5-3 虚位移原理例题在线视频

例1 椭圆规机构

图示连杆的话 AB长度为l

重量不计 摩擦不计

求在图示位置时 平衡时

主动力P和Q之间的关系

我们用几何法来进行处理

先给出虚位移 比如说

假设虚位移A点的话呢竖直向上

那么B点的话呢水平

然后利用速投定理可以找出

A点和B点虚位移的关系

根据理想约束系统

我们有这样一个结果 就是说

虚功原理就是主动力在虚位上之和等于0

所以算出的虚功等于-PδrA+QδrB=0

因此就可算出PQ的比值等于tanφ

那么这个问题需要注意的是

在几何法中的话呢

虚位移和速度分析类似的

同时的话呢 速度满足投影定理

虚位移也满足投影定理

而且虚位移的方向的话呢 按实际方向给出

比如说 假设A是向上运动的话呢

那么B就是向左运动 所以这点注意一下

那么这个题目还可以用解析法进行分析

解析法的话呢 首先写出约束方程

也就是说 A点和B点距离等于l

这是一个约束 写的就是 x²B+y²A=l²

然后这式子两边进行变分

就求出了 变分计量关系

或者说虚伪变换关系

好 求出来δyA和δxB的关系

然后呢 再用虚功原理

就是-QδxB-PδyA=0

从而求出P和Q的关系

那么需要说明的是

在解析法中的呢 我们虚位移

是按照坐标正方向给出来的

那么在虚功原理时候的话呢坐标正方向解

那么比如说 为什么就让-QδxB的话呢

是因为我们的Q是沿着x负方向

所以是负的Q

那么类似的话这边-P的话呢

P是沿着y的负方向 所以是这样的

例2 罗培伐秤

这个秤的话呢 是由两根杠杆CAD

和EBF组成 以及两边有CE和DF的盘

铰接而成

假设的话呢 有P和Q放上面已经处于平衡了

求平衡时候的P和Q的比值

尺寸如图

好 这个题目啊 在解之前的话呢

很多人可以用他的常识来进行分析

不过的话呢 大多数人会得出错误的结论

那么下面我们看看正确的解法

我们利用虚位移原理

来考虑两个杠杆有虚位移的时候

我们看看这两个秤是怎样的关系

比如说 一开始的时候是保持水平

然后 当加力之后 假设有虚位移

倾斜之后的话呢 这个CAD倾斜了

但是由于这个装置的特点的话呢

这个 这个边的话呢 是保持平动的

这边也是平动的

好了 这样一来的话你会发现

这边上升 这边下降 还是1：1的关系

所以的话呢 我们很容易证明

在平衡的时候 PQ什么关系呢 P=Q

这一阶段是不是有点超乎你的想象呢

那么这个题目 如果接下来分析

A点和B点的约束力 你会发现

我们可以求出一部分的分量

但是另外一部分比如说竖直分量

是确定不了的

也就是说它有一部分是静力学不定的

那么关于这个秤的话呢

是罗培伐他发现的

他是法国数学家

那么这个问题的话呢

在1636年默森他写的一本

普遍和谐的书中 介绍了

这个问题提出来之后的话呢

很多人得出的结果啊

总变成很奇怪

那么一直到1803年潘索在静力学原理中

才给出了正确的解释

那么潘索这人的话呢

是静力学的奠基人之一

例3 带有弹簧的平衡问题

图示系统的话呢 AB之间也有弹簧

然后在P的作用下处于平衡

假设各个部分的边长为a 质量不计

弹簧原长为a 这个系数的话呢为k

我们想求一下 平衡时候的这个P力

和θ角的关系

首先的话呢 我们根据公式来分析的话

就是主动力点乘它的虚位移等于0

如果从这公式看的话呢

我们发现图中的主动力啊 只有P

这样一来的话呢 结论就是

P和θ没什么关系

因此这个结论肯定是有问题的

我们感觉到弹簧在这里应该起作用

弹簧应该在功里面出现的

所以的话呢 我们来看看

该怎么处理这个问题

解法1 利用几何方法进行求解

我们可以去掉弹簧 加上弹簧力

好 我们把弹簧力加上

我们可以算一下 弹簧力的话呢 等于

弹簧系数乘以变形

如果按图示这么写的话呢

那意味着

我们假设这个之间的距离啊变短

所以弹簧力 使它作用是往外的

好 然后呢 我们给出虚位移

因为我们刚说是变短嘛

所以往 往里面靠拢的

这两个虚位移给完之后的话呢

会导致C点有而虚位移

那么注意 对于AC或者是BC的话呢

两点都有虚位移之后

还要满足虚位移原理

也就是说AB的长度

也就是说AC的长度或者BC的长度啊

是不变的 因此的话呢

要满足虚位移的投影定理

满足这样的关系式

通过这个关系式的话呢 可以找出

C点的虚位移和A的虚位移的关系

好了 然后

就求出来 我们把P力

和它对应的虚位移做的功

加上弹簧力做的功 乘在一起之后

可以找出关系式 也就是说

P和θ满足这样的关系式

那么这个题目 我们还可以用

解析法进行处理

解析法中要找出受的约束

比如说 AB之间的话呢

我们把它先写出来它的长度是等于

2asin（θ/2） 因此

A点和B点受到的弹簧力的话呢

是等于k（lAB-a）

如果是这样的话呢

我们现在是认为是弹簧在拉长

所以的话弹簧给的力的话是相向的

我们可以解出A点的x坐标

然后进行变分求出A点的虚位移

那么这地方说一下

为什么我们A点竖直方向坐标没写出来呢

因为做功时候的话呢 力是水平的

我们只需要考虑水平方向的位移

类似的B点的坐标和B点的虚位移解出来了

那么C点话呢

给出的y方向上的坐标和虚位移

然后带入虚功原理

我们把它带进来之后 我们来看一下

弹簧力左边的右边的

以及P力 好 最后等于0

通过这个关系式也可找出

P力和θ的关系

那么这个题目需要注意 就是

对于有弹簧的平衡问题

在利用虚位移原理的时候

要考虑弹簧力做的功

也就是说 凡是对做功有贡献的力

都要考虑进来

另外用几何方法进行分析的时候

虚位移和弹簧力的方向按实际方向画出

而用解析法进行分析的时候

虚位移是按坐标的正方向给出

弹簧力的话呢 是受拉的

所以这地方要注意2和3的话呢

不要搞混了

例4 已知三铰拱中尺寸a已知

P力已知 M已知 要求B点的约束反力

好 我们解除B点的水平约束

加上水平约束力

那么需要注意的是

我们依次不是解除全部的约束

而是解除一部分约束

好 解出来之后的话呢

这个系统就变成一个机构了

可以绕A点运动

C点方向就是ac连线的绝对方向

那么对BC构建来说 C点方向已知

B点是水平 我们可以找出

C*是它的瞬心 这样一来的话呢

我们可以把这一点 这个P作用点

的虚位移把它找出来

那么 我们相应把它写出来

B点的虚位移 D点的虚位移

全部把它找出来

然后利用虚功原理

M做功是M逆时针方向

这样是瞬时方向 所以是负的P力

它与X做的功把它写出来

它等于0

那么提出公共项δθ

因为δθ是不等于0

它属于任意的给定的虚位移

所以的话呢 只能是前面的系数为0

所以的话 通过这个式子

把B点的向上力就求出来了

第二步我们解除B点的竖直方面的约束

加上竖直方向的力 好 如图所示

这时候的话呢 系统还是可以绕A点运动

但是呢 BC的水平在哪呢

就是A点了 好 我们可以把相关的

虚位移都画出来

那么我们看B点虚位移 D点虚位移

都可以解出来

然后呢 还是利用虚功原理

把相关的式子写出来

注意正负号

提出相关的公共项δθ

然后利用δθ是任意点的虚位移

可以证明括号里面要为0

所以求出B点y方向上的约束力

把它求出来了

也就是说的话呢 B点约束力的话

通过两次解除约束把它求出来的

好 我们最后讨论一下

应用虚位移原理求解刚体系统

平衡问题时

是不需要将系统拆开的

不需要考虑约束反力

而直接给出了平衡时候

主动力之间的关系

不过 如果某些问题

特别需要求约束反应力

也可以把该约束解除

把约束反应力当主力看待就可以了