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矢量及其运算

下一节:1-2直角坐标描述法

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矢量及其运算课程教案、知识点、字幕

在介绍完矢量描述法之后

我们特意强调一些关于矢量以及它的运算

矢量一般在教科书中都用黑体表示，同时是斜体

比如说我们写r

你会看到它粗一点、黑一点，我们称之为黑体

有的时候你写作业的时候

写的瘦一点，但在上面加一杠也可以，所以

或者用粗的黑体或者用瘦的白体

在上面加一杠来表示都可以

我们强调的是矢量的运算

在我们这门课中需要熟悉矢量的

加、减、数乘、点乘、叉乘和微分等等

我们特别强调一下

加和减

在矢量中

比如说矢量A加矢量B

我们看有个图

这个蚂蚁在搬家的时候或者搬东西的时候

比如说两个蚂蚁在搬一个树叶

由于它们没有学过数学知识

一个往东一个往西，所以就把力分散掉了

所以我们经常说“辛勤的蚂蚁”, 没有人说“聪明的蚂蚁”

不过如果蚂蚁有机会听我的课之后

它们齐心合力之后呢，它们就变成“聪明的蚂蚁”

所以它们不懂得矢量的相加

那么关于矢量的点乘

也可以叫投影

a点乘b

可以认为它投影之后的两个数相乘

这个图是一本书上的图片

《从一到无穷大》中的图片

说的是这个人把空间的立方体

投到平面之后一个形状

那么纸上有个二维平面的人

他看了空间图片很奇怪

这就是一个投影的例子

那么关于矢量叉乘

我用一个生活中的例子

就是说你怎么推这个门，让这个门很快推开

我们知道和这个门垂直用力就把这个门推开了

如果这个力不是垂直的，往上推那就不行

所以根据矢量叉乘我们就知道

怎么效果大呢？要垂直叉乘效果最大

这是叉乘的一个定义

那么根据矢量运算

我们还要研究矢量的导数

比如说我们把矢量写成a

随时间变化是a(t)

求a矢量的导数

这时候的话呢

我们把它分为两个部分

一个是它的大小一个是它的方向

如果我们特别注意看

等式的左边a是黑体，稍微粗一点

等式右边的a稍微细一点，叫白体

黑体表示矢量，白体表示大小

所以一个量的大小和方向可以这样表示

这个表示大小，用e(t)表示它的方向

也就说矢量的大小和方向都可以随时间变化

那么它的大小可以理解为是矢量的取模

加个绝对值就可以了，那么我们看看

如果矢量对时间求导数怎么算

那么利用数学中的分步（求导）方法

a的导数等于它的大小的导数乘以它的方向

加上大小不变，方向求导数

利用这结论我们可以得到一个推论

对于单位矢量有什么结论呢

因为我们知道

单位矢量点乘自己等于1

因此把等式两边对时间求导之后

得出这样的结论

e的导数点乘e等于0

这是什么意思呢

就是说对于单位矢量的导数垂直于单位是矢量本身

这个结论在后面很多地方要用到

所以我们来介绍一下

好今天到这儿

理论力学课程列表：

绪论

-绪论

第一章点的运动学

-1-1 矢量描述法

--第一章运动的描述

--1-1 矢量描述法

--矢量及其运算

-1-2 直角坐标描述法

--1-2直角坐标描述法

--例题1 椭圆规

--例题2 圆轮滚动

-1-3 自然坐标描述法

--1-3 自然坐标描述法

--例题3 单摆

-1-4 极坐标描述法

--1-4 极坐标描述法

--例题4 演员

--讨论题多种方法求解

-扩展内容

--a 点的运动学扩展

--b 观察与思考

--c 时间与方向

--d 仰望星空

--e 兔子追击问题

-第一章点的运动学--作业

第二章刚体运动学

-2-1 刚体的定义与运动形式

--2-1 刚体的定义与刚体的运动形式

-2-2 刚体的矢量-矩阵描述

--2-2 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-0 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-1 刚体的运动方程

--2-2-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-2刚体的矢量-矩阵描述例题1-2

-2-3 刚体平面运动

--2-3 刚体平面运动

--2-3-1 平面运动的运动方程

--2-3-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-3-3 速度分析基点法

--2-3-3 速度分析瞬心法

--2-3-3 速度分析速度投影定理

--2-3-3速度分析刚体平面运动的瞬心轨迹

--2-3-4 刚体平面运动的加速度分析

--2-3-3速度分析例题1-4

--2-3-4加速度分析例题1-4

-2-4 刚体定点运动

--2-4-1 刚体定点运动几何分析

--2-4-2 刚体定点运动的解析描述

-扩展内容

--2-扩展-a加速度是否存在投影定理

--2-扩展-b图形放大器

--2-扩展-c连弩射击

--2-扩展-d关于刚体的转动

--2-扩展-e欧拉角探秘

-第二章刚体运动学--作业

第三章复合运动

-3-1 点的复合运动

--3-1 点的复合运动

--3-1-1 运动方程

--3-1-2 矢量的绝对导数与相对导数

--3-1-3 速度合成定理

--3-1-4 加速度合成定理

-3-2 刚体复合运动

--3-2 刚体复合运动

-例题

--3-1-1 运动方程例题1 工件轨迹

--3-1-3 速度合成定理例题1-3

--3-1-4 加速度合成定理例题1-4

--3-2-1 角速度合成例题1-3

--3-2-2 刚体定点运动例题1-2

-扩展内容

--钟表的设计

--寻找四叶草

-第三章复合运动--作业

第四章几何静力学

-4-0 静力学公理序言

--4-0 静力学公理序言

-4-1 主矢量和主矩

--4-1 主矢量和主矩

-4-2 力系的等效与简化

--4-2 力系的等效与简化

-4-3 受力分析与刚体平衡

--4-3 受力分析与刚体平衡

-4-4 平面力系的平衡方程

--4-4平面力系的平衡方程

-4-5 考虑摩擦的平衡问题

--4-5考虑摩擦的平衡问题

-4-6 刚体系的平衡

--4-6-1 组合结构

-例题

--4-1 主矢量和主矩例题1-3

--4-2 力系的等效与简化例题1-3

--4-3 受力分析与刚体平衡例题1-3

--4-4 平面力系的平衡方程例题1-2

--4-5 考虑摩擦的平衡问题例题1-6

--4-6-1 刚体系的平衡例题1-3

--4-6-2 桁架例题1-4

-扩展内容

--4-扩展-a纸桥过车

--气球的平衡

--4-扩展-d动物爬绳

--4-扩展-e力学与考古

-第四章几何静力学--作业

第五章分析静力学

-5-1 约束及其分类

--约束及其分类

-5-2 虚位移

-5-3 虚功原理

-5-4 广义坐标和广义力

--广义坐标和广义力

-5-5 势力场中的平衡

--势力场中的平衡方程

-例题

--5-3 虚位移原理例题

--5-4 广义坐标和广义力例题

--5-5 势力场中的平衡方程例题

-扩展内容

--5-扩展-c欹器

-第五章分析静力学--作业

第六章质点动力学

-6-1 质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程例题

-6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2质点在非惯性系中的运动例题1

-6-3 相对地球的运动

--6-3 相对地球的运动

-扩展内容

--宇航员的问题

--6-扩展-b在小行星上打台球

--失重现象及模拟失重

--非线性方程的近似解

--落体问题在惯性系中解释

-第六章质点动力学--作业

第七章质点系动力学

-7-1 质点系动量定理

--7-1 质点系动量定理

-7-2 质点系动量矩定理

--7-2-1 质点系的动量矩

--7-2-2 质点系动量矩定量

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程

--7-2-4 刚体平面运动微分方程

-7-3 质点系动能定理

--7-3 质点系的动能定理

-7-4 质系普遍定理的综合应用

--7-4 质系普遍定理的综合应用

-7-5 碰撞

-例题

--7-1 质点系动量定理1-4

--7-2-1 质点系动量矩例题1

--7-2-2 质点系动量矩定理例题1-2

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程例题1-2

--7-3 质点系动能定理例题1-2

--7-4 质系普遍定理的综合应用例题1-2

--7-5 碰撞例题1-4

-扩展内容

--7-拓展-a跳高

--7-扩展-b跳水

--7-拓展-c手机吊冰箱

--7-扩展-d小鸭下山

--7-扩展-e飞针穿玻璃

--第七章质点系动力学--作业

第八章分析动力学

-8-1 达朗贝尔原理

--8-1达朗贝尔原理

-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理

--8-2达朗贝尔-拉格朗日原理

-8-3 第二类拉格朗日方程

--8-3第二类拉格朗日方程

-8-4 拉格朗日方程首次积分

--8-4拉格朗日方程首次积分

-例题

--达朗贝尔原理例题

--8-2达朗贝尔原理-拉格朗日

--8-3第二类拉格朗日方程

--8-4拉格朗日方程首次积分

-扩展内容

--广义动量守恒

--广义能量守恒

--非定常约束

-第八章分析动力学--作业

矢量及其运算笔记与讨论

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