当前课程知识点:理论力学 > 第一章 点的运动学 > 1-4 极坐标描述法 > 1-4 极坐标描述法
下面介绍第四节 极坐标描述法
什么是极坐标呢
我们先有一个O点 作为原点
然后有个极轴 比如说x轴
当一个质点运动的时候 在任意位置
我们可以从O引到P一个矢径
这个矢径和x轴的夹角 我们叫φ角
从O到P的矢径的长度叫ρ
这样一来 我们就可以说
点在做平面运动的时候 在任意时刻
它的位置可以用极坐标表示
具体来说就是 ρ=ρ(t),φ=φ(t)
也就是说 如果它的ρ知道了
如果φ知道的话 它的位置就知道了
具体来说 就好像说有一个雷达
它探测一个飞机
你只要知道它的距离(根据回波知道距离)
知道它的仰角 你就能知道飞机的位置
所以利用这种方式
来描述的话也很方便
那么我们需要注意的是,在这里面
它的单位向量是
径向单位向量和横向单位向量
分别用eρ和eφ表示
大家注意 当P点运动的时候
这个eρ和eφ是变化的
所以的话 这个单位向量是一个动的单位向量
好了 那么这时候 我们P点的向径可以表示成
r等于ρ乘以eρ
也就是 它的大小是ρ 方向是eρ
那么它的速度呢?根据前面我们描述的
速度等于r一点
那么它等于什么呢
等于ρ的导数(对时间的导数)
乘以eρ加上ρ乘以eρ的导数
那么在这里面 我们重点就是要研究一下
这个eρ也就是单位向量
它的导数该怎么求呢
为了求这个单位向量的导数
我们可以有不同的方法
然后大家相互的比较一下之后
可以看出看出每种方法的它的特点
其中 第一种方法是数学求导
就是说 把这个单位向量
在水平和竖直的直角坐标系中表示出来
那么可以写成
eρ等于cosφ乘以i,加上sinφ乘以j
大家注意 这个eρ本身可以在空间转起来
但是i和j是不动的
i、j 是水平(竖直)不动的, 因此
在求导的时候, i的导数、j的导数是不用考虑的
所以这样一来 我们就可以求出来
eρ的导数它等于
我们把它稍微处理下之后 就等于什么呢
等于φ一点乘以eφ
表示什么意思呢
表示eρ的导数 最后结果方向是变成了eφ
就是说它转了90度了
但是它前面还一个倍数
大小是φ的变化快慢
好 这是从数学上求出的结果
这个结果的话呢 如果从物理上的话
可以更快的看出来
那么我们来看一个圆盘做圆周运动
绕这个做圆周运动
它上面有两根线
这分别是它的一个eρ 一个是eφ
那么我们可以根据 圆周运动我们知道
当以个物体做圆周运动的时候
它转动的快慢假如是ω
它这个半径是r的话
那么这点速度是多少呢
我们知道 速度它就是说
方向 这点速度的方向是这个方向
大小是转动的快慢
就是φ一点 或者ω乘以它的半径
如果我们把它的半径取为1
因为你知道是单位向量求导
所以它大小是为1的
这时候 我们就发现等于什么结果呢
我们就直接看出来了
这个单位向量的导数
它的方向是等于这个方向
也就是说 等于eφ了
它的大小的话呢 根据前面说的
它转动快慢,就是φ一点
所以我们直接看出来eρ的导数等于
φ一点乘以eφ
大家注意,这个可以直接看出来的
同时我们还可以直接看出什么呢
这个eφ的导数等于多少
eφ的导数,如果我这样一转
它是往这个方向走的
因此看起来方向和这个相反的
等于负的φ一点乘以eρ
所以我们看出来,利用物理概念
可以更快地更直接地得到结果
所以这两个方法,你可以相互比较一下
好了 我们知道这个单位向量导数求法之后
我们看看速度等于多少
这时候我们发现 速度等于r一点
代入刚才我们的结果之后
等于什么呢
等于ρ一点乘以eρ,加上ρ乘以φ一点乘以eρ
那么这两个量,它有特定的物理含义
其中沿着eρ的这个
沿着径向的 我们把它叫径向速度
它的前面系数就是ρ一点
也就是说 径向速度大小是ρ一点
而横向方向速度的大小是多少呢
是ρ乘以φ一点
这就是它的速度表达式
有了速度表达式之后 我们再求导
就能得到加速度的表达式
当然 这时候式子稍微长一点
我们求导之后
分别把单位向量也求导之后
得到两个项式子
一项是关于径向的eρ方向的
它前面的系数是多少呢
是ρ两点减掉ρ乘以φ一点平方
这个叫径向加速度
另外一项呢
是两倍的ρ一点乘以φ一点
加上ρ乘以φ两点
这个叫做横向加速度
同学们在学到这里的时候可能会有疑问
这式子怎么这么长这么复杂
有的里面有加号有减号,有的还有两倍
这怎么记呀
我们要说 在这个时候
你可能要死记硬背啦
但是你再学两三次课之后
你就会发现这个公式
它是可以自然理解的
比如说这个负号是什么意思
这个两倍是什么意思
到时候你就可以自然理解了
所以 这个不用着急
马上我们可以学会的
好 这就是关于
加速度的表达式
好 我们刚才介绍了速度和加速度
那么我们需要特别强调的是
这个加速度 它里面包括了
一个径向和横向加速度
我们要注意的是
这个径向和法向 横向和切向的区别
那么我们通过一个例子来看一下
比如说一个卫星绕地球做椭圆运动
在这种情况下它的速度是什么方向呢
根据我们前面的介绍
速度应该是轨迹的切线方向
所以它的实际方向是切线方向
那么这个速度可以沿着径向分解
它可以出来一个径向速度
然后还有和径向垂直的一个横向速度
不过需要注意的是
不管你怎么分解
径向速度与横向速度之和
应该就是切线速度
所以通过这个例题你可以很好地理解
切向和横向是有区别的
好了 这是关于速度
那么关于加速度也是类似的关系
我们还是看着一个
比如说一个物体绕着O点
做一个椭圆运动
这时候的话呢 我们可以看出来
假设它总加速度是沿这个方向
这个总加速可以分解到不同的坐标中去
比如说 一个可以沿着径向分解
一个是它垂直方向 横向分解
这个叫径向加速度 叫横向加速度
需要注意的是
这两个分解之后的和
应该还是等于总加速度
然后还可以有另外一种分解方式
就是沿着它的切向和沿着它的法向分解
它们两个之和也是等于总的加速度
当然 我们需要注意到是
如果我们现在举的例子是
卫星绕地球运动
我们需要强调的是
这个时候应该总是 引力向着地心的
这时候横向加速度总是等于0的
这个是我们的例题
通过这个例题
希望大家理解它们(横向与切向、径向与法向)的联系和区别
好 今天的课到这儿
-绪论
--绪论
-1-1 矢量描述法
--第一章运动的描述
--矢量及其运算
-1-2 直角坐标描述法
--例题1 椭圆规
--例题2 圆轮滚动
-1-3 自然坐标描述法
--例题3 单摆
-1-4 极坐标描述法
--例题4 演员
-扩展内容
--b 观察与思考
--c 时间与方向
--d 仰望星空
--e 兔子追击问题
-第一章 点的运动学--作业
-2-1 刚体的定义与运动形式
-2-2 刚体的矢量-矩阵描述
-2-3 刚体平面运动
-2-4 刚体定点运动
-扩展内容
-第二章 刚体运动学--作业
-3-1 点的复合运动
-3-2 刚体复合运动
-例题
-扩展内容
--钟表的设计
--寻找四叶草
--差动齿轮
--指南车
--逆行风车
-第三章 复合运动--作业
-4-0 静力学公理序言
-4-1 主矢量和主矩
-4-2 力系的等效与简化
-4-3 受力分析与刚体平衡
-4-4 平面力系的平衡方程
-4-5 考虑摩擦的平衡问题
-4-6 刚体系的平衡
--4-6-2 桁架
--4-6-3 机构
-例题
-扩展内容
--气球的平衡
--平衡大师
-第四章 几何静力学--作业
-5-1 约束及其分类
--约束及其分类
-5-2 虚位移
--虚位移
-5-3 虚功原理
--虚功原理
-5-4 广义坐标和广义力
--广义坐标和广义力
-5-5 势力场中的平衡
-例题
-扩展内容
--关于投影
--不倒翁
--5-扩展-c欹器
--冈布茨
-第五章 分析静力学--作业
-6-1 质点运动微分方程
-6-2 质点在非惯性系中的运动
-6-3 相对地球的运动
-扩展内容
--宇航员的问题
-第六章 质点动力学--作业
-7-1 质点系动量定理
-7-2 质点系动量矩定理
-7-3 质点系动能定理
-7-4 质系普遍定理的综合应用
-7-5 碰撞
--7-5 碰撞
-例题
-扩展内容
--7-拓展-a跳高
--7-扩展-b跳水
--第七章 质点系动力学--作业
-8-1 达朗贝尔原理
-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理
-8-3 第二类拉格朗日方程
-8-4 拉格朗日方程首次积分
-例题
--达朗贝尔原理例题
-扩展内容
--广义动量守恒
--广义能量守恒
--非定常约束
--无轮小车
-第八章 分析动力学--作业