7-5 碰撞例题1-4在线视频

例1 定轴转动刚体受碰撞问题

它受S的碰撞

那么已经知道刚体对于

O轴的转动惯量是JO 质量是m

质心C距离O点的话呢 是a

那么 S冲量和OC的延长线交点A

距离O点长度为l

求碰撞后质心的速度uC

以及轴承O处的碰撞约束冲量SO

那么我们看看 刚体在碰撞冲量作用下

作定轴转动 我们作它的受力图

当然这个力的话 实际上是碰撞冲量

在O点的话呢有水平冲量和竖直冲量

那么还有一个是S的冲量

那么由对O轴的动量矩定理的有限的形式

我们可以列出碰撞之后

转动惯量乘以角速度减掉之前的

因为之前是静止 所以是0

等于碰撞冲量对O点的力矩

那么也就是说S对这一点的矩

是这样的一个表达式

从这式子中 我们可以求出

碰撞后的角速度它的表达式

是这样一个表达式 同时的话呢

我们可以求出质心的速度

这速度把它分为两部分

一部分是水平的速度 一部分是竖直速度

那么水平速度的话呢 就等于

距离乘以角速度 距离是a 所以的话

就是a乘以ω

竖直方向的速度的话呢是为0的

好 求出速度之后的话呢

我们再利用一下 质心运动定理的

有限形式就能求出来

质量乘以碰撞后的质心水平速度

等于水平的冲量

质量乘以竖直方向的速度

等于竖直冲量

从这个式子中我们就求出

碰撞点的冲量 水平分量和竖直分量

那么下面我们讨论一下

刚才的话呢 已经求出了

水平冲量和竖直冲量

我们有兴趣来问一下

在什么情况下这两个冲量会等于0呢

我们看到这个冲量里面有一个是sinα

这个里面会有一个减号

因此的话呢 我们可以看出来

当α=0 也就是说会导致Soy=0

同时的话呢如果l=J0/ma的时候

也就是说这项会为0

这时候轴承O处的碰撞约束力啊是为0的

也就是说水平和竖直方向同时为0

在这种情况下A点称为叫撞击中心

也就是说这点不是随便选取的

只有在满足第一 角度为0的情况下

以及那个长度等于特定的定义情况下

才称之为叫撞击中心

那么跟我们以前相比 我们曾经提出

就是说复摆的问题 在复摆中的话呢

有一个摆心 当时的定义式的话呢

跟这个式子是一样定义的

也就是说的话呢摆心跟撞击中心

是同一个点

我们接着讨论一下

也许你打过网球或棒球

如果你是新手的话呢

你可能会觉得在击球的时候

手上的冲击力很大

虎口的话呢会振的很痛

原因就是可能你的握拍姿势

和击球位置不对

那么对于高手来说的话呢

他通常会知道在网球拍上有个区域

叫甜区 那么

如果球击在这个区域的话呢

就会有比较好的击球效果

从我们刚才讲的题目来看的话呢

这个所谓的甜区的话呢

实际上就是我们的撞击中心

也就是说我们击球的时候

一方面要让球垂直于我们的网拍

同时的话呢 要让球集中在这个甜区附近

在我们的题目中的话呢 甜区就是这个点

但是呢当我们手

握到这个球拍的时候的话呢

我们手有一个宽度 所以的话

这边一个点就变成区域了

也就是说我们以后在击球的时候

就要有意识的要垂直击球

同时让球击到这个甜区的位置

例2 两个长度均为l

质量均为m的均质杆

在A点铰接后悬挂在O点上

然后呢 在这个B端的话呢

受一个水平冲量的S作用

求碰撞后两杆的角速度

好 下面我们来求一下碰撞之后

两杆的速度 我们把这个杆拆开来

分别画它们的受力图 也就是说冲量图

首先的话呢 O点的话

有一个水平竖直的冲量

A点的话呢 也水平竖直

那么拆开之后的话呢

这个A点和这个A点的话呢

是作用反作用 我们把它画上去

好 下面我们来看

OA杆的话呢 做定轴转动

绕着O点做定轴转动

而AB杆的话呢 做平面运动

我们对OA杆可列出一个对O点的

动量矩定理

1/3的ml2ω1=-SAxl

而对于AB杆的话呢

我们可以列出三个方程

第一个是水平方向

质心运动定理的积分形式

和竖直方向质心运动定理积分形式

以及相对质心的动量矩定理的积分形式

那么有四个方程 有几个未知数呢

我们来数一下

首先的话呢 这两个角速度是未知的

两个 那么O点的话呢 两个未知数

还有A点两个未知数

所以的话呢 未知数的话呢

是5个未知数 因此的话呢

我们还要补充个方程

我们补充一个运动学关系

u2=lω1+1/2lω2

也就是说这点速度的话呢

它是等于A点速度加上相对速度

而A点速度的话呢 是等于这个长度

乘以ω1的 是这样一个关系

那么把这方程联立求解

就可以解出来ω1 ω2以及

我们所关心的其它的冲量

特别是A点的 这个竖直方向的冲量

是等于0的 这个我们后面要用的

下面我们求一下 轴承O处的约束冲量

我们看这个受力图

O点的话有水平和竖直的冲量

A点的话呢

在前面已经求出来这两个冲量的具体值

所以的话呢下面我们看看

用质心运动定理 可以求出来

质量乘以水平方向速度等于水平方向冲量

质量乘以竖直方向速度等于竖直方向冲量

代入A点的这个值

我们就可以把O点的约束冲量求出来

而其中我们注意 在y方向上是等于0的

例3 突加约束问题

假设有个圆盘 它的质量是m 半径是r

然后呢以v这个速度的话呢匀速前进

然后突然与一个高度为h的台阶相碰撞

假设碰撞是完全塑性的

求圆盘碰撞后的角速度及碰撞的冲量

好 下面我们来看看

碰撞时的话呢 圆盘的运动发生了突变

但是呢在碰撞前后圆盘对

A的这一点 这个接触点

它的动量矩是守恒的

因为碰撞前 它径向运动

碰撞时候的话呢

在A点会有碰撞冲量出现

所以的话呢 我们对这个点取矩的话呢

动量矩是守恒的

好 下面我们看看 在碰撞前

系统对A点的动量矩该怎么写呢

我们可以写出来LA碰撞前

我们用下标1表示的话

等于对质心的转动惯量乘以角速度

加上一个附加项 就是动量叉乘以这个矢量

这个矢量的话具体来投影之后的话 就是

mv(r-h) 那么具体的值

代进去之后

就等于mv(3/2r-h)

那么在碰撞后的话呢

因为是塑性碰撞 所以的话呢

绕A点做一个定轴转动 这时候的话呢

动量矩等于转动惯量乘以角速度

因为是定轴转动 而JA的话呢

是等于Jc+mr²

所以的话是等于3/2倍的

mr² ω 而根据对A轴的动量矩守恒

所以的话两个相等 从而推出碰撞之后

角速度的表达式 就能求出来了

下面我们求一下 碰撞处的碰撞冲量

我们先看看碰撞前质心的速度

沿着Sn Sτ的方向的分量

碰撞前的话呢速度是水平的

把这水平分量的话呢

沿着Sn Sτ分解一下

可以看出来它的速度分量是这样的形式

那么碰撞后的话呢 C点绕A点做一个

定轴转动 因此它的分量是什么呢

是沿着n方向为0

而沿着τ方向的话呢就是

rω 然后呢我们利用一下

积分形式的质心运动定理

就能得到下面的公式

把Sn Sτ分别把它求出来

好了 这就是我们的结果

例4 我们看一下

把一个钉子插入小孔A后

圆盘会如何运动 然后把钉子从小孔A中

又取出来 圆盘又如何运动

我们先看一下动画

好 下面我们看如何分析

在插入钉子之前 圆盘绕着O转动

这时候的话呢 我们先可以求一下

圆盘对A点的 这个A是个插入的孔

A点的动量矩 我们利用一下公式

LA0=LO +rAO x mvO

注意在这一时刻的话呢 O点的话呢

是静止的点

因为绕这个点运动 所以的话vO=0

因此 我们可以求出来

它大小是等于什么呢

LAO=JOω0 好 我们看看

如果插入钉子之后的话呢 在这一时刻

插入钉子之后圆盘绕着A点做定轴转动

这时候它的动量矩是多少呢

它是等于 因为是定轴转动 所以是等于

转动惯量乘以角速度

转动惯量等于什么呢

等于Jo+mρ²

这个ρ的话就等于OA的长度

好了 这个问题的前后啊

它对A轴是动量矩守恒的

因为所有力的话

全都在A这个地方出现 因此的话呢

根据这个式子 我们可以求出

角速度和碰撞前角速度的关系

我们求出来了 我们看出来的话呢

这个角速度是变小了 因为分子分母一看

角速度变小了 然后的话呢 我们再看

在插入钉子之后的话呢

是按照这样的角速度运动

同时的话呢 O点有了速度

这个我们可以很快的把它分析出来

然后我们再看 如果在这一时刻

我们把钉子突然取出来 会有什么情况呢

取出来之后的话呢 这个系统

对A点的动量矩 我们可以把它写出来

我们用的公式啊 还是利用类似

这样的公式 我们把它写出来

这样的表达式

好了 然后我们对A轴动量矩守恒

我们接着应用之后 发现

得出的结果是什么呢

拔出来之后的话

角速度就等于拔之前的角速度

所以这个结果 你看是不是可以理解

我们可以提个问题来思考一下

为什么这个圆盘转动的时候

把钉子插入的时候

它角速度会发生变化

而把它拔出来前后角速度不会变化

除了你会列公式计算

你能不能给出个定性的分析