7-2-1 质点系的动量矩在线视频

好 大家好

那么今天我们讲第七章的第二节

质系动量矩定理

首先的话我们介绍一下

动量矩质系动量矩怎么定义

就是质系的话呢各个质点

它具有动量Pi

然后的话呢对某个点O它的矩的矢量和

称为什么呢

称为质系对点O的动量矩

那么在物理中的话呢

动量矩也称为叫角动量

在力学中的话通常叫动量矩

好我们看啊 动量矩是这样

我们看看这个坐标

如果建立之后有个质点

它具有一个动量mi乘以vi

然后的话呢这个点的话呢

具有O点的话有个矢径ri

好 从公式上的话呢

我们写出来就是说

Lo=∑ri×mivi

也就是说把每个质点的动量

对于O点取矩

那么需要注意的是什么呢

质系的动量矩啊

是度量质系整体运动的一个基本的特征

动量矩和动量实际上是类似的

它能够反应系统的一个整体的运动

需要注意的是什么呢

就是说动量矩是一个矢量

它是和矩心O点的选择有关系的

选择O点不同的话呢

那么它的动量矩就不一样

所以这点跟动量是不一样的

那么 下面我们就研究一下

就是质系对任意两个点的

动量矩之间有什么关系

比如说我们这个系统某一点的话呢

它的动量是mivi

它对O点的话呢有个矢径ri

对A点的话有个矢径roa

然后A点到那个质点之间的话呢

它的距离的话叫di

好 那么在这种情况下 我们可以把

动量矩把它写出来

对O点的话直接按照原始定义式写就是

Lo=∑ri×mivi

而对于A点的话呢是

La=∑di×mivi

下面我们找Lo和La什么关系

那么在找之前的话呢

我们先可以类比一下

我们还记不记得在讲

就是说受力分析的时候

曾经讲过力对点之矩

然后的话呢也讲过

力对不同的点之矩的关系

那么你可以想象的话呢

在那个时候讲过的那些知识啊

从数学上来说的话呢

它们是完全可以类比的

因此的话呢 我们的动量矩和力矩之间

也有类似的关系

那么下面我们看一下

好我们注意到的话呢

就是ri和roa的话呢

总是满足这样的关系式

就是加上一个di这种关系式

因此的话呢 我们把ri的话呢

带入到Lo的计算中去 就得到什么呢

∑（roa+di）×mivi

然后把这个括号展开之后出现两项

好我们得到新的式子

其中的话呢 第一项的话呢

就是系统的动量对于A点的矩

那么第二项的话呢 我们把它

因为roa的话 每点都有 把它提出来

提出来之后的话呢

后面的∑mivi的话用一下动量定理

因此可把它简化

因此得到什么式子呢

就是系统对O点的动量矩

等于系统对A点的动量矩

再加上roa×系统的总质量

乘以质系的速度

哎 这个式子就表明了

A点和O点的动量矩的关系

那么如果把这个A点的话呢

换成一个特殊的点 比如换成质心的话呢

那么就可以有这样的公式 就是说

任意一点O点和质心的关系是什么呢

就是Lo=Lc+roc×mvc

是这样一个关系式

好 那么这个关系式的话呢在后面

分析某些问题的时候啊

用上它就会比较方便

好下面我们来看一下

下面我们介绍第二点就是说

绝对运动和相对运动的动量矩

那么我们看一个刚体

它上面有不同的点

我们把质心C还有A点先标出来

然后我们研究某个质点mi的运动

好根据我们前面定义的话呢

质系对于A点的动量矩的话是

∑di×mivi

那么它的相对运动的话

对A点动量矩等于什么呢

等于∑di×mivir 就是说相对运动

好了下面我们看它们之间什么关系啊

根据我们以前学过的运动学知识

就是第i个质点所具有的速度

等于以A为基点的速度加上相对速度

所以的话呢 vi=va+vir

好 这是基点法的基本公式

然后我们把它带进去看看

这里面相当于是以A为基点

建立一个平动坐标系

好 带进去之后的话呢

就有一个新的公式

就是=∑di×mi（va+vir）

把它展开 展开出来两部分

其中的话呢

第二部分的话呢就是出来的

系统的相对运动对A点的运动公式

然后还有第一部分

第一部分的话呢我们注意到

va是公共量可以提出来

然后前面的式子的话呢

我们用一下关于质心运动的这个公式

系统的质心的公式的话

得到什么呢 就会得到

La=mrac×va+Lar

好 这就意味着什么呢

这就意味着在一般情况下

质系的绝对运动对A点的动量矩

和相对运动对A点的动量矩是不等的

但是呢 我们可以看出来

如果把这个A点换成质心的话呢是相等

为什么换成质心相等呢

你看看 因为这里面 它有个附加项是

mrac×va

rac的话如果A点换成C点的话

将变成rcc C点到C点自己为0

所以的话呢对于质心来说

绝对运动和相对运动的动量矩都是相等的

但是如果A点是一般点的话是不成立的

那么下面的话我们看看

如果相对运动对A点的动量矩啊

该怎么算呢 好我们来看看

根据定义式的话呢

质系对于A点的相对运动的话等于

∑di×mivir 相对运动的速度

大家注意这个公式的话

是对任意的系统都成立的

这是原始定义式

然后我们看看它在有些特殊情况下

它可以退化 比如说

在刚体情况下的话呢 vir

因为我们刚刚说到

是以A点为基点建立一个平动坐标系

因此在这个情况下的话呢

vir等于什么呢

等于刚体的角速度×di

所以这是在刚体的情况下成立

那么我们可以再看看

在什么情况下它可以再简化呢

如果这个是刚体做平面运动的情况下

这个ω和di的话是垂直关系的话呢

它可以进一步简化

就变成什么呢

变成∑midi2ω

而ω的话呢可以是个公共量可以提出来

因此的话呢它可以变成什么呢

变成是质系对A点的相对运动的动量矩

等于转动惯量乘以角速度

这里面的话Ja的话呢

就是刚体对A轴的转动惯量

因此我们看出来什么呢

我们为什么要计算相对运动

对某个点的动量矩呢

那是因为在刚体做平面运动的时候

它的相对运动动量矩啊很好算

它等于转动惯量乘以角速度很好算

而绝对运动的话呢不好算

绝对运动的话每点速度大小方向都不一样

算起来就很麻烦

所以这就是也是说我们为什么

要算相对运动的动量矩

好 我们小结一下

这里有很多公式你看第一个就是说

质系对于O点的动量矩

这是我们第一行的话是原始定义

大家看出来

然后质系对A点的动量矩

还有质系相对运动对A点的动量矩等等

以及质系对质心的动量矩

和质系相对运动的动量矩等等

我们下面框起来的公式的话呢

大家可以把它记一下

这个以后我们经常会用到

就是系统对A点的动量矩

和对O点的动量矩它们之间的关系

以及系统对质心的动量矩

和对O点动量矩的关系

好 那么 特别是

就是说系统对于质心的绝对运动

和对质心相对运动的动量矩都是相等的

这个公式的话呢是很好的

我们以后可能会经常用到