当前课程知识点:理论力学 > 第五章 分析静力学 > 例题 > 5-3 虚位移原理例题
例1 椭圆规机构
图示连杆的话 AB长度为l
重量不计 摩擦不计
求在图示位置时 平衡时
主动力P和Q之间的关系
我们用几何法来进行处理
先给出虚位移 比如说
假设虚位移A点的话呢竖直向上
那么B点的话呢水平
然后利用速投定理可以找出
A点和B点虚位移的关系
根据理想约束系统
我们有这样一个结果 就是说
虚功原理就是主动力在虚位上之和等于0
所以算出的虚功等于-PδrA+QδrB=0
因此就可算出PQ的比值等于tanφ
那么这个问题需要注意的是
在几何法中的话呢
虚位移和速度分析类似的
同时的话呢 速度满足投影定理
虚位移也满足投影定理
而且虚位移的方向的话呢 按实际方向给出
比如说 假设A是向上运动的话呢
那么B就是向左运动 所以这点注意一下
那么这个题目还可以用解析法进行分析
解析法的话呢 首先写出约束方程
也就是说 A点和B点距离等于l
这是一个约束 写的就是 x²B+y²A=l²
然后这式子两边进行变分
就求出了 变分计量关系
或者说虚伪变换关系
好 求出来δyA和δxB的关系
然后呢 再用虚功原理
就是-QδxB-PδyA=0
从而求出P和Q的关系
那么需要说明的是
在解析法中的呢 我们虚位移
是按照坐标正方向给出来的
那么在虚功原理时候的话呢坐标正方向解
那么比如说 为什么就让-QδxB的话呢
是因为我们的Q是沿着x负方向
所以是负的Q
那么类似的话这边-P的话呢
P是沿着y的负方向 所以是这样的
例2 罗培伐秤
这个秤的话呢 是由两根杠杆CAD
和EBF组成 以及两边有CE和DF的盘
铰接而成
假设的话呢 有P和Q放上面已经处于平衡了
求平衡时候的P和Q的比值
尺寸如图
好 这个题目啊 在解之前的话呢
很多人可以用他的常识来进行分析
不过的话呢 大多数人会得出错误的结论
那么下面我们看看正确的解法
我们利用虚位移原理
来考虑两个杠杆有虚位移的时候
我们看看这两个秤是怎样的关系
比如说 一开始的时候是保持水平
然后 当加力之后 假设有虚位移
倾斜之后的话呢 这个CAD倾斜了
但是由于这个装置的特点的话呢
这个 这个边的话呢 是保持平动的
这边也是平动的
好了 这样一来的话你会发现
这边上升 这边下降 还是1:1的关系
所以的话呢 我们很容易证明
在平衡的时候 PQ什么关系呢 P=Q
这一阶段是不是有点超乎你的想象呢
那么这个题目 如果接下来分析
A点和B点的约束力 你会发现
我们可以求出一部分的分量
但是另外一部分比如说竖直分量
是确定不了的
也就是说它有一部分是静力学不定的
那么关于这个秤的话呢
是罗培伐他发现的
他是法国数学家
那么这个问题的话呢
在1636年默森他写的一本
普遍和谐的书中 介绍了
这个问题提出来之后的话呢
很多人得出的结果啊
总变成很奇怪
那么一直到1803年潘索在静力学原理中
才给出了正确的解释
那么潘索这人的话呢
是静力学的奠基人之一
例3 带有弹簧的平衡问题
图示系统的话呢 AB之间也有弹簧
然后在P的作用下处于平衡
假设各个部分的边长为a 质量不计
弹簧原长为a 这个系数的话呢为k
我们想求一下 平衡时候的这个P力
和θ角的关系
首先的话呢 我们根据公式来分析的话
就是主动力点乘它的虚位移等于0
如果从这公式看的话呢
我们发现图中的主动力啊 只有P
这样一来的话呢 结论就是
P和θ没什么关系
因此这个结论肯定是有问题的
我们感觉到弹簧在这里应该起作用
弹簧应该在功里面出现的
所以的话呢 我们来看看
该怎么处理这个问题
解法1 利用几何方法进行求解
我们可以去掉弹簧 加上弹簧力
好 我们把弹簧力加上
我们可以算一下 弹簧力的话呢 等于
弹簧系数乘以变形
如果按图示这么写的话呢
那意味着
我们假设这个之间的距离啊变短
所以弹簧力 使它作用是往外的
好 然后呢 我们给出虚位移
因为我们刚说是变短嘛
所以往 往里面靠拢的
这两个虚位移给完之后的话呢
会导致C点有而虚位移
那么注意 对于AC或者是BC的话呢
两点都有虚位移之后
还要满足虚位移原理
也就是说AB的长度
也就是说AC的长度或者BC的长度啊
是不变的 因此的话呢
要满足虚位移的投影定理
满足这样的关系式
通过这个关系式的话呢 可以找出
C点的虚位移和A的虚位移的关系
好了 然后
就求出来 我们把P力
和它对应的虚位移做的功
加上弹簧力做的功 乘在一起之后
可以找出关系式 也就是说
P和θ满足这样的关系式
那么这个题目 我们还可以用
解析法进行处理
解析法中要找出受的约束
比如说 AB之间的话呢
我们把它先写出来它的长度是等于
2asin(θ/2) 因此
A点和B点受到的弹簧力的话呢
是等于k(lAB-a)
如果是这样的话呢
我们现在是认为是弹簧在拉长
所以的话弹簧给的力的话是相向的
我们可以解出A点的x坐标
然后进行变分求出A点的虚位移
那么这地方说一下
为什么我们A点竖直方向坐标没写出来呢
因为做功时候的话呢 力是水平的
我们只需要考虑水平方向的位移
类似的B点的坐标和B点的虚位移解出来了
那么C点话呢
给出的y方向上的坐标和虚位移
然后带入虚功原理
我们把它带进来之后 我们来看一下
弹簧力左边的右边的
以及P力 好 最后等于0
通过这个关系式也可找出
P力和θ的关系
那么这个题目需要注意 就是
对于有弹簧的平衡问题
在利用虚位移原理的时候
要考虑弹簧力做的功
也就是说 凡是对做功有贡献的力
都要考虑进来
另外用几何方法进行分析的时候
虚位移和弹簧力的方向按实际方向画出
而用解析法进行分析的时候
虚位移是按坐标的正方向给出
弹簧力的话呢 是受拉的
所以这地方要注意2和3的话呢
不要搞混了
例4 已知三铰拱中尺寸a已知
P力已知 M已知 要求B点的约束反力
好 我们解除B点的水平约束
加上水平约束力
那么需要注意的是
我们依次不是解除全部的约束
而是解除一部分约束
好 解出来之后的话呢
这个系统就变成一个机构了
可以绕A点运动
C点方向就是ac连线的绝对方向
那么对BC构建来说 C点方向已知
B点是水平 我们可以找出
C*是它的瞬心 这样一来的话呢
我们可以把这一点 这个P作用点
的虚位移把它找出来
那么 我们相应把它写出来
B点的虚位移 D点的虚位移
全部把它找出来
然后利用虚功原理
M做功是M逆时针方向
这样是瞬时方向 所以是负的P力
它与X做的功把它写出来
它等于0
那么提出公共项δθ
因为δθ是不等于0
它属于任意的给定的虚位移
所以的话呢 只能是前面的系数为0
所以的话 通过这个式子
把B点的向上力就求出来了
第二步我们解除B点的竖直方面的约束
加上竖直方向的力 好 如图所示
这时候的话呢 系统还是可以绕A点运动
但是呢 BC的水平在哪呢
就是A点了 好 我们可以把相关的
虚位移都画出来
那么我们看B点虚位移 D点虚位移
都可以解出来
然后呢 还是利用虚功原理
把相关的式子写出来
注意正负号
提出相关的公共项δθ
然后利用δθ是任意点的虚位移
可以证明括号里面要为0
所以求出B点y方向上的约束力
把它求出来了
也就是说的话呢 B点约束力的话
通过两次解除约束把它求出来的
好 我们最后讨论一下
应用虚位移原理求解刚体系统
平衡问题时
是不需要将系统拆开的
不需要考虑约束反力
而直接给出了平衡时候
主动力之间的关系
不过 如果某些问题
特别需要求约束反应力
也可以把该约束解除
把约束反应力当主力看待就可以了
-绪论
--绪论
-1-1 矢量描述法
--第一章运动的描述
--矢量及其运算
-1-2 直角坐标描述法
--例题1 椭圆规
--例题2 圆轮滚动
-1-3 自然坐标描述法
--例题3 单摆
-1-4 极坐标描述法
--例题4 演员
-扩展内容
--b 观察与思考
--c 时间与方向
--d 仰望星空
--e 兔子追击问题
-第一章 点的运动学--作业
-2-1 刚体的定义与运动形式
-2-2 刚体的矢量-矩阵描述
-2-3 刚体平面运动
-2-4 刚体定点运动
-扩展内容
-第二章 刚体运动学--作业
-3-1 点的复合运动
-3-2 刚体复合运动
-例题
-扩展内容
--钟表的设计
--寻找四叶草
--差动齿轮
--指南车
--逆行风车
-第三章 复合运动--作业
-4-0 静力学公理序言
-4-1 主矢量和主矩
-4-2 力系的等效与简化
-4-3 受力分析与刚体平衡
-4-4 平面力系的平衡方程
-4-5 考虑摩擦的平衡问题
-4-6 刚体系的平衡
--4-6-2 桁架
--4-6-3 机构
-例题
-扩展内容
--气球的平衡
--平衡大师
-第四章 几何静力学--作业
-5-1 约束及其分类
--约束及其分类
-5-2 虚位移
--虚位移
-5-3 虚功原理
--虚功原理
-5-4 广义坐标和广义力
--广义坐标和广义力
-5-5 势力场中的平衡
-例题
-扩展内容
--关于投影
--不倒翁
--5-扩展-c欹器
--冈布茨
-第五章 分析静力学--作业
-6-1 质点运动微分方程
-6-2 质点在非惯性系中的运动
-6-3 相对地球的运动
-扩展内容
--宇航员的问题
-第六章 质点动力学--作业
-7-1 质点系动量定理
-7-2 质点系动量矩定理
-7-3 质点系动能定理
-7-4 质系普遍定理的综合应用
-7-5 碰撞
--7-5 碰撞
-例题
-扩展内容
--7-拓展-a跳高
--7-扩展-b跳水
--第七章 质点系动力学--作业
-8-1 达朗贝尔原理
-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理
-8-3 第二类拉格朗日方程
-8-4 拉格朗日方程首次积分
-例题
--达朗贝尔原理例题
-扩展内容
--广义动量守恒
--广义能量守恒
--非定常约束
--无轮小车
-第八章 分析动力学--作业