当前课程知识点：理论力学 > 第六章 质点动力学 > 6-1 质点运动微分方程 > 6-1质点运动微分方程
好 大家好
现在我们学习新的一篇 第三篇动力学
我们先介绍第六章 质点动力学
那么 动力学的话是研究物体的受力
和物体借用的质量关系
这部分的话是理论力学用的核心课程
那么看看这个视频 很有意思
这个小装置的话 它会动起来 会走起来
它没有轮子会走起来
这个就是我专门设计的小玩具
那么到相关地方的话我们再解释
它是怎么回事
它是研究受力和它运动质量关系
那么我们先介绍第一部分
就是质点的运动微分方程
假设一个质点的话 质量是m
受到的力F的作用
那么根据牛顿第二定律的话
就有这样的一个表达式
就是质量乘以加速度等于力
写成mr两点等于F
那么这个形式的话是矢量形式的
质点运动微分方程
我们强调一下
所谓的质点运动方程是什么呢
就是质量乘以加速度 这边是力
特别需要说明一下
这边这个力通常是个已知的力
所以的话 到后面的话我们还会讲到
一个运动微分方程
如果你列完之后
这个力是含有未知量的话
通常你要加以处理一下
把这个 这边的力全部变成已知的力
这样的话叫做质点运动微分方程
那么刚才我们列了方程之后的话呢
我们可以把它在不同的坐标中列出来
因为前面是矢量形式
那么在具体分析的时候
可以建立不同的坐标系来进行分解
我们来看一下 回忆一下
我们以前曾经讲过直角坐标系
比如说 我们建立直角坐标系之后
就变成是质量乘以x方向的加速度
等于x方向的分量
那么类似的话 质量乘以y方向的加速度
等于y方向力的分量
质量乘以z方向加速度等于
z方向力的分量
那么有的时候的话
可能还可以建立自然坐标系
那么我们可以把它写成质量乘以s两点
等于这个力沿着矢径方向的分量
以及在反向方向的话质量乘以s一点平方
除以ρ等于Fn
这个n的话沿着它的那个法向方向
另外还有一个方程式0等于Fb
就说在负法向方向上就这样一个公式
也就是说在第三个方向上它可以自然成立
也可以建立一个极坐标系的一个表达式
好 比如说 我们看 在径向方向的话是
质量乘以括号里面ρ两点减掉
ρ乘以ψ一点平方
这个表示一个径向方程加速度
然后等于径向方向力的合矢量
以及在横向方向的话 就是说
质量乘以括号里面ρ乘以ψ两点
加上两倍的ρ一点ψ一点等于Fψ
Fψ的话表示在横向方向的力
那么最后还有z方向的话就是
质量乘以z方向加速度等于力Fz
那么具体的用哪个坐标系来描述的话
根据情况来分析
那么这些我们都很容易列出来
那么列出来之后的话
我们再看怎么来求解
那么质点动力学的话
我们可以处理两大类问题
一类是已知运动求力
那么这个是微分问题
还有一种是已知力求运动
那么是积分的问题
那么有的时候会遇到一种混合问题
既有未知的运动又有未知的力
在这种情况下的话
我们可能需要这样的处理
就是说先根据已知的力
列出相关的方程之后求出运动
然后再根据求出来的运动
把所有未知的关键的力求出来
好 这是更一般情况
那么在一般情况下的话
这个方程可能没有解析解
可能只能进行数值计算
只有再很特殊的情况下
才能把解析解找出来
那么在我们这门课中的话
我们通常把方程列出来就算可以了
那么具体的计算的话
以后还有后续的课程上再介绍
好 我们下面再介绍一下
在某些情况下它的解
可以找到解析解的情况 我们来看一下
通常我们是用分离变量法来处理
好 我们看 我们假设有的方程
就是质量乘以加速度等于力
那么我们特别关注下这个力 力F
如果这个力F是时间的函数
是时间的函数的话 我们可以这样处理
我们可以把它写成m乘以x两点
等于F括号里面的t
那么把它进行处理一下
就是x两点的话写成什么呢
写成dx一点除以dt
就是速度对时间的求导 就是加速度
好 这样写完之后 我们把它分离变量
可以变成质量等于dx一点等于F乘以dt
好 就是说把x和t分开两边了
然后可以进行积分 可以积出来
那么积出来之后的话
左边就是质量乘以速度
质量乘以x一点就是质量乘以速度
它等于Fdt积分 对时间积分
那么这个结果的话 我们看它的左边
左边部分质量乘以速度
那么这个量就是什么呢
就表示质点的动量 因此的话
它积出来之后有它特定的物理含义
好 另外一种的话
如果这个力 是未知的函数
我们也可以对它进行处理一下
我们这样处理 就是我们先看
质量乘以加速度等于力
但这个力是F括号里面x
这时候 我们利用这样一种技巧
大家注意 看 质量乘以dx一点dx
再乘以dxdt 好
这从数列上说就是等价的
然后右边等于F括号里面x
好 看我们怎么处理呢
我们把xdt写成x一点就变成了是
质量乘以x一点再dx一点
等于力乘以dx 这样一来的话
我们把速度和位置分成两边了
我们可以来进行积分 两边进行积分
好 这样一来的话 左边出来之后是
二分之一的质量乘以x一点平方
也就说二分之一的质量乘以速度平方
右边的话 就是这个力对于x方向的积分
我们注意 左边的话
二分之一的mx点平方的话实际表示
这两点的动能
因此 它的积分也有它的特定的物理含义
通过这两个例子的话 表明的话
在某些情况下如果力的特定的
比如说关于时间的函数是
关于未知的函数的话是
可以把它积分积出来的
而且的话 它积分的结果是动量 是动能
而动量和动能的话
是系统运动的某种度量
所以话 我们可以这样来处理一下
好 这些是关于质点动力学的运动微分方程
好 这一节到这
-绪论
--绪论
-1-1 矢量描述法
--第一章运动的描述
--矢量及其运算
-1-2 直角坐标描述法
--例题1 椭圆规
--例题2 圆轮滚动
-1-3 自然坐标描述法
--例题3 单摆
-1-4 极坐标描述法
--例题4 演员
-扩展内容
--b 观察与思考
--c 时间与方向
--d 仰望星空
--e 兔子追击问题
-第一章 点的运动学--作业
-2-1 刚体的定义与运动形式
-2-2 刚体的矢量-矩阵描述
-2-3 刚体平面运动
-2-4 刚体定点运动
-扩展内容
-第二章 刚体运动学--作业
-3-1 点的复合运动
-3-2 刚体复合运动
-例题
-扩展内容
--钟表的设计
--寻找四叶草
--差动齿轮
--指南车
--逆行风车
-第三章 复合运动--作业
-4-0 静力学公理序言
-4-1 主矢量和主矩
-4-2 力系的等效与简化
-4-3 受力分析与刚体平衡
-4-4 平面力系的平衡方程
-4-5 考虑摩擦的平衡问题
-4-6 刚体系的平衡
--4-6-2 桁架
--4-6-3 机构
-例题
-扩展内容
--气球的平衡
--平衡大师
-第四章 几何静力学--作业
-5-1 约束及其分类
--约束及其分类
-5-2 虚位移
--虚位移
-5-3 虚功原理
--虚功原理
-5-4 广义坐标和广义力
--广义坐标和广义力
-5-5 势力场中的平衡
-例题
-扩展内容
--关于投影
--不倒翁
--5-扩展-c欹器
--冈布茨
-第五章 分析静力学--作业
-6-1 质点运动微分方程
-6-2 质点在非惯性系中的运动
-6-3 相对地球的运动
-扩展内容
--宇航员的问题
-第六章 质点动力学--作业
-7-1 质点系动量定理
-7-2 质点系动量矩定理
-7-3 质点系动能定理
-7-4 质系普遍定理的综合应用
-7-5 碰撞
--7-5 碰撞
-例题
-扩展内容
--7-拓展-a跳高
--7-扩展-b跳水
--第七章 质点系动力学--作业
-8-1 达朗贝尔原理
-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理
-8-3 第二类拉格朗日方程
-8-4 拉格朗日方程首次积分
-例题
--达朗贝尔原理例题
-扩展内容
--广义动量守恒
--广义能量守恒
--非定常约束
--无轮小车
-第八章 分析动力学--作业
