当前课程知识点:理论力学 > 第七章 质点系动力学 > 例题 > 7-5 碰撞例题1-4
例1 定轴转动刚体受碰撞问题
它受S的碰撞
那么已经知道刚体对于
O轴的转动惯量是JO 质量是m
质心C距离O点的话呢 是a
那么 S冲量和OC的延长线交点A
距离O点长度为l
求碰撞后质心的速度uC
以及轴承O处的碰撞约束冲量SO
那么我们看看 刚体在碰撞冲量作用下
作定轴转动 我们作它的受力图
当然这个力的话 实际上是碰撞冲量
在O点的话呢有水平冲量和竖直冲量
那么还有一个是S的冲量
那么由对O轴的动量矩定理的有限的形式
我们可以列出碰撞之后
转动惯量乘以角速度减掉之前的
因为之前是静止 所以是0
等于碰撞冲量对O点的力矩
那么也就是说S对这一点的矩
是这样的一个表达式
从这式子中 我们可以求出
碰撞后的角速度它的表达式
是这样一个表达式 同时的话呢
我们可以求出质心的速度
这速度把它分为两部分
一部分是水平的速度 一部分是竖直速度
那么水平速度的话呢 就等于
距离乘以角速度 距离是a 所以的话
就是a乘以ω
竖直方向的速度的话呢是为0的
好 求出速度之后的话呢
我们再利用一下 质心运动定理的
有限形式就能求出来
质量乘以碰撞后的质心水平速度
等于水平的冲量
质量乘以竖直方向的速度
等于竖直冲量
从这个式子中我们就求出
碰撞点的冲量 水平分量和竖直分量
那么下面我们讨论一下
刚才的话呢 已经求出了
水平冲量和竖直冲量
我们有兴趣来问一下
在什么情况下这两个冲量会等于0呢
我们看到这个冲量里面有一个是sinα
这个里面会有一个减号
因此的话呢 我们可以看出来
当α=0 也就是说会导致Soy=0
同时的话呢如果l=J0/ma的时候
也就是说这项会为0
这时候轴承O处的碰撞约束力啊是为0的
也就是说水平和竖直方向同时为0
在这种情况下A点称为叫撞击中心
也就是说这点不是随便选取的
只有在满足第一 角度为0的情况下
以及那个长度等于特定的定义情况下
才称之为叫撞击中心
那么跟我们以前相比 我们曾经提出
就是说复摆的问题 在复摆中的话呢
有一个摆心 当时的定义式的话呢
跟这个式子是一样定义的
也就是说的话呢摆心跟撞击中心
是同一个点
我们接着讨论一下
也许你打过网球或棒球
如果你是新手的话呢
你可能会觉得在击球的时候
手上的冲击力很大
虎口的话呢会振的很痛
原因就是可能你的握拍姿势
和击球位置不对
那么对于高手来说的话呢
他通常会知道在网球拍上有个区域
叫甜区 那么
如果球击在这个区域的话呢
就会有比较好的击球效果
从我们刚才讲的题目来看的话呢
这个所谓的甜区的话呢
实际上就是我们的撞击中心
也就是说我们击球的时候
一方面要让球垂直于我们的网拍
同时的话呢 要让球集中在这个甜区附近
在我们的题目中的话呢 甜区就是这个点
但是呢当我们手
握到这个球拍的时候的话呢
我们手有一个宽度 所以的话
这边一个点就变成区域了
也就是说我们以后在击球的时候
就要有意识的要垂直击球
同时让球击到这个甜区的位置
例2 两个长度均为l
质量均为m的均质杆
在A点铰接后悬挂在O点上
然后呢 在这个B端的话呢
受一个水平冲量的S作用
求碰撞后两杆的角速度
好 下面我们来求一下碰撞之后
两杆的速度 我们把这个杆拆开来
分别画它们的受力图 也就是说冲量图
首先的话呢 O点的话
有一个水平竖直的冲量
A点的话呢 也水平竖直
那么拆开之后的话呢
这个A点和这个A点的话呢
是作用反作用 我们把它画上去
好 下面我们来看
OA杆的话呢 做定轴转动
绕着O点做定轴转动
而AB杆的话呢 做平面运动
我们对OA杆可列出一个对O点的
动量矩定理
1/3的ml2ω1=-SAxl
而对于AB杆的话呢
我们可以列出三个方程
第一个是水平方向
质心运动定理的积分形式
和竖直方向质心运动定理积分形式
以及相对质心的动量矩定理的积分形式
那么有四个方程 有几个未知数呢
我们来数一下
首先的话呢 这两个角速度是未知的
两个 那么O点的话呢 两个未知数
还有A点两个未知数
所以的话呢 未知数的话呢
是5个未知数 因此的话呢
我们还要补充个方程
我们补充一个运动学关系
u2=lω1+1/2lω2
也就是说这点速度的话呢
它是等于A点速度加上相对速度
而A点速度的话呢 是等于这个长度
乘以ω1的 是这样一个关系
那么把这方程联立求解
就可以解出来ω1 ω2以及
我们所关心的其它的冲量
特别是A点的 这个竖直方向的冲量
是等于0的 这个我们后面要用的
下面我们求一下 轴承O处的约束冲量
我们看这个受力图
O点的话有水平和竖直的冲量
A点的话呢
在前面已经求出来这两个冲量的具体值
所以的话呢下面我们看看
用质心运动定理 可以求出来
质量乘以水平方向速度等于水平方向冲量
质量乘以竖直方向速度等于竖直方向冲量
代入A点的这个值
我们就可以把O点的约束冲量求出来
而其中我们注意 在y方向上是等于0的
例3 突加约束问题
假设有个圆盘 它的质量是m 半径是r
然后呢以v这个速度的话呢匀速前进
然后突然与一个高度为h的台阶相碰撞
假设碰撞是完全塑性的
求圆盘碰撞后的角速度及碰撞的冲量
好 下面我们来看看
碰撞时的话呢 圆盘的运动发生了突变
但是呢在碰撞前后圆盘对
A的这一点 这个接触点
它的动量矩是守恒的
因为碰撞前 它径向运动
碰撞时候的话呢
在A点会有碰撞冲量出现
所以的话呢 我们对这个点取矩的话呢
动量矩是守恒的
好 下面我们看看 在碰撞前
系统对A点的动量矩该怎么写呢
我们可以写出来LA碰撞前
我们用下标1表示的话
等于对质心的转动惯量乘以角速度
加上一个附加项 就是动量叉乘以这个矢量
这个矢量的话具体来投影之后的话 就是
mv(r-h) 那么具体的值
代进去之后
就等于mv(3/2r-h)
那么在碰撞后的话呢
因为是塑性碰撞 所以的话呢
绕A点做一个定轴转动 这时候的话呢
动量矩等于转动惯量乘以角速度
因为是定轴转动 而JA的话呢
是等于Jc+mr²
所以的话是等于3/2倍的
mr² ω 而根据对A轴的动量矩守恒
所以的话两个相等 从而推出碰撞之后
角速度的表达式 就能求出来了
下面我们求一下 碰撞处的碰撞冲量
我们先看看碰撞前质心的速度
沿着Sn Sτ的方向的分量
碰撞前的话呢速度是水平的
把这水平分量的话呢
沿着Sn Sτ分解一下
可以看出来它的速度分量是这样的形式
那么碰撞后的话呢 C点绕A点做一个
定轴转动 因此它的分量是什么呢
是沿着n方向为0
而沿着τ方向的话呢就是
rω 然后呢我们利用一下
积分形式的质心运动定理
就能得到下面的公式
把Sn Sτ分别把它求出来
好了 这就是我们的结果
例4 我们看一下
把一个钉子插入小孔A后
圆盘会如何运动 然后把钉子从小孔A中
又取出来 圆盘又如何运动
我们先看一下动画
好 下面我们看如何分析
在插入钉子之前 圆盘绕着O转动
这时候的话呢 我们先可以求一下
圆盘对A点的 这个A是个插入的孔
A点的动量矩 我们利用一下公式
LA0=LO +rAO x mvO
注意在这一时刻的话呢 O点的话呢
是静止的点
因为绕这个点运动 所以的话vO=0
因此 我们可以求出来
它大小是等于什么呢
LAO=JOω0 好 我们看看
如果插入钉子之后的话呢 在这一时刻
插入钉子之后圆盘绕着A点做定轴转动
这时候它的动量矩是多少呢
它是等于 因为是定轴转动 所以是等于
转动惯量乘以角速度
转动惯量等于什么呢
等于Jo+mρ²
这个ρ的话就等于OA的长度
好了 这个问题的前后啊
它对A轴是动量矩守恒的
因为所有力的话
全都在A这个地方出现 因此的话呢
根据这个式子 我们可以求出
角速度和碰撞前角速度的关系
我们求出来了 我们看出来的话呢
这个角速度是变小了 因为分子分母一看
角速度变小了 然后的话呢 我们再看
在插入钉子之后的话呢
是按照这样的角速度运动
同时的话呢 O点有了速度
这个我们可以很快的把它分析出来
然后我们再看 如果在这一时刻
我们把钉子突然取出来 会有什么情况呢
取出来之后的话呢 这个系统
对A点的动量矩 我们可以把它写出来
我们用的公式啊 还是利用类似
这样的公式 我们把它写出来
这样的表达式
好了 然后我们对A轴动量矩守恒
我们接着应用之后 发现
得出的结果是什么呢
拔出来之后的话
角速度就等于拔之前的角速度
所以这个结果 你看是不是可以理解
我们可以提个问题来思考一下
为什么这个圆盘转动的时候
把钉子插入的时候
它角速度会发生变化
而把它拔出来前后角速度不会变化
除了你会列公式计算
你能不能给出个定性的分析
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-第六章 质点动力学--作业
-7-1 质点系动量定理
-7-2 质点系动量矩定理
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-8-4 拉格朗日方程首次积分
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-第八章 分析动力学--作业