当前课程知识点：理论力学 > 第二章 刚体运动学 > 2-2 刚体的矢量-矩阵描述 > 2-2 刚体运动的矢量-矩阵描述
好 下面我们介绍第二节
刚体运动的矢量-矩阵描述
我们上次已经看了刚体的一些运动
比如说平面运动、平动、定轴转动等等
那么我们就来提个问题
我们如何描述刚体的一般运动
直接照搬单个质点的描述方法行不行
好，这是一个问题
其次，我们还有一个问题
就是我们要确定刚体上几个点的位置
才能确定刚体整体的位置呢
这些问题我们都要专门考虑
另外还有一个很重要的问题就是
我们如何反映出刚体的一个转动效果
特别是同学们以前学过物理中的概念
从定轴转动到我们现在的一般转动
它们里面是不太一样的
所以我们要特别关注一下
为了介绍这些内容
我们先要研究一些基本的数学概念
我们来看一下
补充一些基本的数学知识
第一个就是关于矢量是如何表示的
我们知道矢量有时候也叫向量
它是有方向的物理量的数学抽象
我们假设e1、e2、e3是三个汇交于O点的正交单位向量
任意的矢量a就可以表示为
a等于a1乘以e1，加上a2乘以e2，加上a3乘以e3
大家稍微注意一下：我们左边的a是一个黑体
是比较粗的一个字体
右边的a1、a2、a3是稍微细一点的字体
所以，黑的字体表示矢量
细的字体表示分量，是标量
细的字体aj（j等于1、2、3）
我们称为矢量a在坐标系中的坐标列阵
或者是坐标投影，都可以
它可以表示为
a下划线（表示它是一个列阵）
等于括号里边的a1、a2、a3
我们知道矢量一般按列阵表示
但是在印刷的时候，为了节省空间
一般把它转置，把它变成水平
所以变成a1、a2、a3， 加一个转置（符号T），这样也可以
好，这是矢量的表示
那么矢量的运算呢
我们来看一下
首先，矢量有点乘
比如说，c等于a点乘b
这是矢量形式的点乘
那么还有叉乘，c等于a叉乘b
大家看一下，这两个字母c是不一样的
点乘状态下的c
两个（矢量）点乘后是一个标量
所以c是一个瘦体
我们称之为“白体”
叉乘（的结果）是一个比较粗一点的黑体
如果这两个公式用标量形式写出来呢
就是这样写的：第一个是c等于a的转置乘以b
大家注意
a下划线是表示它已经是个列阵了
再转置，再乘以b的一个列阵
如果是叉乘
就表示成c加下划线（因为它已经是一个列阵了）
它有三个元素在里面
它等于a的波浪号，乘以b的下划线
这是什么意思呢
这个a的波浪号，称之为“矢量a的叉乘矩阵”
它是这样定义的
a波浪号等于
中括号里面，它是9个元素
对角线为0
非角线元素，你要记可以从（右上部分）开始记
负的a1，正的a2和负的a3，（左下部分）这边是反对称的
至于它符号的正负号怎么记呢
你可以来这样考虑（对右上部分）
我们从第一行开始，从左到右是：正负正负（相邻异号）
你发现这样正好就把符号记下来了
它是一个反对称矩阵
这是关于矢量运算的一些基本知识
还有一个知识我们要介绍一下
叫“方向余弦矩阵”
它是这样定义的
假设e（i）和e（j）是两个坐标系的单位向量
我们这样定义
A（ij）等于e（i）点乘e（j）转置
乘完之后出来一个矩阵，里面有9个元素
那么这个就称为叫Aij
Aij称之为什么呢
称为e（j）相对e（i）的“方向余弦矩阵”
或叫“坐标系转换矩阵”
为了让大家有印象
我们举个特例
比如说平面上一个黑色坐标ox1y1
通过转动角度θ之后，到达了红色的ox2y2
这个时候我们可以写出来
A12等于多少
它等于cosθ，如果竖着念的话：cosθ、 sinθ、 0
然后（第2列）：负的sinθ、cosθ、0
（第3列）0、 0、 1
那么这是什么意思呢
我们拿出其中一列来看
（第一列）这一列表示什么呢
表示已经转动之后坐标系的单位向量
x轴的单位向量在原坐标系中的投影
那么类似，我们看第二列
是y方向的单位向量在原坐标系中的投影
第三列（0，0，1）表示没有转动
所以（方向余弦矩阵）按列来理解的话，是很好理解的
最后我们来介绍一下方向余弦矩阵的一些性质
我们假设a是一个向量
在两个坐标系中可以表示为
比如说a等于在下标为i的坐标中
它投影之后是出来a（i）
在下标为j的坐标中投影出来是a（j）
这样一来就有个问题
a是一个向量，它是一个客观量，和坐标系没关系
但是它投影到两个坐标系中的结果是不一样的
但是它们是从同一个向量投影出来的
因此它们之间（应该）有某种关系
那是什么关系呢，我们来看一下
原来它们是：a在(i)中的投影等于Aij乘以a（j）
我们可以看看特例，是什么意思
比如说我们有个矢量
它在ox1y1坐标中可以写出来，它的列阵是多少
写出来是（cosθ，sinθ，0）
然后它在红色坐标中更简单，就是（1， 0， 0）
那么我们可以尝试一下，我们带进去一算
验证公式是成立的
那么这个公式实际上暗示了
什么是矢量？它应该满足的条件
比如说一个矢量由三个分量构成
但是这三个分量构成之后
还要满足一个坐标转换关系
而不是说随便拿三个量能构成一个矢量
比如说，如果我们把今天的日期
今天的温度和我们上课的人数
这三个量放在一起，它们不能构成一个矢量
因为这三个量放在一起不能满足坐标转换关系
所以，这个公式告诉我们
矢量除了有大小、方向之外
还要满足一个坐标转换关系
-绪论
--绪论
-1-1 矢量描述法
--第一章运动的描述
--矢量及其运算
-1-2 直角坐标描述法
--例题1 椭圆规
--例题2 圆轮滚动
-1-3 自然坐标描述法
--例题3 单摆
-1-4 极坐标描述法
--例题4 演员
-扩展内容
--b 观察与思考
--c 时间与方向
--d 仰望星空
--e 兔子追击问题
-第一章 点的运动学--作业
-2-1 刚体的定义与运动形式
-2-2 刚体的矢量-矩阵描述
-2-3 刚体平面运动
-2-4 刚体定点运动
-扩展内容
-第二章 刚体运动学--作业
-3-1 点的复合运动
-3-2 刚体复合运动
-例题
-扩展内容
--钟表的设计
--寻找四叶草
--差动齿轮
--指南车
--逆行风车
-第三章 复合运动--作业
-4-0 静力学公理序言
-4-1 主矢量和主矩
-4-2 力系的等效与简化
-4-3 受力分析与刚体平衡
-4-4 平面力系的平衡方程
-4-5 考虑摩擦的平衡问题
-4-6 刚体系的平衡
--4-6-2 桁架
--4-6-3 机构
-例题
-扩展内容
--气球的平衡
--平衡大师
-第四章 几何静力学--作业
-5-1 约束及其分类
--约束及其分类
-5-2 虚位移
--虚位移
-5-3 虚功原理
--虚功原理
-5-4 广义坐标和广义力
--广义坐标和广义力
-5-5 势力场中的平衡
-例题
-扩展内容
--关于投影
--不倒翁
--5-扩展-c欹器
--冈布茨
-第五章 分析静力学--作业
-6-1 质点运动微分方程
-6-2 质点在非惯性系中的运动
-6-3 相对地球的运动
-扩展内容
--宇航员的问题
-第六章 质点动力学--作业
-7-1 质点系动量定理
-7-2 质点系动量矩定理
-7-3 质点系动能定理
-7-4 质系普遍定理的综合应用
-7-5 碰撞
--7-5 碰撞
-例题
-扩展内容
--7-拓展-a跳高
--7-扩展-b跳水
--第七章 质点系动力学--作业
-8-1 达朗贝尔原理
-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理
-8-3 第二类拉格朗日方程
-8-4 拉格朗日方程首次积分
-例题
--达朗贝尔原理例题
-扩展内容
--广义动量守恒
--广义能量守恒
--非定常约束
--无轮小车
-第八章 分析动力学--作业
