什么呢
变成∑midi2ω
而ω的话呢可以是个公共量可以提出来
因此的话呢它可以变成什么呢
变成是质系对A点的相对运动的动量矩
等于转动惯量乘以角速度
这里面的话Ja的话呢
就是刚体对A轴的转动惯量
因此我们看出来什么呢
我们为什么要计算相对运动
对某个点的动量矩呢
那是因为在刚体做平面运动的时候
它的相对运动动量矩啊很好算
它等于转动惯量乘以角速度很好算
而绝对运动的话呢不好算
绝对运动的话每点速度大小方向都不一样
算起来就很麻烦
所以这就是也是说我们为什么
要算相对运动的动量矩
好 我们小结一下
这里有很多公式你看第一个就是说
质系对于O点的动量矩
这是我们第一行的话是原始定义
大家看出来
然后质系对A点的动量矩
还有质系相对运动对A点的动量矩等等
以及质系对质心的动量矩
和质系相对运动的动量矩等等
我们下面框起来的公式的话呢
大家可以把它记一下
这个以后我们经常会用到
就是系统对A点的动量矩
和对O点的动量矩它们之间的关系
以及系统对质心的动量矩
和对O点动量矩的关系
好 那么 特别是
就是说系统对于质心的绝对运动
和对质心相对运动的动量矩都是相等的
这个公式的话呢是很好的
我们以后可能会经常用到
-绪论
--绪论
-1-1 矢量描述法
--第一章运动的描述
--矢量及其运算
-1-2 直角坐标描述法
--例题1 椭圆规
--例题2 圆轮滚动
-1-3 自然坐标描述法
--例题3 单摆
-1-4 极坐标描述法
--例题4 演员
-扩展内容
--b 观察与思考
--c 时间与方向
--d 仰望星空
--e 兔子追击问题
-第一章 点的运动学--作业
-2-1 刚体的定义与运动形式
-2-2 刚体的矢量-矩阵描述
-2-3 刚体平面运动
-2-4 刚体定点运动
-扩展内容
-第二章 刚体运动学--作业
-3-1 点的复合运动
-3-2 刚体复合运动
-例题
-扩展内容
--钟表的设计
--寻找四叶草
--差动齿轮
--指南车
--逆行风车
-第三章 复合运动--作业
-4-0 静力学公理序言
-4-1 主矢量和主矩
-4-2 力系的等效与简化
-4-3 受力分析与刚体平衡
-4-4 平面力系的平衡方程
-4-5 考虑摩擦的平衡问题
-4-6 刚体系的平衡
--4-6-2 桁架
--4-6-3 机构
-例题
-扩展内容
--气球的平衡
--平衡大师
-第四章 几何静力学--作业
-5-1 约束及其分类
--约束及其分类
-5-2 虚位移
--虚位移
-5-3 虚功原理
--虚功原理
-5-4 广义坐标和广义力
--广义坐标和广义力
-5-5 势力场中的平衡
-例题
-扩展内容
--关于投影
--不倒翁
--5-扩展-c欹器
--冈布茨
-第五章 分析静力学--作业
-6-1 质点运动微分方程
-6-2 质点在非惯性系中的运动
-6-3 相对地球的运动
-扩展内容
--宇航员的问题
-第六章 质点动力学--作业
-7-1 质点系动量定理
-7-2 质点系动量矩定理
-7-3 质点系动能定理
-7-4 质系普遍定理的综合应用
-7-5 碰撞
--7-5 碰撞
-例题
-扩展内容
--7-拓展-a跳高
--7-扩展-b跳水
--第七章 质点系动力学--作业
-8-1 达朗贝尔原理
-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理
-8-3 第二类拉格朗日方程
-8-4 拉格朗日方程首次积分
-例题
--达朗贝尔原理例题
-扩展内容
--广义动量守恒
--广义能量守恒
--非定常约束
--无轮小车
-第八章 分析动力学--作业