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下面是导数的基本公式

第一个公式

常数的导数是0

第二个公式

是幂函数

幂函数的导数

x的α次方的导数

等于α乘以x^(α-1)

α可以是任意实数

第三个公式

是自然对数的导数

自然对数是以e为底的对数

称为自然对数

lnx的绝对值的导数

等于多少呢

等于1/x

大家注意

这本质上是两个公式

如果x大于0

x的绝对值应该等于x

于是这就是

lnx的导数

等于1/x

如果x小于0

那么x的绝对值是-x

于是就是ln -x的导数

它仍然等于1/x

所以它实际上是两个公式

我们再看这个

是指数函数

以自然对数的底e

作为底的指数函数e^x

e等于多少呢

e是个无理数

等于2.71828等等

e的x的导数

仍然是e^x

所以这是一个非常让人觉得

简单的有用的公式

所以我们对这个e^x

是特别看重

经常要用到这个函数

那么如果底不是e而是a的话

a^x导数等于多少呢

等于a^x乘以lna

这个公式我们可以推导出来

我们现在看几个例子

3x的7/3次方

加上14x的3/7次方

加上2015

整个的导数

利用刚才导数的运算法则

这些函数相加的导数

等于每一个函数的导数相加

所以我们先对它来求导

而这个是常数

所以就只对

x的7/3次方求导就可以了

利用刚才的公式

x的7/3次方

等于7/3乘以x的7/3减1次方

7/3减1是4/3

于是就变成了

7/3乘以x的4/3次方

7/3跟3一乘

最后结果是

7x的4/3次方

在看这个

14常数

于是就对它来求导

x的3/7次方的导数

就是3/7

乘以x的3/7减1的指数

3/7减1是负的4/7

所以最后得到

6乘以x的负的4/7

我们再看这个

这就是x²+2x-3的1/3次方

来求导

这个要求导

就看起来很麻烦了

我没有这个公式啊

于是我们就想到了

我们刚才说的

非常重要的复合函数微分法

我们把这个

x²+2x-3

看作一个中间变量u

于是这就变成了

u的1/3次方求导

它本身是对x求导

所以我先对u求导

u的1/3次方对u求导

是1/3的u的负2/3次方

所以1/3的u的负的2/3次方

但是注意没完

还有u还要对x求导

又是这个函数

它对x求导

这是2x加上2 这是0

所以这个求导是2x+2

所以前边是对u来求导

这个是u对x求导

我们就利用了

复合函数的微分法

再看这个

这个是(3x-2)/(x²+1)

整个这函数的导数

我们利用一下刚才的

求导的运算法则

就等于分母的平方

然后先对它求导乘以它

对它求导是3

乘以它就变成了3(x²+1)

然后再减去

注意减去对它来求导乘以它

对它求导是2x乘以它

就是减去2x(3x-2)

这分母是这么多

整理一下就是这个结果

所以用到了我们的微分法则

然后再看这个

这是对数函数

自然对数的函数的导数

我们先把它应用一下对数的性质

ln a/b

等于lna-lnb

所以这个值

等于ln(x²+1)

减去ln(x-1)

然后对它求导

于是先对它求导

再对它求导

等于两个导数之差

对它求导的时候

利用自然对数的性质

对它求导

把它看作u

等于1/u

然后u再对x求导是2x

对它求导把它看作u

就是1/u

对它求导于是剩下1

这就是我们的例子

最后看这个

e的x²-1次方的导数

把这个看作u

就是e的u次方的导数

对x的导数

等于谁呢

先对u求导

对u求导 e的u次方对u的导数

就是e的u次

然后u再对x求导

对x求导就是2x

所以再乘以2x

下面我们来介绍一种

求导的方法

刚才说

我们要推导a^x的导数公式

我们现在就令y=a^x

就是y是a^x的函数

然后两边取自然对数

于是就变成

lny等于

自然对数的话

这应该是a^x

那么利用对数的性质

x可以变成它的乘数

于是就等于

lny等于x乘以lna

再用这个等式两边

我同时对x求导

那么这就是复合函数求导

y就相当于中间变量

于是lny的导数

对x导数

等于lny对y求导

等于1/y

然后y再对x求导等于y'

右边对x求导非常简单

直接就是lna

于是y'就是a^x的导数

等于多少呢

就等于y乘过来 乘以lna

y是a^x

所以y'也就是(a^x)'

等于a^x乘以lna

我们就证明了刚才那个公式

下面我们看

三角函数的微分公式

sinx的导数是cosx

cosx导数是负的sinx

tanx导数是secx平方

cotx导数是负的cscx平方

secx导数是secx乘以tanx

cscx导数是负的cscx乘以cotx

我们看一个例子

sinx的n次方的导数

先把sinx看做u

就是u的n次方

对x的导数

先对u求导

u的n次方的导数

等于n倍的u^(n-1)

所以它的导数

是n乘以sinx的n-1次方

然后u再对x求导

u是sinx

sinx对x求导

是cosx

我们再看

sec根号下1+x的导数

把根号下1+x看作u

于是这就是

secu对x的导数

先对u求导

secu对u导数

是等于secu乘以tanu

然后u再对x求导

根号下1+x对x的导数

等于多少呢

它是1+x的1/2次方

所以就等于

1/2的1+x的-1/2次方

所以得到这个结果

这些大家都回去可以练一练

我们凡是做的例题

大家一定要熟练的

能独立的完成

这都是我们的基本要求

下面呢 是反三角函数

arcsinx的导数

等于根号下1-x²分之一

arctanx的导数

等于1+x²分之一

我们看一个例题

arctan(1/x)的导数

把1/x看作u

就是arctanu对u求导

等于1/1+u²

然后u再对x求导

最后结果就是这个结果